08 立體圖形上的最短路徑問題

1、第8講 立體圖形上的最短路徑問題一、方法技巧解決立體圖形上最短路徑問題：1.基本思路：立體圖形平面化，即化“曲”為“直”2.“平面化”的基本方法： （1）通過平移來(lái)轉(zhuǎn)化 例如：求A、B兩點(diǎn)的最短距離，可通過平移，將樓梯“拉直”即可 （2）通過旋轉(zhuǎn)來(lái)轉(zhuǎn)化 例如：求兩點(diǎn)的最短距離，可將長(zhǎng)方體表面展開，利用勾股定理即可求例如：求小螞蟻在圓錐底面上點(diǎn)A處繞圓錐一周回到A點(diǎn)的最短距離 可將圓錐側(cè)面展開，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”即可得解 （3）通過軸對(duì)稱來(lái)轉(zhuǎn)化 例如：求圓柱形杯子外側(cè)點(diǎn)到內(nèi)側(cè)點(diǎn)的最短距離，可將杯子（圓柱）側(cè)面展開，作點(diǎn)關(guān)于杯口的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知即為最短距離 3.儲(chǔ)備

2、知識(shí)點(diǎn)：（1）兩點(diǎn)之間，線段最短 （2）勾股定理 4.解題關(guān)鍵：準(zhǔn)確畫出立體圖形的平面展開圖二、應(yīng)用舉例類型一 通過平移來(lái)轉(zhuǎn)化【例題1】如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想要到B點(diǎn)去吃可口的食物，請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路是多少？【答案】13cm【解析】試題分析：只需將其展開便可直觀得出解題思路，將臺(tái)階展開得到的是一個(gè)矩形，螞蟻要從點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離，便是矩形的對(duì)角線，利用勾股定理即可解出答案.試題解析：解：展開圖如圖所示， 所以，螞蟻爬行的最短路線是13cm類型二 通

3、過旋轉(zhuǎn)來(lái)轉(zhuǎn)化【例題2】如下圖，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為5cm，側(cè)棱長(zhǎng)為8cm，一只螞蟻欲從正四棱柱底面上的A點(diǎn)沿棱柱側(cè)面到點(diǎn)C處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是多少？【答案】【解析】試題分析：解這類題應(yīng)將立體圖形展開，轉(zhuǎn)化為平面圖形，把空間兩點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離，利用“同一平面內(nèi)兩點(diǎn)間的最短路線是連接這兩點(diǎn)的線段”進(jìn)行計(jì)算.試題解析：解：如圖1，設(shè)螞蟻爬行的路徑是AEC（在面ADDA上爬行是一樣的）.將四棱柱剪開鋪平使矩形AABB與BBCC相連，連接AC，使E點(diǎn)在AC上（如圖2）所以這只螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為【難度】一般【例題3】如下圖所示，圓柱形玻璃容器高18cm，底面周長(zhǎng)為6

4、0cm，在外側(cè)距下底1cm的點(diǎn)S處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處1cm的點(diǎn)F處有一蒼蠅，試求蜘蛛捕獲蒼蠅充饑所走的最短路線的長(zhǎng)度.【答案】【解析】試題分析：展開后連接，求出的長(zhǎng)就是捕獲蒼蠅的最短路徑，過點(diǎn)作于，求出、，根據(jù)勾股定理求出即可.試題解析：解：如下圖所示，把圓柱的半側(cè)面展開成矩形，點(diǎn)S，F(xiàn)各自所在的母線為矩形的一組對(duì)邊上下底面圓的半周長(zhǎng)為矩形的另一組對(duì)邊.該矩形上的線段SF即為所求的最短路線.過點(diǎn)S作點(diǎn)F所在母線的垂線，得到.【難度】較易【例題4】（2015·紅河期末）如下圖，有一圓錐形糧堆，其主視圖是邊長(zhǎng)為6m的正三角形ABC，糧堆母線AC的中點(diǎn)P處有

