大數(shù)學家柯西

1、大數(shù)學家柯西柯西 ,A.L.(Cauchy ,Augustin-Louis)1789年8月21日生于法國巴黎;1857年5月22日卒于法國斯科。數(shù)學、數(shù)學物理、力學。數(shù)學分析嚴格化的開拓者分析嚴格化的需要柯西懷著嚴格化的明確目標 ,為數(shù)學分析建立了一個根本嚴謹?shù)耐暾w系。他說：“至于方法 ,我力圖賦予幾何學中存在的嚴格性 ,決不求助于從代數(shù)一般性導出的推理。這種推理只能認為是一種推斷 ,有時還適用于提示真理 ,但與數(shù)學科學的令人嘆服的嚴謹性很不相符。他說他通過分析公式成立的條件和規(guī)定所用記號的意義 ,“消除了所有不確定性 ,并說：“我的主要目標是使嚴謹性(這是我在?分析教程?中為自己制定的準繩

2、)與基于無窮小的直接考慮所得到的簡單性和諧一致。極限與無窮小柯西規(guī)定：“當一個變量相繼取的值無限接近于一個固定值 ,最終與此固定值之差要多小就有多小時 ,該值就稱為所有其他值的極限?！爱斖蛔兞肯嗬^取的數(shù)值無限減小以至降到低于任何給定的數(shù) ,這個變量就成為人們所稱的無窮小或無窮小量。這類變量以零為其極限?！爱斖蛔兞肯嗬^取的數(shù)值越來越增加以至升到高于每個給定的數(shù) ,如果它是正變量 ,那么稱它以正無窮為其極限 ,記作∞如果是負變量 ,那么稱它以負無窮為其極限 ,記作-∞。從字面上看 ,柯西的定義與在此以前達朗貝爾、拉克魯瓦所給的定義差異不大 ,但實際上有巨大改良。首先 ,

3、柯西常常把他的定義轉(zhuǎn)述為不等式。在討論復雜表達式的極限時 ,他用了ε-δ論證法的雛型。其次 ,他首次放棄了過去定義中常有的“一個變量決不會超過它的極限這類不必要的提法 ,也不提過去定義中常涉及的一個變量是否“到達它的極限 ,而把重點放在變量具有極限時的性態(tài)。最后 ,他以極限為根底定義無窮小和微積分學中的根本概念 ,建立了級數(shù)收斂性的一般理論。函數(shù)及其連續(xù)性柯西以接近于現(xiàn)代的方式定義單元函數(shù)：“當一些變量以這樣的方式相聯(lián)系 ,即當其中之一給定時 ,能推知所有其他變量的值 ,那么通常就認為這些變量由前一變量表示 ,此變量取名為自變量 ,而其余由自變量表示的變量 ,就是通

4、常所說的該自變量的一些函數(shù)。他以類似方式定義多元函數(shù) ,并區(qū)別了顯函數(shù)和隱函數(shù) ,用他建立的微分方程解的存在性定理在較強條件下證明了隱函數(shù)的局部存在性?？挛鹘o出了連續(xù)的嚴格定義：“函數(shù)f(x)是處于兩個指定界限之間的變量x的連續(xù)函數(shù) ,如果對這兩個界限之間的每個值x ,差f(x+a)-f(x)的數(shù)值隨著a無限減小。換言之 ,變量的無窮小增量總導致函數(shù)本身的無窮小增量。在一個附錄中 ,他給出了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值性質(zhì)的嚴格證明 ,其中用到了“區(qū)間套思想。微分學柯西按照前人方式用差商的極限定義導數(shù) ,但在定義中多了一句：“當這個極限存在時 ,用加撇符號y'或f'(x)表示。這說明他

5、已用嶄新的方式考慮問題。他把導數(shù)定義轉(zhuǎn)述為不等式 ,由此證明有關(guān)的各種定理?？挛饕愿罹€的極限位置切線 ,用中值定理證明極限點處切線的水平性。他證明了f'(x0)=f(n-1)(x0)=0時用f(n)(x0)的符號判斷極大、極小的命題。他由自己的中值定理推導出洛必達法那么。這樣 ,他就為微分學的應(yīng)用奠定了嚴格的理論根底。積分學他既給出了連續(xù)函數(shù)定積分的定義 ,又證明了它的存在性。他還指出這種定義對于不能把被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為原函數(shù)的一般情形也適用。他給出了現(xiàn)在通用的廣義積分的定義?？挛骱啙嵍鴩栏竦刈C明了微積分學根本定理即牛頓-萊布尼茨公式。他利用定積分嚴格證明了帶余項的泰勒公式 ,還用微分與積

