動(dòng)態(tài)幾何變化問(wèn)題

1、 -動(dòng)態(tài)幾何變化問(wèn)題()以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形部分變化規(guī)律的問(wèn)題，稱之為動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題.動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“變”與“不變”的和諧統(tǒng)一，其特點(diǎn)是圖形中的某些元素（點(diǎn)、線段、角等）或某部分幾何圖形按一定的規(guī)律運(yùn)動(dòng)變化，從而又引起了其它一些元素的數(shù)量、位置關(guān)系、圖形重疊部分的面積或某部分圖形的形狀等發(fā)生變化，但是圖形的一些元素?cái)?shù)量和關(guān)系在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中卻互相依存，具有一定的規(guī)律可尋.1.了解動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題涉及的常見(jiàn)情況；2.掌握講義中涉及的動(dòng)態(tài)幾何變換的思考策略與解題方法；3.數(shù)形結(jié)合、空間想象能力和綜合分析能力的訓(xùn)練。本部分建議時(shí)長(zhǎng)5分鐘“知識(shí)結(jié)構(gòu)”這一部分的教學(xué)，老師在教學(xué)時(shí)刻根據(jù)每

2、種情況進(jìn)行簡(jiǎn)單例舉，也可讓學(xué)生進(jìn)行回顧例舉考點(diǎn)一、建立動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)解析式動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題反映的是一種函數(shù)思想,由于某一個(gè)點(diǎn)或某圖形的有條件地運(yùn)動(dòng)變化,引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系,這種變化關(guān)系就是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系.下面結(jié)合中考試題舉例分析.一、應(yīng)用勾股定理建立函數(shù)解析式。二、應(yīng)用比例式建立函數(shù)解析式。三、應(yīng)用求圖形面積的方法建立函數(shù)關(guān)系式?？键c(diǎn)二、動(dòng)態(tài)幾何型壓軸題動(dòng)態(tài)幾何特點(diǎn)-問(wèn)題背景是特殊圖形，考查問(wèn)題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過(guò)程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究運(yùn)動(dòng)中的特殊性：等腰三角形、直

3、角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就此問(wèn)題的常見(jiàn)題型作簡(jiǎn)單介紹，解題方法、關(guān)鍵給以點(diǎn)撥。一、 以動(dòng)態(tài)幾何為主線的壓軸題。（一）點(diǎn)動(dòng)問(wèn)題。 （二）線動(dòng)問(wèn)題。 （三）面動(dòng)問(wèn)題。二、解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的常見(jiàn)方法有:1、特殊探路，一般推證。2、動(dòng)手實(shí)踐，操作確認(rèn)。3、建立聯(lián)系，計(jì)算說(shuō)明。三、專(zhuān)題二總結(jié)，本大類(lèi)習(xí)題的共性：1代數(shù)、幾何的高度綜合（數(shù)形結(jié)合）；著力于數(shù)學(xué)本質(zhì)及核心內(nèi)容的考查;四大數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)結(jié)合、分類(lèi)討論、方程、函數(shù)2以形為載體，研究數(shù)量關(guān)系；通過(guò)設(shè)、表、列獲得函數(shù)關(guān)系式；研究特殊情況下的函數(shù)值?？键c(diǎn)三、雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)構(gòu)成的問(wèn)題稱

4、之為動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題. 它主要以幾何圖形為載體，運(yùn)動(dòng)變化為主線，集多個(gè)知識(shí)點(diǎn)為一體，集多種解題思想于一題. 1 以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求函數(shù)圖象問(wèn)題。2 以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求結(jié)論開(kāi)放性問(wèn)題。3 以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求存在性問(wèn)題。4 以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求函數(shù)最值問(wèn)題。這類(lèi)試題信息量大,解題時(shí)需要用運(yùn)動(dòng)和變化的眼光去觀察和研究問(wèn)題,挖掘運(yùn)動(dòng)、變化的全過(guò)程,并特別關(guān)注運(yùn)動(dòng)與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系,動(dòng)中取靜,靜中求動(dòng)?？键c(diǎn)四、函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題 考點(diǎn)五、以圓為載體的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，中考經(jīng)常考察，有一類(lèi)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，題中未說(shuō)到圓，卻與圓有關(guān)，只要巧妙地構(gòu)造圓，以圓為載體

5、，利用圓的有關(guān)性質(zhì)，問(wèn)題便會(huì)迎刃而解；此類(lèi)問(wèn)題方法巧妙，耐人尋味。本部分建議時(shí)長(zhǎng)25分鐘1、建立函數(shù)型、1.（）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BCCD方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，APQ的面積為S，則S與t的函數(shù)關(guān)系的圖象是（ ） A B CD【分析】動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BCCD方向運(yùn)動(dòng)， 點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的時(shí)間為4÷2=2秒。 由題意得，當(dāng)0t2時(shí)，即點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上，AP=t，BQ=2t，為開(kāi)口