5、一老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是_m（結(jié)果不取近似值）【答案】【解析】試題分析：求小貓經(jīng)過的最短距離，首先應(yīng)將其側(cè)面展開，將問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離的問題，根據(jù)展開圖中扇形的弧長(zhǎng)與圓錐底面周長(zhǎng)相等可求展開圖的扇形圓心角度數(shù)，故可得出展開圖中，即可用勾股定理求出小貓經(jīng)過的最短距離長(zhǎng).試題解析：解：作出圓錐側(cè)面展開后的扇形圖如下圖，設(shè)該扇形的圓心角度數(shù)為，由展開扇形圓弧長(zhǎng)等于底面圓周長(zhǎng)，可得，再由，可得，故在展開的平面圖形中，點(diǎn)到的最短距離為 【難度】一般類型三 通過軸對(duì)稱來(lái)轉(zhuǎn)化【例題5】桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯（無(wú)蓋），高為12厘米

6、，底面周長(zhǎng)18厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口3厘米的A處有一滴蜜糖，一只小蟲從桌上爬至杯子外壁，當(dāng)它正好爬至蜜糖相對(duì)方向離桌面3厘米的B處時(shí)，突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖，問小蟲至少爬多少厘米才能到達(dá)蜜糖所在位置？【答案】厘米【解析】試題分析：把圓柱展開，得到矩形形狀，的最短距離就是線段的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理解答即可試題解析：解：如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于杯口的對(duì)稱點(diǎn) 則厘米 【難度】較易三、實(shí)戰(zhàn)演練類型一 通過平移來(lái)轉(zhuǎn)化1如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20dm、3dm、2dmA和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為 dm【答案】25

7、dm【解析】試題分析：先將圖形平面展開，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行解答試題解析：解：如圖，三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為20dm，寬為（2+3）×3dm，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xdm，由勾股定理可得x2=202+（2+3）×32，解得x=25即螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為25dm【難度】較易類型二 通過旋轉(zhuǎn)來(lái)轉(zhuǎn)化2.（2015·陜西）有一個(gè)圓柱形油罐，已知油罐周長(zhǎng)是12m，高AB是5m，要從點(diǎn)A處開始繞油罐一周造梯子，正好到達(dá)A點(diǎn)的正上方B處，問梯子最短有多長(zhǎng)？【答案】【解析】試題分析：把圓柱沿側(cè)面

8、展開，連接，再根據(jù)勾股定理得出結(jié)論試題解析：解：展開圖如圖所示，【難度】較易3.有一個(gè)圓柱體，如圖，高4cm，底面半徑5cm，A處有一小螞蟻，若螞蟻欲爬行到C處螞蟻爬行的最短距離 .【答案】【解析】試題分析：圓柱展開就是一個(gè)長(zhǎng)方形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可求試題解析：解：，為底面周長(zhǎng)的一半，即【難度】較易4.葛藤是一種刁鉆的植物，它的腰桿不硬，為了爭(zhēng)奪雨露陽(yáng)光，常常繞著樹干盤旋而上，它還有一手絕招，就是它繞樹盤升的路線總是沿最短路線-螺旋前進(jìn)的，難道植物也懂得數(shù)學(xué)？閱讀以上信息，解決下列問題：（1）如果樹干的周長(zhǎng)（即圖中圓柱體的底面周長(zhǎng)）為30cm，繞一圈升高（即圓柱的高）40cm,則它爬行一周

9、的路程是多少？（2）如果樹干的周長(zhǎng)是80cm,繞一圈爬行100cm，它爬行10圈到達(dá)樹頂，則樹干高多少？【答案】（1）50cm；（2）6m【解析】試題分析：（1）如下圖，將圓柱展開，可知底面圓周長(zhǎng)，即為AC的長(zhǎng)，圓柱的高即為BC的長(zhǎng)，求出AB的長(zhǎng)即為葛藤樹的最短路程（2）先根據(jù)勾股定理求出繞行1圈的高度，再求出繞行10圈的高度，即為樹干高試題解析：解：（1）如圖，的周長(zhǎng)為30cm，即AC=30cm 高是40cm，則BC=40cm，由勾股定理得 故爬行一周的路程是50cm （2）的周長(zhǎng)為80cm，即AC=80cm 繞一圈爬行100cm，則AB=100cm，高BC=60cm 樹干高=60×

