初二數(shù)學(xué)知識點(diǎn)歸納

1、 濟(jì)南市學(xué)林教育培訓(xùn)學(xué)校12.1 變量與函數(shù)變量和常量在一個(gè)變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量，我們稱之為變量，而數(shù)值始終保持不變的量，我們稱之為常量。函數(shù)一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量與，并且對于的每一個(gè)確定的值，都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說是自變量，是的函數(shù)。如果當(dāng)時(shí)，那么叫做當(dāng)自變量的值為時(shí)的函數(shù)值。自變量取值范圍的確定方法1、 自變量的取值范圍必須使解析式有意義。當(dāng)解析式為整式時(shí)，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；當(dāng)解析式為分?jǐn)?shù)形式時(shí)，自變量的取值范圍是使分母不為0的所有實(shí)數(shù)；當(dāng)解析式中含有二次根式時(shí)，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)大于等于0的所有實(shí)數(shù)。2、自變量的取值范圍必須使

2、實(shí)際問題有意義。函數(shù)的圖像一般來說，對于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象描點(diǎn)法畫函數(shù)圖形的一般步驟第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值）；第二步：描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點(diǎn)）；第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來）。函數(shù)的表示方法列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律。解析式法：簡單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有

3、些實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。圖象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。12.2.1 變量與函數(shù)正比例函數(shù) 一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)（proportional function），其中k叫做比例系數(shù)正比例函數(shù)圖象和性質(zhì)一般地，正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，k0）的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)和（1，k）的直線我們稱它為直線y=kx.當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當(dāng)k<0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小(1) 解析式：y=kx（k是常數(shù)，k0）(2)

4、必過點(diǎn)：（0，0）、（1，k）(3) 走向：k>0時(shí)，圖像經(jīng)過一、三象限；k<0時(shí)，圖像經(jīng)過二、四象限(4) 增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小(5) 傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸正比例函數(shù)解析式的確定待定系數(shù)法1. 設(shè)出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx（k0）2. 把已知條件（一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)）代入解析式，得到關(guān)于k的一元一次方程3. 解方程，求出系數(shù)k4. 將k的值代回解析式12.2.2 一次函數(shù)一次函數(shù)一般地，形如y=kx+b(k、b是常數(shù)，k0)函數(shù)，叫做一次函數(shù). 當(dāng)b=0時(shí)，y=kxb即y=kx，所以正比例函數(shù)

5、是一種特殊的一次函數(shù)一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過（0，b）和（-，0）兩點(diǎn)的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長度得到.（當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k、b是常數(shù)，k0)（2）必過點(diǎn)：（0，b）和（-，0）（3）走向： k>0，圖象經(jīng)過第一、三象限；k<0，圖象經(jīng)過第二、四象限 b>0，圖象經(jīng)過第一、二象限；b<0，圖象經(jīng)過第三、四象限直線經(jīng)過第一、二、三象限直線經(jīng)過第一、三、四象限直線經(jīng)過第一、二、四象限直線經(jīng)過第二、三、四象限（4）增減性： k

6、>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.（5）傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸.（6）圖像的平移： 當(dāng)b>0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位；當(dāng)b<0時(shí)，將直線y=kx的圖象向下平移b個(gè)單位.直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關(guān)系（1）兩直線平行：k1=k2且b1 b2（2）兩直線相交：k1k2（3）兩直線重合：k1=k2且b1=b2確定一次函數(shù)解析式的方法（1）根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式；（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)解析式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；（3）解方

7、程得出未知系數(shù)的值；（4）將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)解析式中得出結(jié)果.一次函數(shù)建模函數(shù)建模的關(guān)鍵是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，從而解決最佳方案、最佳策略等問題. 建立一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題，就是要從實(shí)際問題中抽象出兩個(gè)變量，再尋求出兩個(gè)變量之間的關(guān)系，構(gòu)建函數(shù)模型，從而利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題.正比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象在賦予實(shí)際意義時(shí)，其圖象大多為線段或射線. 這是因?yàn)樵趯?shí)際問題中，自變量的取值范圍是有一定的限制條件的，即自變量必須使實(shí)際問題有意義.從圖象中獲取的信息一般是：（1）從函數(shù)圖象的形狀判定函數(shù)的類型；（2）從橫、縱軸的實(shí)際意義理解圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際意義.解決含有多個(gè)變量的問題

8、時(shí)，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中某個(gè)變量作為自變量，再根據(jù)問題的條件尋求可以反映實(shí)際問題的函數(shù).12.3 用函數(shù)觀點(diǎn)看方程（組）與不等式一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a，b為常數(shù)，a0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值. 從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0（a，b為常數(shù)，a0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大（?。┯?時(shí)，求自變量的取值范圍.一次

9、函數(shù)與二元一次方程組 （1）以二元一次方程ax+by=c的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y=的圖象相同.（2）二元一次方程組的解可以看作是兩個(gè)一次函數(shù)y=和y=的圖象交點(diǎn).13.11 整式單項(xiàng)式數(shù)或字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式 單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式單項(xiàng)式的系數(shù) 單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)單項(xiàng)式的次數(shù) 一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)多項(xiàng)式幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫常數(shù)項(xiàng)多項(xiàng)式的次數(shù) 多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)即這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)整式單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式13.1.2 整式的加減同類項(xiàng) 所含字母相同

