A 線性代數(shù)公式總結(jié)

1、第1章、矩陣與行列式1、 一個矩陣，總可經(jīng)過初等行變換化為行階梯矩陣或行最簡形矩陣，總可經(jīng)過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的：；對于同型矩陣、，若；2、 行最簡形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；、每行首個非0元素必須為1；、非零行首個非0元素1(其列標嚴格隨行標單調(diào)遞增)所在列的其他元素必須為0；3、 初等行變換的應(yīng)用：(初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換)、若，則可逆，且；、對矩陣做初等行變換，如果：；則為矩陣方程的解；、求解線形方程組：對于個未知數(shù)個方程，如果，則可逆，且；4、 矩陣秩的基本性質(zhì)：、；、；、若，則；、若、可逆，則（可逆矩陣不影響矩陣的秩）；、；、；、；、如果是矩

2、陣，是矩陣，且，則：、的列向量全部是齊次方程組解；、若、均為階方陣，則；、，中有階子式不為0，階子式全部為0；(兩句話)5、是階可逆矩陣(是非奇異矩陣)(是滿秩矩陣)的行(列)向量組線性無關(guān)齊次方程組只有零解，總有唯一解與等價可表示成若干個初等矩陣的乘積的特征值全不為06、 伴隨矩陣：、伴隨矩陣的秩：；、伴隨矩陣的特征值：；、對于階矩陣： 無條件恒成立； 7、 8、 矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，計算可用等號，求代數(shù)和；9、 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中、等均可逆：、若，則：、；、；、；（主對角分塊）、；（副對角分塊）、；、；（拉普拉斯）10、代數(shù)余子式的性質(zhì)：、代數(shù)余子式

3、和余子式的關(guān)系：、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為；11、行列式的計算：、上、下三角行列式()法：其值為主對角線元素的乘積；、降階法：按任意行列展開；、特征值乘積；、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積；、拉普拉斯展開式：、第2章、n維向量1、 、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)有、無非零解；（齊次線性方程組）、向量的線性表出 是否有解；（線性方程組）、向量組的相互線性表示 是否有解；（矩陣方程）2、 維向量線性相關(guān)的幾何意義：、線性相關(guān)；、線性相關(guān)坐標成比例或共線；、線性相關(guān)共面；3、 線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：、若線性相關(guān)，則必

4、線性相關(guān)；若線性無關(guān)，則必線性無關(guān)；、若維向量組的每個向量上添上個分量，構(gòu)成維向量組：若線性無關(guān)，則也線性無關(guān)；反之若線性相關(guān)，則也線性相關(guān)；簡言之：線性無關(guān)組增加分量后仍無關(guān)，反之，不確定；4、向量組（個數(shù)為）能由向量組（個數(shù)為）線性表示，且線性無關(guān)，則；、向量組能由向量組線性表示，則；、向量組與向量組等價 5、方陣可逆存在有限個初等矩陣，使；、矩陣行等價：（左乘，可逆）、矩陣列等價：（右乘，可逆）；、矩陣等價：（、可逆）；6、 對于矩陣與：、若與行等價，則與的行秩相等；、若與行等價，則與同解，且與的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣的行秩等于列秩

5、；7、 若，則：、的列向量組能由的列向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；、的行向量組能由的行向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）8、 齊次方程組的解一定是的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；、只有零解只有零解；、有非零解一定存在非零解；9、對矩陣，存在，、的列向量線性無關(guān)；、對矩陣，存在，、的行向量線性無關(guān)；10、線性相關(guān)存在一組不全為0的數(shù)，使得成立(定義)有非零解，即有非零解，A的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；11、設(shè)的矩陣的秩為，則元齊次線性方程組的解集的秩為：；、若為的一個解，為的一個基礎(chǔ)解系，則線性無關(guān)；第3章、線性方程組1、 由個未知數(shù)個方程構(gòu)成元線性方程組：、；、（按列分塊，其中）；、（

6、線性表示）2、線性方程組的解：、齊次線性方程組：時只有零解；時，有無窮多解（非零解），通解，其中為的基礎(chǔ)解系；、非齊次線性方程組：時無解；時有解，時有唯一解，時有無窮多解，通解形式，其中為的一個特解；第4、5章 相似矩陣和二次型1、正交矩陣或（定義），性質(zhì)：、的列向量是標準正交向量組，即；、若為正交矩陣，則也為正交陣，且；、若、正交陣，則也是正交陣；2、施密特正交化： （注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化）；;3、對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；對于實對稱陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量正交；4、與等價經(jīng)過初等變換得到，、可逆，、同型；、與合同，其中可逆與有相同的正

7、、負慣性指數(shù)；、與相似；相似一定合同、合同未必相似；5、與相似，則：、，、，、6、是的特征值，是的多項式，則是的特征值；7、若為正交矩陣，則，（合同、相似的約束條件不同，相似的更嚴格）；8、元二次型為正定的正慣性指數(shù)為與合同，即存在可逆矩陣，使的所有特征值均為正數(shù)的各階順序主子式均大于0(必要條件)主要題型與方法總結(jié)1、求方陣的逆矩陣或解矩陣方程：、伴隨矩陣法（或公式法）：；、初等變換法：，則可逆，且；、對矩陣做初等行變換，；則為矩陣方程的解2、求矩陣（或向量組）的秩及向量組的極大無關(guān)組：、定義法；、初等變換法：矩陣變換為行階梯陣，向量組按列形成矩陣變換為行最簡形即得； 3、行列式的計算：、上

8、、下三角行列式()法：主對角元素的乘積；、降階法：按任意行列展開；、特征值乘積； 4、線性方程組求解方法：、齊次線性方程組：經(jīng)初等行變換化為行最簡形，時只有零解；時，從最簡方程組中求得基礎(chǔ)解系：，進一步寫出通解；、非齊次線性方程組：時有解；時有唯一解，時有無窮多解，對增廣矩陣施行初等行變換化為行最簡形，進一步得唯一解或據(jù)解的結(jié)構(gòu)得非齊次線性方程組的通解，其中為的一個特解；5、判斷向量組的線性相關(guān)性：、利用向量組線性相關(guān)性的等價刻畫1；、求秩法；、對個維向量的向量組可采用行列式法，將向量按列形成方陣A，若，則向量組線性相關(guān)，若，則向量組線性無關(guān)； 利用部分相關(guān)則整體相關(guān)、個維向量必線性相關(guān)等結(jié)論；6、求特征值與特征向量：、由求得A的個特征值，設(shè)A有t個互異的特征值，則其重數(shù)之和為；、求齊次線性方程組的所有非零解得全部特征向量； 7、矩陣的相似對角化：、若A的每一個特征值的重數(shù)，則A有個線性無關(guān)的特征向量，從而A可以相似對角化，否則A不可以相似對角化；、A可以相似對角化時，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，得個線性無關(guān)的特征向量，按列構(gòu)成可逆矩陣P，則；8、實對稱矩陣的正交相似對角化：、求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，得個線性無關(guān)的特征向量；、將所得個線性無關(guān)的特征向量利用Schmidt正交化方法正交化再單位化