10、;10=600cm=6m故樹干高6m【難度】一般5（2015·江陰市）如圖，一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子的棱長(zhǎng)為2，BC的中點(diǎn)為M，一只螞蟻從盒外的B點(diǎn)沿正方形的表面爬到盒內(nèi)的M點(diǎn)，螞蟻爬行的最短距離是 （ ）A B C1 D【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)已知得出螞蟻從盒外的點(diǎn)沿正方形的表面爬到盒內(nèi)的點(diǎn)，螞蟻爬行的最短距離是如圖BM的長(zhǎng)度，進(jìn)而利用勾股定理求出試題解析：解：螞蟻從盒外的點(diǎn)沿正方體的表面爬到盒內(nèi)的點(diǎn) 螞蟻爬行的最短距離是如圖的長(zhǎng)度無(wú)蓋的正方體盒子的棱長(zhǎng)為2，的中點(diǎn)為 故選：B【難度】較易6.已知O為圓錐頂點(diǎn)，OA、OB為圓錐的母線，C為OB中點(diǎn)，一只小螞蟻從點(diǎn)C開始沿圓錐側(cè)面

11、爬行到點(diǎn)A，另一只小螞蟻繞著圓錐側(cè)面爬行到點(diǎn)B，它們所爬行的最短路線的痕跡如右圖所示，若沿OA剪開，則得到的圓錐側(cè)面展開圖為（ ） 【答案】C【解析】試題分析：要求小螞蟻爬行的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，再利用做對(duì)稱點(diǎn)作出另一只小螞蟻繞著圓錐側(cè)面爬行到點(diǎn)B，它們所爬行的最短路線.試題解析：解：C為OB中點(diǎn)，一只小螞蟻從點(diǎn)C開始沿圓錐側(cè)面爬行到點(diǎn)A側(cè)面展開圖BO為扇形對(duì)稱軸，連接AC即是最短路線另一只小螞蟻繞著圓錐側(cè)面爬行到點(diǎn)B，作出C關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)，再利用扇形對(duì)稱性得出關(guān)于BO的另一對(duì)稱點(diǎn)，連接即可.故選C【難度】一般7（2014·棗莊）圖所

12、示的正方體木塊棱長(zhǎng)為6cm，沿其相鄰三個(gè)面的對(duì)角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖的幾何體，一只螞蟻沿著圖的幾何體表面從頂點(diǎn)爬行到頂點(diǎn)的最短距離為 cm【答案】【解析】試題分析：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圖的幾何體表面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果試題解析：解：如答圖，易知BCD是等腰直角三角形，ACD是等邊三角形，在RtBCD中，在RtACE中，從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為【難度】一般8.一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為QA=8，底面圓的半徑r=2，若一只小螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回到A點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)是_（結(jié)果保留根式）【答案】【解析】解：設(shè)圓錐的展開圖扇形的中

13、心角的度數(shù)為n，則 ，解得：即在中，根據(jù)勾股定理【難度】一般9.如圖，圓錐的主視圖是等邊三角形，圓錐的底面半徑為2cm，假若點(diǎn)B有一只螞蟻只能沿圓錐的表面爬行，它要想吃到母線AC的中點(diǎn)P處的食物，那么它爬行的最短路程是多少？【答案】【解析】試題分析：根據(jù)圓錐的主視圖是等邊三角形可知，展開圖是半徑是4的半圓，點(diǎn)B是半圓的一個(gè)端點(diǎn)，而點(diǎn)P是平分半圓的半徑的中點(diǎn)，根據(jù)勾股定理就可求出兩點(diǎn)B和P在展開圖中的距離，就是這只螞蟻爬行的最短距離試題解析：解：設(shè)圓錐的展開圖的圓心角為n，則， 解得：即在展開圖中，由勾股定理得，點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓錐的側(cè)面展開圖的計(jì)算，正確判斷螞蟻爬行的路線，把曲面的問題化為

14、平面的問題是解題的關(guān)鍵【難度】較難10.（1）如圖，一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子的棱長(zhǎng)分別為，盒子的內(nèi)部頂點(diǎn)處有一只昆蟲甲，在盒子的內(nèi)部頂點(diǎn)處有一只昆蟲乙（盒壁的厚度忽略不計(jì)）假設(shè)昆蟲甲在頂點(diǎn)處?kù)o止不動(dòng)，請(qǐng)計(jì)算處的昆蟲乙沿盒子內(nèi)壁爬行到昆蟲甲處的最短路程，并畫出其最短路徑，簡(jiǎn)要說(shuō)明畫法（2）如果（1）問中的長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為，如圖，假設(shè)昆蟲甲從盒內(nèi)頂點(diǎn)以1厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱向下爬行，同時(shí)昆蟲乙從盒內(nèi)頂點(diǎn)以3厘米/秒的速度在盒壁的側(cè)面上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能捕捉到昆蟲甲？【答案】（1）就是最短路徑 （2）5秒【解析】解：（1）如圖二，將上表面展開，使上表面與前表面在同一平面內(nèi)，

