25函數的最大值和最小值（二） (2)

1、3.8 3.8 函數的最大值函數的最大值 與最小值與最小值（二）（二）yyyyyyyy年年M M月月d d日星期日星期W W黃岡中學網校達州分校利用導數求函數的最值步驟利用導數求函數的最值步驟: 設函數設函數 f (x) 在在 a，b 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 ( a，b ) 內內可導，那么求可導，那么求 f (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a，b 上的最大值，上的最大值，最小值的步驟：最小值的步驟： (1) 求求 f (x) 在在 ( a，b ) 內的極值；內的極值； (2) 將將 f (x) 的各極值與的各極值與 f (a)， f (b)比較，其中比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值最大

2、的一個是最大值，最小的一個是最小值 . 復復 習習 回回 顧顧函數在閉區(qū)間上的最值點必在下列各種點之中：函數在閉區(qū)間上的最值點必在下列各種點之中： 導數等于零的點，導數不存在的點，區(qū)間端點。導數等于零的點，導數不存在的點，區(qū)間端點。黃岡中學網校達州分校 有關函數最大值和最小值的應用題有關函數最大值和最小值的應用題 在日常生活、生產和科研中，常常會遇到在日常生活、生產和科研中，常常會遇到求函數的最大值和最小值問題求函數的最大值和最小值問題. 黃岡中學網校達州分校 例例 1 在邊長為在邊長為 60 cm 的正方形鐵皮的四角分別截去的正方形鐵皮的四角分別截去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一

3、個無相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，問箱底邊長為多少時蓋的方底箱子，問箱底邊長為多少時, 箱子容積最大，箱子容積最大， 最大容積是多少？最大容積是多少？6060 xxxx 例例 題題 解解 析析黃岡中學網校達州分校23( )602xV xx602xh解法一解法一：設箱底邊長為：設箱底邊長為 x cm，則箱高，則箱高 cm，260)(322xxhxxV)600( x得箱子容積得箱子容積 23( )6002xV xx令令 解得解得 x=0（舍去），（舍去），x=40， 并求得并求得V(40)=16 000 由題意可知，當由題意可知，當x過小（接近過?。ń咏?）或過大（接

4、近）或過大（接近60）時，箱子容積很小，時，箱子容積很小，因此，因此，16 000是最大值是最大值答：當答：當x=40cm時，箱子容積最大，最大容積是時，箱子容積最大，最大容積是16 000 cm3 黃岡中學網校達州分校xxxV2)260()()300( x解法二：解法二：設箱高為設箱高為xcm，則箱底長為，則箱底長為(60-2x)cm，則，則得箱子容積得箱子容積（后面同解法一，略）（后面同解法一，略）260)(322xxhxxVxxxV2)260()(事實上，可導函數事實上，可導函數在各自的定義域中都只有一個極值點，從圖象角度理在各自的定義域中都只有一個極值點，從圖象角度理解即只有一個波峰，

5、是單峰的，因而這個極值點就是解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點就是最值點，不必考慮端點的函數值最值點，不必考慮端點的函數值. .黃岡中學網校達州分校 注：注： 在實際問題中，有時會遇到函數在區(qū)間內只在實際問題中，有時會遇到函數在區(qū)間內只有一個極值點的情況，如果函數在這一點有極大有一個極值點的情況，如果函數在這一點有極大值或極小值，那么不與端點值比較，根據實際意值或極小值，那么不與端點值比較，根據實際意義也可以知道在這一點處取得的是最大值還是最義也可以知道在這一點處取得的是最大值還是最小值小值. 如果函數在一個開區(qū)間內有唯一的極值點，如果函數在一個開區(qū)間內有唯一的極值點，則函數在這個點的

6、函數值肯定是函數的最值則函數在這個點的函數值肯定是函數的最值. 黃岡中學網校達州分校已已知知某某商商品品生生產產成成本本 C C與與產產量量 q q 的的函函數數關關系系式式為為1 1C C = =1 10 00 0+ +4 4q q，價價格格p p與與產產量量 q q 的的函函數數關關系系式式為為p p = = 2 25 5- -q q. .8 8求求產產量量 q q為為何何值值時時，利利潤潤例例2 2L L 最最大大. . 分析：分析：利潤利潤 L 等于收入等于收入 R 減去成本減去成本 C，而收入，而收入 R 等等于產量乘價格于產量乘價格. 由此可得出利潤由此可得出利潤 L 與產量與產量

7、 q 的函數關系式，的函數關系式，而后再利用導數求最大利潤而后再利用導數求最大利潤.221125(1004 )2110088LRCqqqqq (0100)q利潤利潤211252588Rq pqqqq解解：收入：收入1214Lq 0L令令12104q84q 即即，求得唯一的極值點，求得唯一的極值點答：產量為答：產量為84時，利潤時，利潤L最大最大黃岡中學網校達州分校例例3、某產品按質量分為、某產品按質量分為10個檔次個檔次,生產第一檔生產第一檔(即最低檔即最低檔次次)的利潤是每件的利潤是每件8元元,每提高一個檔次每提高一個檔次,利潤每件增加利潤每件增加2元元,但在相同的時間內產量減少但在相同的時

