7高數(shù)選修多元積分

1、章節(jié)第七章日期重點難點第七章 多元函數(shù)積分學一二重積分的計算，交換積分次序與累次積分的轉(zhuǎn)換1利用直角坐標系計算二重積分若D為X型區(qū)域：則：若D為Y型區(qū)域：則：若積分域較復雜，可將其分為若干個X型或Y型區(qū)域，則：例（02研）：計算二重積分，其中。解：積分域為正方形，而被積函數(shù)需分塊表示：用直線將積分域分為兩塊，則：原式 （利用二積分的對稱性）2利用極坐標系計算二重積分二重積分的變量從直角坐標變換為極坐標的變換公式：章節(jié)（續(xù)）日期重點難點設 ，則：特別地，對 ，有：若則可求得D的面積：若是普通閉區(qū)域，面積為：若是扇形區(qū)域，面積為：例（05研）設表示不超過的最大整數(shù)，計算。解：在D上：將D分為兩塊：

2、換成極坐標有原式章節(jié)（續(xù)）日期重點難點3交換積分次序與累次積分的轉(zhuǎn)換方法：根據(jù)已知積分限確定積分域，再根據(jù)其圖形確定變換后的積分域。例1（06研）設為連續(xù)函數(shù)，則 （ C ）A BC D解：根據(jù)已知積分域有，是半徑為1圓心在原點的圓位于第一象限部分的一半，圓方程為，若化成直角坐標系下的二次積分，當選擇X型域時，需將積分域化為兩部分，而所給四個選項均只有一項，故應使用Y型域，有 原積分，選C。例2設函數(shù)在0，1上連續(xù)且，求。解：積分域如圖，交換積分次序有：由于定積分與積分變量無關，可將后式寫為：，將此式加上所求有：即：章節(jié)（續(xù)）日期重點難點二三重積分的計算1利用直角坐標系計算三重積分微元線密度方

3、法1：投影法（“先一后二”），細長柱體微元的質(zhì)量為：該物體的質(zhì)量為：記作：方法2：截面法（“先二后一”），面密度以為底，為高的柱形薄片質(zhì)量為：該物體的質(zhì)量為：記作：方法3：三次積分法，設區(qū)域利用投影法結(jié)果，把二重積分化為二次積分即得：記憶方法：先從面到面，再從線到線，最后從點到點。章節(jié)（續(xù)）日期重點難點2利用柱面坐標系計算三重積分柱面坐標系中的體積元素為：，則：其中：例（91研）：求，其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面圍成的立體。解：旋轉(zhuǎn)曲面方程為：，使用柱面坐標，有：原式3利用球面坐標系計算三重積分球面坐標系中體積元素為：因此， 其中：章節(jié)（續(xù)）日期重點難點4利用區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)

4、的奇偶性化簡多元函數(shù)的積分例：計算，其中是由曲面所圍成的區(qū)域。解：積分域是由球心在原點半徑為1的上半球面與頂點在原點，對稱軸為軸，半頂角為的錐面所圍成，選擇球面坐標系，由于積分域關于面對稱，被積函數(shù)的第一項是關于的奇函數(shù)，故：原式在點三曲線積分與格林公式，兩類曲線積分之間的聯(lián)系1對弧長的曲線積分參數(shù)方程：直角坐標系：極坐標系：特別要注意弧微分公式，應用很廣泛。2對坐標的曲線積分3兩類曲線積分之間的聯(lián)系章節(jié)（續(xù)）日期重點難點4格林公式，積分與路徑無關的條件格林公式：（一般取逆時針方向為正向）正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積：平面上曲線積分與路徑無關的等價條件：定理：設D是單連通域，函數(shù)在D內(nèi)具有一階

5、連續(xù)偏導數(shù)，則以下四個條件等價：（1） 沿D中任意光滑閉曲線L，有：；（2） 對D中任一分段光滑曲線L，曲線積分： 與路徑無關，只與起點和終點有關；（3） 在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，即：；（4）在D內(nèi)每一點都有：。例1（91研）在過點和的曲線族中求一條曲線，使沿該曲線從O到A的積分的值最小。解：記曲線，則：章節(jié)（續(xù)）日期重點難點再求的最小值點：在上的最小值點是，則所求曲線為例2（99研）求，其中為正的常數(shù)，L為從點沿曲線到點的弧。解：添加輔助線使積分曲線成為閉合曲線，則有：例3（03研）已知平面區(qū)域，L為D的正向邊界，試證：（1）；（2）證：（1）由格林公式有：左邊右邊章節(jié)（續(xù)）日期重點難點由

6、于區(qū)域D關于對稱，可將互換，則有：，即：（2）由（1）的結(jié)論并根據(jù)有： 四曲面積分與高斯公式，兩類曲面積分之間的聯(lián)系1方向?qū)?shù)章節(jié)（續(xù)）日期重點難點五斯托克斯公式，向量場的散度和旋度1多元函數(shù)的極值問題章節(jié)（續(xù)）日期重點難點六多元函數(shù)積分學的應用章節(jié)（續(xù)）日期重點難點章節(jié)第七章 習題及解答日期重點難點第七章 習題及解答1（94研）設D為圓域，則_。解：注意到：原式2（01研）交換二次積分的積分次序：_。解：觀察所給二次積分，由于時，故此二次積分不是由二重積分得來的，而將后式上下限互換后的二次積分才是二重積分的一個累次積分，它與原式相差一個符號，先將其表示為：其積分域為交換積分次序并考慮到與所求相差一個符號，有：原式3（07研）設曲線（具有一階連續(xù)偏導數(shù)），過第象限內(nèi)的點M和第象限內(nèi)的點為L上從點的一段弧，則下列積分小于零的是 （ B ）A B C D解：記兩點坐標為，將代入被積