6、分中值定理表示曲邊梯形的面積 ,推導了平面曲線之間圖形的面積、曲面面積和立體體積的公式?？挛鞯亩x是從僅把積分看作微分逆運算走向現(xiàn)代積分理論的轉(zhuǎn)折點 ,他堅持先證明存在性那么是從依賴直覺到嚴格分析的轉(zhuǎn)折點。級數(shù)論柯西是第一個認識到無窮級數(shù)論并非多項式理論的平凡推廣而應(yīng)當以極限為根底建立其完整理論的數(shù)學家。他以局部和有限定義級數(shù)收斂并以此極限定義收斂級數(shù)之和。18世紀中許多數(shù)學家都隱約地使用過這種定義 ,柯西那么明確地陳述這一定義 ,并以此為根底比擬嚴格地建立了完整的級數(shù)論。他給出所謂“柯西準那么 ,證明了必要性 ,并以理所當然的口氣斷定充分性。對于正項級數(shù) ,他嚴格證明了比率判別法和他創(chuàng)造的根

7、式判別法;指出ΣUn與Σ2nU2n同時收斂或發(fā)散 ,由此推出一些常用級數(shù)的斂散性;證明兩個收斂級數(shù)Σ的積級數(shù)Σ收斂。對于一般項級數(shù) ,他引進了絕對收斂概念 ,指出絕對收斂級數(shù)必收斂;收斂級數(shù)之和收斂 ,但積不一定收斂 ,并舉出反例對于冪級數(shù) ,柯西得到了收斂半徑公式 ,他以例子f(x)=e-1/x2說明 ,一個函數(shù)可為它的泰勒級數(shù)代替只當后者收斂且其和等于所給函數(shù)。影響在柯西手里 ,微積分構(gòu)成了由定義、定理及其證明和有關(guān)的各種應(yīng)用組成的邏輯上緊密聯(lián)系的體系。他的分析教程成為嚴格分析誕生的起點。復變函數(shù)論的奠基人19世紀 ,復變函數(shù)論逐漸成為數(shù)學的

8、一個獨立分支 ,柯西為此作了奠基性的工作。復函數(shù)與復冪級數(shù)?分析教程?中有一半以上篇幅討論復數(shù)與初等復函數(shù) ,這說明柯西早就把建立復變函數(shù)論作為分析的一項重要工程。他以形式方法引進復數(shù)(“虛表示式) ,定義其根本運算 ,得到這些運算的性質(zhì)。他比照實的情形定義復無窮小與復函數(shù)的連續(xù)性。復積分柯西寫于1814年的關(guān)于定積分的論文是他創(chuàng)立復變函數(shù)論的第一步。文中給出了所謂柯西-黎曼方程;討論了改變二重積分的次序問題 ,提出了被積函數(shù)有無窮型間斷點時主值積分的觀念并計算了許多廣義積分。柯西寫于1825年的關(guān)于積分限為虛數(shù)的定積分的論文 ,是一篇力作。文中提出了作為單復變函數(shù)論根底的“柯西積分定理。柯西

9、本人用變分方法證明了這條定理 ,證明中曲線連續(xù)變形的思想 ,可以說是“同倫觀念的萌芽。文中還討論了被積函數(shù)出現(xiàn)一階與m階極點時廣義積分的計算。殘數(shù)演算術(shù)語“殘數(shù)首次出現(xiàn)于柯西在1826年寫的一篇論文中。他認為殘數(shù)演算已成為“一種類似于微積分的新型計算方法 ,可以應(yīng)用于大量問題。家庭是幼兒語言活動的重要環(huán)境 ,為了與家長配合做好幼兒閱讀訓練工作 ,孩子一入園就召開家長會 ,給家長提出早期抓好幼兒閱讀的要求。我把幼兒在園里的閱讀活動及閱讀情況及時傳遞給家長 ,要求孩子回家向家長朗誦兒歌 ,表演故事。我和家長共同配合 ,一道訓練 ,幼兒的閱讀能力提高很快。復變函數(shù)論的建立其實,任何一門學科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會“活用。不記住那些根底知識,怎么會向高層次進軍?尤其是語文學科涉獵的范圍很廣,要真正提高學生的寫作水平,單靠分析文章的寫作技巧是遠遠不夠的,必須從根底知識抓起,每天擠一點時間讓學生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。