10、，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)合并同類項(xiàng)把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，即把它們的系數(shù)相加作為新的系數(shù)，而字母部分不變，叫做合并同類項(xiàng)幾個(gè)整式相加減，通常用括號把每一個(gè)整式括起來，再用加減號連接；然后去括號，再合并同類項(xiàng)13.2 整式的乘法同底數(shù)冪的乘法am·an=am+n（m、n都是正整數(shù)） 同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加冪的乘方(am)namn(m，n都是正整數(shù))冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.積的乘方(ab)nanbn(n是正整數(shù))積的乘方等于把積的每個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同的字母分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)

11、式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加13.3.1 平方差公式平方差公式 (ab)(ab)a2b2兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等與這兩個(gè)數(shù)的平方差.1. 公式的結(jié)構(gòu)特征：左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩個(gè)二項(xiàng)式中，有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù).右邊是這兩個(gè)數(shù)的平方差，即完全相同的項(xiàng)與互為相反數(shù)的項(xiàng)的平方差（同號項(xiàng)2異號項(xiàng)2）.2. 公式的應(yīng)用：公式中的字母，可以表示具體的數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，只要

12、符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以用此公式進(jìn)行計(jì)算.公式中的是不可顛倒的，注意是同號項(xiàng)的平方減去異號項(xiàng)的平方，還要注意字母的系數(shù)和指數(shù).為了避免錯(cuò)誤，初學(xué)時(shí)，可將結(jié)果用“括號”的平方差表示，再往括號內(nèi)填上這兩個(gè)數(shù). 如：(a+b)( a - b)= a2 b2 計(jì)算：(1+2x)(1-2x)= ( 1 )2( 2x )2 =1-4x213.3.2 完全平方公式完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2 兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和加（或減）它們的積的2倍.公式特征：左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的平方，右邊是一個(gè)三項(xiàng)式（首平方，尾平方，二倍乘積在中央）公式變形：(a+b)

13、2=(a-b)2+4ab a2 + b2 = (a+b)2-2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab a2 + b2 = (a-b)2+2ab(a+b)2- (a-b)2=4ab公式的推廣 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac13.4 整式的除法同底數(shù)冪的除法 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減am÷an=am-n(a0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n) a0=1(a0)任何非零數(shù)的零次冪是1.單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式 單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把

14、這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加13.5 因式分解因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解（或分解因式）.提公因式法acbc=（ab）c公式法 a2b2 (ab)(ab) a2+2ab+b2 = (a+b)2a2-2ab+b2 = (a-b)2 十字相乘法 x2（pq）xpq=（xp）（xq）14.1全等三角形全等形能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.全等三角形能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角.全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等找對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法（

15、1）公共邊是對應(yīng)邊，公共角是對應(yīng)角（2）對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角（3）對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角（4）最長（最短）邊是對應(yīng)邊，最大（最?。┙鞘菍?yīng)角（5）平行邊是對應(yīng)邊，對頂角是對應(yīng)角14.2三角形全等的條件邊邊邊三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）邊角邊 兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)角邊角兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）角角邊兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）斜邊、直角邊斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）14.3角平分線的性質(zhì)角平分線的作法教科書第113頁角平分線的性

16、質(zhì) 在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.OP平分AOB，PMOA于M，PNOB于N，PM=PN角平分線的判定到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.PMOA于M，PNOB于N，PM=PNOP平分AOB三角形的角平分線的性質(zhì)三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等15.1 軸對稱軸對稱圖形 如果一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸毛 有的軸對稱圖形的對稱軸不止一條，如圓就有無數(shù)條對稱軸軸對稱 有一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重

17、合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)兩個(gè)圖形關(guān)于直線對稱也叫做軸對稱圖形軸對稱的性質(zhì)如果兩個(gè)圖形成軸對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別軸對稱是指兩個(gè)圖形之間的形狀與位置關(guān)系，成軸對稱的兩個(gè)圖形是全等形；軸對稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，把一個(gè)軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形是全等形，并且成軸對稱線段的垂直平分線 （1）經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線） （2）線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)

18、在這條線段的垂直平分線上因此線段的垂直平分線可以看成與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合15.2.1軸對稱變換軸對稱變換由一個(gè)平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換成軸對稱的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)可以看著由另一個(gè)圖形經(jīng)過軸對稱變換后得到軸對稱變換的性質(zhì) （1）經(jīng)過軸對稱變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣 （2）經(jīng)過軸對稱變換得到的圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn) （3）連接任意一對對應(yīng)點(diǎn)的線段被對稱軸垂直平分作一個(gè)圖形關(guān)于某條直線的軸對稱圖形 （1）作出一些關(guān)鍵點(diǎn)或特殊點(diǎn)的對稱點(diǎn)（2）按原圖形的連接方式連接所得到的對稱點(diǎn)，即得到原圖形的軸對稱圖形15.2.2用坐標(biāo)表

19、示軸對稱關(guān)于坐標(biāo)軸對稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，-y）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-x，y）關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-x，-y）關(guān)于坐標(biāo)軸夾角平分線對稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于第一、三象限坐標(biāo)軸夾角平分線y=x對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（y，x）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于第二、四象限坐標(biāo)軸夾角平分線y= -x對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-y，-x）關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線對稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線x=m對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2m-x，y）；點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線y=n對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，2n-y）；15.3.1等腰三角形等腰三角形 有兩條邊相等的三角形是等腰三角形相等的兩條

20、邊叫做腰，另一條邊叫做底邊兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角三角形按邊分類三角形等腰三角形的性質(zhì) 性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合特別的：（1）等腰三角形是軸對稱圖形. （2）等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對應(yīng)相等.等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）特別的：（1）有一邊上的角平分線、中線、高線互相重合的三角形是等腰三角形（2）有兩邊上的角平分線對應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（3）有兩邊上的中線對應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（4）有兩邊上