圓錐曲線中最值問(wèn)題的求解策略

1、圓錐曲線中最值問(wèn)題的求解策略最值問(wèn)題是圓錐曲線中的典型問(wèn)題，解決這類問(wèn)題不僅要緊緊把握?qǐng)A錐曲線的定義，而且要善于綜合應(yīng)用代數(shù)、平幾、三角等相關(guān)知識(shí)。以下從四個(gè)方面予以闡述。一、求點(diǎn)的坐標(biāo)的最值例1.定長(zhǎng)為l(l>)的線段AB的端點(diǎn)在雙曲線的右支上，則AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的最小值為A、B、C、D、FA'ABB 'MM 'Oy解析：如圖，作出雙曲線的右準(zhǔn)線，過(guò)A，B作AA、BB垂直于準(zhǔn)線，垂足為A，B。又過(guò)AB的中點(diǎn)M作MM垂直于準(zhǔn)線，垂足為M，則求M點(diǎn)橫坐標(biāo)的最小值，實(shí)質(zhì)上是求線段|MM|的最小值.因?yàn)閨MM|=(|AA|+|BB|)， 據(jù)雙曲線的第二定義：=e,可得

2、|AA|=|AF|，|BB|=|BF|，將此二式代入，結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊可得：|MM|=(|AF|+|BF|)|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)A、F、B三點(diǎn)共線時(shí)，即AB過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，有|AF|+|BF|=|AB|。即|MM|min=|AB|=，此時(shí)x=.故x=+. 選(D)評(píng)注：求解本題的關(guān)鍵是審題時(shí)對(duì)雙曲線定義及平幾知識(shí)的把握和應(yīng)用。二、求兩條線段的和的最值MFxF 'OyB例2.點(diǎn)M和F分別是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)和右焦點(diǎn)，定點(diǎn)B(2,2).求|MF|+|MB|的最小值.求|MF|+|MB|的最小值.解析：易知橢圓右焦點(diǎn)為F(4,0)，左焦點(diǎn)F(-4,0)，離心率e=，準(zhǔn)線方程x=±.

3、FxOyBMH|MF| + |MB| = 10|MF | + |MB| =10（|MF|MB|）10|FB|. 當(dāng)M，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，|MF|MB|取最大值|FB|.此時(shí)|MF|+|MB|10|FB|=102.過(guò)動(dòng)點(diǎn)M作右準(zhǔn)線x=的垂線，垂足為H，則.于是|MF|+|MB|=|MH|+|MB|HB|=.可見(jiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B、M、H共線時(shí)，|MF|+|MB|取最小值.評(píng)注：從橢圓的兩個(gè)等價(jià)定義出發(fā)，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平幾中的問(wèn)題：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的絕對(duì)值小于第三邊。是解決此類問(wèn)題的常見(jiàn)思路。三、求面積的最值A(chǔ)BOPxy例3.如圖，A、B、P(2,4)是拋物線y=x2+6上的點(diǎn)，且直

4、線PA、PB的傾斜角互補(bǔ)，若直線AB在y軸上的截距為正，求APB面積的最大值.解析：設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2)，則 得y14=(x1+2)(x12)kPA=(x1+2)；得y24=(x2+2)(x22)kPB=(x2+2) .直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，kPAkPB=（x1+x2+4）=0x1+x2=4.得y1y2=(x1+x2)(x1x2)，kAB(x1+x2)=2.設(shè)直線AB為y=2x+b(b>0)，代入y=x2+6，得x2+4x+2b12=0.|AB|=又P(2,4)到直線AB：2xy+b=0的距離為，SABC=d|AB|=××=b=.當(dāng)且僅當(dāng)b=時(shí)

5、，SABC取到最大值.評(píng)注：本題關(guān)鍵是用“點(diǎn)差法”求得kAB，在求SABC最大值時(shí)應(yīng)注意基本不等式的合理應(yīng)用。四、求最值條件下的曲線方程例4.已知橢圓的焦點(diǎn)F1(3,0)、F2(3,0)且與直線xy+9=0有公共點(diǎn)，求其中長(zhǎng)軸最短的橢圓方程.解法1：設(shè)橢圓為=1與直線方程xy+9=0聯(lián)立并消去y得：(2 a2 9) x2 + 18 a2 x + 90 a2a4= 0， 由題設(shè)=(18 a2)24(2 a29) (90 a2a4) 0a454 a2 + 405 0a245或a29.a29> 0, a245, 故amin=3，得（2a）min=6,此時(shí)橢圓方程為.解法2：設(shè)橢圓=1與直線xy+9=0的公共點(diǎn)為M(acos,)，則acos+9=0有解.=9cos(+)=，|19a245, amin=3，得（2a）min=6,MF2xF1 1OyF此時(shí)橢圓的方程.解法3：先求得F1(3，0)關(guān)于直線xy+9=0的對(duì)稱點(diǎn)F(9,6)，設(shè)直線F1F2與橢圓的交點(diǎn)為M，則2a=|MF1|+|MF2| =|MF| +|MF2|FF2|=6，于是(2a)min=6,易得a2=45,b2=36， 此時(shí)橢圓的方程為.評(píng)注：本題分別從代數(shù)、三角、幾何三種途徑尋求解決。由不同角度進(jìn)行分析和處理，有利于打開(kāi)眼界，拓寬思路，訓(xùn)練思維的發(fā)散性。解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題，必須在熟練并準(zhǔn)確地