南昌大學(xué)數(shù)學(xué)物理方法期末考試2009C卷答案(共8頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上南昌大學(xué) 20082009學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷 參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 試卷編號：6031 (C)卷課程編號：H 課程名稱： 數(shù)學(xué)物理方法 考試形式： 閉卷 適用班級：物理系07各專業(yè) 姓名： 學(xué)號： 班級： 學(xué)院： 專業(yè)： 考試日期： 題號一二三四五六七八九十總分累分人 簽名題分5050 100得分考生注意事項(xiàng)：1、本試卷共6頁，請查看試卷中是否有缺頁或破損。如有立即舉手報告以便更換。 2、考試結(jié)束后，考生不得將試卷、答題紙和草稿紙帶出考場。3、請仔細(xì)閱讀題前的說明。一、基礎(chǔ)題(每小題 10 分，共 50 分) 得分評閱人 1.（1）計算的代數(shù)式和的三角式. （2）

2、已知復(fù)數(shù)的模為2，即，求（）。解：（1），。 -(5分) （2）首先因?yàn)?，所以有。因此得，即?(5分)專心-專注-專業(yè)2.（1）試說明解析與可導(dǎo)之間的聯(lián)系與區(qū)別。 （2）解析函數(shù)有那些基本性質(zhì)？ （3）已知解析函數(shù)的實(shí)部為，試驗(yàn)證其虛部為。解：（1）解析必定可導(dǎo)，可導(dǎo)不一定解析。 -(2分) （2）解析函數(shù)的實(shí)部虛部可構(gòu)成正交曲線族，且為共軛調(diào)和函數(shù)。 -(3分) （3）令實(shí)部，若虛部，容易驗(yàn)證它們的偏導(dǎo)數(shù)存在且連 續(xù)，并且滿足柯西黎曼條件，因此的虛部為。 -(5分)3.（1）冪級數(shù)和雙邊冪級數(shù)的收斂性質(zhì)有什么區(qū)別？ （2）給出泰勒展開的公式。 （3）以原點(diǎn)為展開中心，在原點(diǎn)的鄰域上，將函數(shù)

3、展開為泰勒級數(shù)。解：（1）冪級數(shù)和雙邊冪級數(shù)分別的收斂區(qū)域分別為收斂園與環(huán)域。 -(2分) （2） -(3分) （3）由， 容易證明，所以。同時還有。然后由泰 勒展開公式得 -(5分)4.（1）什么是孤立奇點(diǎn)？ （2）孤立奇點(diǎn)可分為哪幾類？并舉例說明。 （3）試說明的奇點(diǎn)的特點(diǎn)，舉例說明。解：（1）孤立奇點(diǎn)的某一鄰域不包含其它奇點(diǎn)。 -(2分) （2）孤立奇點(diǎn)可分可去奇點(diǎn)，如的奇點(diǎn)，極點(diǎn)，如的奇點(diǎn)，和本性奇 點(diǎn)，如的奇點(diǎn)， -(5分) （3）當(dāng)時，其極限依賴于的方式。例如，。 -(3分)5. 已知函數(shù)的傅里葉變換為，試證明的傅里葉變換為。證明：由于函數(shù)的傅里葉變換， -(2分)則的傅里葉變換為

4、 -(3分)根據(jù)傅里葉積分定理，有，于是，上式中的第一項(xiàng)為0。 -(2分)所以 -(3分)二、計算題(每小題 25 分，共 50 分)得分評閱人 1.（1）計算函數(shù)在其各個極點(diǎn)的留數(shù)。 （2）用留數(shù)定理計算，其中C為以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓 周。 （3）用留數(shù)定理計算實(shí)積分 。解：（1）解：有兩個極點(diǎn)：單極點(diǎn)，兩階極點(diǎn)。 -(1分)留數(shù)分別為 -(2分)和 -(2分)（2）積分 -(5分)所以 -(5分)（3）做變換, 原積分化為 -(3分)由 得兩個根。但在積分圍線內(nèi)，只有點(diǎn)是被積函數(shù)的單極點(diǎn)。 -(3分)因?yàn)?-(2分)根據(jù)留數(shù)定理得 -(2分)2.（1）試寫出達(dá)朗貝爾公式，并求解偏微分方程，初始條件為。 （2）解常微分方程初值問題。注：可使用拉普拉斯變換，或其它任何方法。解：(1) 若方程的初始條件為，則