6、向上的拋物線的一部分。當(dāng)2t4時(shí)，即點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DC上，AP=t，AP上的高為4，為直線（一次函數(shù)）的一部分。觀察所給圖象，符合條件的為選項(xiàng)D。故選D。答案：D2.（）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度分別沿ABC和ADC的路徑向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（單位：s），四邊形PBDQ的面積為y（單位：cm2），則y與x（0x8）之間函數(shù)關(guān)系可以用圖象表示為（ ）ABCD【分析】0x4時(shí)，y=SABDSAPQ=×4×4xx=x2+8，4x8時(shí)，y=SBCDSCPQ=×4×4（8x）（8x）=（8x）2+8

7、，y與x之間的函數(shù)關(guān)系可以用兩段開(kāi)口向下的二次函數(shù)圖象表示，縱觀各選項(xiàng)，只有B選項(xiàng)圖象符合。故選B。答案：B 3. （）直線與坐標(biāo)軸分別交于兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止點(diǎn)沿線段運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)沿路線運(yùn)動(dòng)（1）直接寫(xiě)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；xAOQPBy（3）當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出以點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)解：（1）A（8，0）B（0，6）（2）點(diǎn)由到的時(shí)間是（秒）點(diǎn)的速度是（單位/秒）當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)（或0）時(shí)， 當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)（或）時(shí)，,如圖，作于點(diǎn)，由，得，（3） 1、 解決這類(lèi)問(wèn)題，要善

8、于探索圖形的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和規(guī)律，抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化動(dòng)為靜，以靜制動(dòng)。2、 解決運(yùn)動(dòng)型試題需要用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)與變化的全過(guò)程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并特別關(guān)注一些不變量和不變關(guān)系或特殊關(guān)系.3、動(dòng)中求靜，即在運(yùn)動(dòng)變化中探索問(wèn)題中的不變性；動(dòng)靜互化，抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題，從而找到“動(dòng)與靜”的關(guān)系1. （）如圖為反比例函數(shù)在第一象限的圖象，點(diǎn)A為此圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A分別作ABx軸和ACy軸，垂足分別為B，C則四邊形OBAC周長(zhǎng)的最小值為（ ）A 4 B 3 C 2 D 12.（）如圖，在梯形ABCD中，ADBC，A=60

9、76;，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿著ABCD的方向不停移動(dòng)，直到點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D后才停止.已知PAD的面積s（單位：）與點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式如圖所示，則點(diǎn)P從開(kāi)始移動(dòng)到停止移動(dòng)一共用了 秒（結(jié)果保留根號(hào)）.3. （）如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿折線BEEDDC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/秒設(shè)P、Q同發(fā)t秒時(shí)，BPQ的面積為ycm2已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）（曲線OM為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：AD=BE=5；cosABE=；當(dāng)0t5時(shí)，；當(dāng)秒時(shí)，ABEQBP；

10、其中正確的結(jié)論是 （填序號(hào)）4. （）在RtABC中，C=90°，AC = 3，AB = 5點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來(lái)的速度沿AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t0）（1）當(dāng)t = 2時(shí)，AP = ，點(diǎn)Q到AC的距離是 ；（2）在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫(xiě)出t的取值范圍）（3）在點(diǎn)E從B向C

11、運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；ACBPQED圖16（4）當(dāng)DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C 時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值 答案：1.A 2. 4 3.ACBPQED圖44.解：（1）1，； （2）作QFAC于點(diǎn)F，如圖3， AQ = CP= t，由AQFABC， 得 ACBPQED圖5AC(E)BPQD圖6GAC(E)BPQD圖7G，即（3）能 當(dāng)DEQB時(shí)，如圖4 DEPQ，PQQB，四邊形QBED是直角梯形 此時(shí)AQP=90°由APQ ABC，得，即 解得 如圖5，當(dāng)PQBC時(shí)，DEBC，四邊形QBED是直角梯形此時(shí)APQ =90

12、6;由AQP ABC，得 ，即 解得（4）或點(diǎn)P由C向A運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C連接QC，作QGBC于點(diǎn)G，如圖6，由，得，解得點(diǎn)P由A向C運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，如圖7，2、以圓為載體型、1. （）如圖所示，已知A點(diǎn)從點(diǎn)（，）出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t秒后，以O(shè)、A為頂點(diǎn)作菱形OABC，使B、C點(diǎn)都在第一象限內(nèi)，且AOC=600，又以P（，）為圓心，PC為半徑的圓恰好與OA所在直線相切，則t= .答案：2.（）如圖，C為O直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線交O于D，E兩點(diǎn)，且ACD=45°，DFAB于點(diǎn)F，EGAB于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)C在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AF=x，D

13、E=y，下列中圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系式的圖象大致是（ ） ABCD答案： A3. （）如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P,BP=4，PBC=60°，點(diǎn)Q為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)，且PBQ是等腰三角形，則符合條件的Q點(diǎn)有 個(gè).【分析】如圖，符合條件的Q點(diǎn)有5個(gè)。 當(dāng)BP=BQ時(shí)，在AB，BC邊上各有1點(diǎn)； 當(dāng)BP=QP時(shí)，可由銳角三角函數(shù)求得點(diǎn)P到AB的距離為2，到CD的距離為4，到BC的距離為，到AD的距離為，故在BC，CD，DA邊上各有1點(diǎn)； 當(dāng)BQ=PQ時(shí)，BP的中垂線與AB，BC各交于1點(diǎn)，故在AB，BC邊上各有1點(diǎn)。 又當(dāng)Q在BC邊上時(shí)，由于BPQ是等邊三角形，故3