15、即三點(diǎn)共線， 根據(jù)勾股定理得如圖三，將右側(cè)面展開，使右側(cè)面與下面在同一平面內(nèi)，即三點(diǎn)共線，根據(jù)勾股定理得 如圖四，將右側(cè)面展開，使右側(cè)面與前表面在同一平面內(nèi)，即三點(diǎn)共線.，根據(jù)勾股定理得最短路程是.在圖四中，如圖一，在上取一點(diǎn)，使，連接，就是最短路徑（2）如圖五，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得即：解得：，所以，昆蟲至少需要5秒才能捉到昆蟲甲.點(diǎn)評(píng)：在長(zhǎng)方體中，經(jīng)過它的表面，從一個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)與它相對(duì)的頂點(diǎn)的最短距離是：在長(zhǎng)、寬、高中，以較短的兩條邊的和作為一條直角邊，最長(zhǎng)的邊作為另一條直角邊，斜邊即為最短路線長(zhǎng)【難度】較難11如圖，A是高為10cm的圓柱底面圓上一點(diǎn)，一只蝸牛從A點(diǎn)出發(fā)，沿30&

16、#176;角繞圓柱側(cè)面爬行，當(dāng)他爬到頂上時(shí)，他沿圓柱側(cè)面爬行的最短距離是（ ）A. 10cm B. 20cm C. 30cm D. 40cm【答案】B【解析】試題分析：將圓柱側(cè)面展開，連接,根據(jù)三角函數(shù)求出的長(zhǎng)即可試題解析：解：根據(jù)題意得， 故選B【難度】一般12如圖，是一個(gè)長(zhǎng)4m，寬3m，高2m的有蓋倉(cāng)庫(kù)，在其內(nèi)壁的A處（長(zhǎng)的四等分）有一只壁虎，B處（寬的三等分）有一只蚊子，則壁虎爬到蚊子處最短距離為（） A4.8 B C5 D 【答案】C【解析】有兩種展開方法：長(zhǎng)方體展開成如圖所示，連接， 根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，；將長(zhǎng)方體展開成如圖所示，連接，則；故選C【難度】較易13（2015-2016

17、·內(nèi)蒙古包頭）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15 cm，寬為10 cm，高為20 cm，點(diǎn)B距離C點(diǎn) 5 cm，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是 cm【答案】25【解析】試題分析：要求正方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法就是將正方體展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答.試題解析：解：如圖：（1）（2）；（3）所以需要爬行的最短距離是25【難度】較難14已知：如圖，一個(gè)玻璃材質(zhì)的長(zhǎng)方體，其中，在頂點(diǎn)處有一塊爆米花殘?jiān)?，一只螞蟻從?cè)面的中心沿長(zhǎng)方體表面爬行到點(diǎn)則此螞蟻爬行的最短距離為 【答案】【解析】試題分析：要求螞蟻爬行的最短距離，需要將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，

18、將E、O（設(shè)面BCSF的中心為點(diǎn)O）所在的兩個(gè)面展開，但展開圖并非只有一種，而是兩種，需要利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”，來(lái)一一求出線段EO的長(zhǎng)度，然后比較兩種情況的結(jié)果，找出最短路徑試題解析：解：設(shè)面BCSF的中心為點(diǎn)O，根據(jù)題意，最短路徑有下列兩種情況：如圖1，沿SF把長(zhǎng)方體的側(cè)面展開，螞蟻爬行的最短距離如圖2，沿BF把長(zhǎng)方體的側(cè)面展開，螞蟻爬行的最短距離故此螞蟻爬行的最短距離是【難度】較難15如圖，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長(zhǎng)為1m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為 m（容器厚度忽略不計(jì)）.【答案】【解析】試題分析：將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知AB的長(zhǎng)度即為所求試題解析：解：要求壁虎捉蚊子的最短距離，實(shí)際上是求在EC上找一點(diǎn)P，使PA+PB最短， 過點(diǎn)A作EC的對(duì)稱點(diǎn)A，連結(jié)AB，則AB與EF