252矩形的判定

1、本節(jié)內容2.5矩矩 形形2.5.2 矩形的判定矩形的判定動腦筋動腦筋 矩形的四個角是直角，那么，四個角是直角的四矩形的四個角是直角，那么，四個角是直角的四邊形是矩形嗎？三個角是直角呢？兩個角是直角呢？邊形是矩形嗎？三個角是直角呢？兩個角是直角呢？如圖如圖2-46，四邊形，四邊形ABCD 的四個角都是直角的四個角都是直角. 由于由于“同旁內角互補，同旁內角互補， 兩直線平行兩直線平行”，因此因此ABDC， ADBC，從而四邊形，從而四邊形ABCD 是平行四邊形是平行四邊形. 所以所以ABCD 是矩形是矩形. 由此得到四個角是直角的由此得到四個角是直角的四邊形是四邊形是矩形矩形.圖圖2-46結論結

2、論三個角是直角的四邊形是矩形三個角是直角的四邊形是矩形. 三個角是直角的四邊形，容易知道另一個角也三個角是直角的四邊形，容易知道另一個角也是直角，由此得到：是直角，由此得到： 四邊形中只有兩個角四邊形中只有兩個角是直角，我想到了下邊的圖形：是直角，我想到了下邊的圖形：動腦筋動腦筋 從從“矩形的對角線相等且互相平分矩形的對角線相等且互相平分”這一性質受這一性質受到啟發(fā)，你能畫出對角線長度為到啟發(fā)，你能畫出對角線長度為4cm的一個矩形嗎？的一個矩形嗎？這樣的矩形有多少個？這樣的矩形有多少個？ 過點過點O 畫兩條線段畫兩條線段AC，BD，使得，使得OA=OC=2cm，OB =OD=2cm. 連接連接

3、AB， BC，CD，DA. 則四邊形則四邊形ABCD 是矩形，是矩形， 且它的對角線長度為且它的對角線長度為4 cm，如圖，如圖2-47. 這樣這樣的矩形有無窮多個的矩形有無窮多個.2cm2cm圖圖2-47你能說出這樣畫出的四邊形一定是矩形的道理嗎？你能說出這樣畫出的四邊形一定是矩形的道理嗎？ 如圖如圖2-47，由畫法可知，由畫法可知，四邊形四邊形ABCD的兩條對的兩條對角線互相平分，因此它是平行四邊形，又已知其對角角線互相平分，因此它是平行四邊形，又已知其對角線相等，上述問題抽象出來就是：對角線相等的平行線相等，上述問題抽象出來就是：對角線相等的平行四邊形是矩形嗎四邊形是矩形嗎？我們來進行證

4、明我們來進行證明.在在ABCD中，由于中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，因此因此 ABC DCB. ( (SSS) )從而從而 ABC=DCB.又又ABC+DCB =180，于是于是 ABC=90.所以所以 ABCD是矩形是矩形.圖圖2-47結論結論對角線相等的平行四邊形是矩形對角線相等的平行四邊形是矩形.由此得到矩形的判定定理：由此得到矩形的判定定理：對角線相等的四邊形是矩形對角線相等的四邊形是矩形嗎？嗎？議一議議一議議一議議一議議一議議一議議一議議一議議一議議一議議一議議一議如圖如圖2-48，在，在ABCD中，它的兩條對角線相交于點中，它的兩條對角線相交于點O.（1）如果）如果A

5、BCD是矩形，試問：是矩形，試問：OBC是什么樣是什么樣 的三角形？的三角形？（2）如果）如果OBC是等腰三角形，其中是等腰三角形，其中OB=OC，那么，那么 ABCD是矩形嗎？是矩形嗎？例例2圖圖2-48舉舉例例（2） OBC是等腰三角形，其中是等腰三角形，其中OB = OC，解解 （1） ABCD是矩形，是矩形， AC與與DB相等且互相平分相等且互相平分. OBC是等腰三角形是等腰三角形.1122OBDBACOC. AC = 2OC = 2OB = BD. ABCD是矩形是矩形.圖圖2-481. 如圖，在四邊形如圖，在四邊形ABCD中，中，A=B=C=D， 求證：四邊形求證：四邊形ABCD

6、是矩形是矩形.練習練習 證明證明：因為四邊形：因為四邊形中，中，A=B=C=D ， 四邊形的內角和為四邊形的內角和為360， 所以所以A=B=C=D= 90 ， 所以四邊形所以四邊形ABCD是矩形是矩形. ( (三個角是直角的四邊形是矩形三個角是直角的四邊形是矩形.).)2. 如圖，在如圖，在ABCD中，對角線中，對角線AC，BD相交于點相交于點O， AOB = 60，AB= 2，AC= 4，求，求ABCD的面積的面積.解解： OA= =2，AB= 2，AC12 OAB是等腰三角形是等腰三角形. OAB是等邊三角形是等邊三角形.又又AOB = 60， OA=OB=2， AC=BD=4. ABCD是矩形是矩形. ( (對角線相等的平行四邊形是矩形對角線相等的平行四邊形是矩形.).)AD. 2 3作作OEAD于點于點E.AE 3，=ABCDSAD AB.2 324 3矩矩形形E在在Rt OAE中，中，AO=2，OE= =1，AB12中考中考 試題試題例例 在四邊形在四邊形ABCD中，對角線中，對角線AC與與BD互相平分，互相平分，交點為交點為O，在不添加任何輔助線的前提下，要使四邊，在不添加任何輔助線的前提下，要使四邊形形ABCD成為矩形，還需添加一個條件，這個條件可成為矩形，還需添加一個條件，這個條件可以是以是 .AC=BD 或或 ABC，CDA，BAD，BCD之