14、點(diǎn)重合。 因此，符合條件的Q點(diǎn)有5個(gè)。答案：54. （）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)且與軸垂直，垂足為.(1) 求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2) 設(shè)拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)處出發(fā)沿拋物線向上運(yùn)動(dòng),其縱坐標(biāo)隨時(shí)間)的變化規(guī)律為.現(xiàn)以線段為直徑作.當(dāng)點(diǎn)在起始位置點(diǎn)處時(shí)，試判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直線與是否始終保持這種位置關(guān)系? 請(qǐng)說(shuō)明你的理由；若在點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，直線也向上平行移動(dòng)，且垂足的縱坐標(biāo)隨時(shí)間的變化規(guī)律為，則當(dāng)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，直線與相交? 此時(shí)，若直線被所截得的弦長(zhǎng)為,試求的最大值.答案：解：（1）將點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)代入,得

15、，解得。二次函數(shù)的表達(dá)式為。（2）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，直線與相切。理由如下：點(diǎn)，圓心的坐標(biāo)為，的半徑為。又拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），即直線上所有點(diǎn)的巫坐標(biāo)均為1，從而圓心到直線的距離為。直線與相切。 在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直線與始終保持相切的位置關(guān)系。理由如下：設(shè)點(diǎn)，則圓心的坐標(biāo)為，圓心到直線的距離為。又，。則的半徑為。直線與始終相切。由知的半徑為，又圓心的縱坐標(biāo)為，直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，()當(dāng),即時(shí)，圓心到直線的距離為。則由，得，解得, 此時(shí)。()當(dāng),即時(shí), 圓心到直線的距離為。則由,得，解得。此時(shí)。綜上所述，當(dāng)時(shí),直線與相交。當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離為，又半徑為，。當(dāng)時(shí), 取得最大值為。1. 關(guān)于

16、圓的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題要考慮圓的對(duì)稱性；2. 建立函數(shù)模型解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是很好的突破口；3. 空間想象能力的培養(yǎng)注重平時(shí)的積累。本部分建議時(shí)長(zhǎng)10分鐘1. （）如圖，O1和O2內(nèi)切于A，O1的半徑為3，O2的半徑為2，點(diǎn)P為O1上的任一點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），直線PA交O2于點(diǎn)C，PB切O2于點(diǎn)B，則的值為（ ）（A） （B） （C） （D）2.（）如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120°，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為（ ）A1 B C 2 D1OABlxy3. （）如圖，已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)，與雙曲線y(x0)交于點(diǎn)B(2，1)過(guò)點(diǎn)P(p，

17、p1)(p1)作x軸的平行線分別交雙曲線y(x0)和y(x0)于點(diǎn)M、N(1)求m的值和直線l的解析式；(2)若點(diǎn)P在直線y2上，求證：PMBPNA；(3)是否存在實(shí)數(shù)p，使得SAMN4SAMP？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由4. （）已知拋物線經(jīng)過(guò)及原點(diǎn)（1）求拋物線的解析式（由一般式得拋物線的解析式為）（2）過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線交軸于點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)且位于直線下方的拋物線上，任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線平行于軸交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，直線與直線及兩坐標(biāo)軸圍成矩形是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由（3）如果符合（2）中的點(diǎn)在軸的上方，連結(jié)，

18、矩形內(nèi)的四個(gè)三角形之間存在怎樣的關(guān)系？為什么？答案：1.B 2.B3.解：(1)由點(diǎn)B(2，1)在y上，有2，即m2。 設(shè)直線l的解析式為，由點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)B(2，1)在上，得 ， ，解之，得 所求 直線l的解析式為 。 (2)點(diǎn)P(p，p1)在直線y2上，P在直線l上，是直線y2和l的交點(diǎn)，見(jiàn)圖（1）。 根據(jù)條件得各點(diǎn)坐標(biāo)為N（1，2），M（1，2），P（3，2）。 NP3（1）4，MP312，AP， BP 在PMB和PNA中，MPBNPA，。 PMBPNA。 (3)SAMN。下面分情況討論： 當(dāng)1p3時(shí)，延長(zhǎng)MP交X軸于Q，見(jiàn)圖（2）。設(shè)直線MP為則有 解得 則直線MP為 當(dāng)y0時(shí)，x，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，0）。 則， 由24有，解之，p3（不合，舍去），p。 當(dāng)p3時(shí)，見(jiàn)圖（1）SAMPSAMN。不合題意。 當(dāng)p>3時(shí)，延長(zhǎng)PM交X軸于Q，見(jiàn)圖（3）。 此時(shí)，SA