8、間內產量減少3件件.在相同的時間內在相同的時間內,最最低檔的產品可生產低檔的產品可生產60件件.問在相同的時間內問在相同的時間內,生產第幾生產第幾檔次的產品的總利潤最大檔次的產品的總利潤最大?有多少元有多少元?分析分析： 在一定條件下在一定條件下,“利潤最大利潤最大”“”“用料最省用料最省”“”“面積面積最大最大”“”“效率最高效率最高”“”“強度最大強度最大”等問題等問題,在生產、生在生產、生活中經常用到活中經常用到,在數學上這類問題往往歸結為求函數的在數學上這類問題往往歸結為求函數的最值問題最值問題.除了常見的求最值的方法外除了常見的求最值的方法外,還可用求導法還可用求導法求函數的最值求函

9、數的最值.但無論采取何種方法都必須在函數的定但無論采取何種方法都必須在函數的定義域內進行義域內進行.黃岡中學網校達州分校解法一解法一 ：設相同的時間內：設相同的時間內,生產第生產第x(xN*,1x10)檔次檔次的產品利潤的產品利潤y最大最大. 依題意依題意,得得y=8+2(x- -1)60- -3(x- -1) =- -6x2+108x+378 =- -6(x-9)2+864 (1x10), 顯然顯然,當當x=9時時,ymax=864(元元), 即在相同的時間內即在相同的時間內,生產第生產第9檔次的產品的總利潤檔次的產品的總利潤最大最大,最大利潤為最大利潤為864元元 黃岡中學網校達州分校解法

10、二解法二 ：由上面解法得到：由上面解法得到y(tǒng)=- -6x2+108x+378. 求導數求導數,得得y=- -12x+108. 令令y=- -12x+108=0, 解得解得x=9.因為因為x=91,10,y只有一個極值點只有一個極值點,所所以它是最值點以它是最值點, 即在相同的時間內即在相同的時間內,生產第生產第9檔次的產品利潤最大檔次的產品利潤最大,最大利潤為最大利潤為864元元.黃岡中學網校達州分校2222byax1、將正數、將正數a分成兩部分，使其立方和為最小，這兩部分應分成兩部分，使其立方和為最小，這兩部分應分成分成_和和_.2、使內接橢圓、使內接橢圓 =1的矩形面積最大，矩形的的矩形面

11、積最大，矩形的長為長為_，寬為，寬為_.2a2a2b2a 練練 習習 3、有一邊長分別為、有一邊長分別為8與與5的長方形，在各角剪去相同的小的長方形，在各角剪去相同的小正方形，把四邊折起作成一個無蓋小盒，要使紙盒的容正方形，把四邊折起作成一個無蓋小盒，要使紙盒的容積最大，問剪去的小正方形的邊長應為多少？積最大，問剪去的小正方形的邊長應為多少？剪去的小正方形的邊長應為剪去的小正方形的邊長應為1，容積，容積V取最大值為取最大值為18. 黃岡中學網校達州分校4、當室內的有毒細菌開始增加時、當室內的有毒細菌開始增加時,就要使用殺菌劑就要使用殺菌劑.剛開剛開始使用的時候始使用的時候,細菌數量還會繼續(xù)增加

12、細菌數量還會繼續(xù)增加,隨著時間的增隨著時間的增加加,它增加幅度逐漸變小它增加幅度逐漸變小,到一定時間到一定時間,細菌數量開始減細菌數量開始減少少.如果使用殺菌劑如果使用殺菌劑t小時后的細菌數量為小時后的細菌數量為b(t)=105+104t- -103t2. (1)求細菌在求細菌在t=5與與t=10時的瞬時速度時的瞬時速度; (2)細菌在哪段時間增加細菌在哪段時間增加,在哪段時間減少在哪段時間減少?為什么為什么?解解 (1) b(t)=- -2 000t+10 000, b(t)|t=5=- -2 0005+10 000=0, b(t)|t=10=- -2 00010+10 000=-10 000,即細菌在即細菌在t=5與與t=10時的瞬時速度分別為時的瞬時速度分別為0和和- -10 00 黃岡中學網校達州分校(2) 由由- -2 000t+10 0000, 得得t5, 由由- -2 000t+10 0005, 即細菌在即細菌在t(0,5)時間段數量增加時間段數量增加,在在t(5,+)時間時間段數量減少段數量減少 黃岡中學網校達州分校 解有關函數最大值、最小值的實際問題，解有關函數最大值、最小值的實際問題，需要分析問題中各個變量之間的關系，找出適需要分析問題中各個變量之間的關系，找出適當的函數關系式，并確定函數的定義區(qū)間；所當的函數關系式，并確