平面向量的概念及運算

1、平面向量的概念及運算一.【課標(biāo)要求】(1)平面向量的實際背景及基本概念通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；(2)向量的線性運算通過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義；通過實例，掌握向量數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義；了解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義(3)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表不了解平面向量的基本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算；理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件二.【命題走向】本講內(nèi)容屬于平面向量的基礎(chǔ)性內(nèi)容，與平面向量的數(shù)量積比較出題量較小

2、。以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質(zhì)，重點考察向量的概念、向量的幾何表示、向量的加減法、實數(shù)與向量的積、兩個向量共線的充要條件、向量的坐標(biāo)運算等。此類題難度不大，分值59分。預(yù)測2010年高考：(1)題型可能為1道選擇題或1道填空題；(2)出題的知識點可能為以平面圖形為載體表達平面向量、借助基向量表達交點位置或借助向量的坐標(biāo)形式表達共線等問題。三.【要點精講】1 .向量的概念向量既有大小又有方向的量。向量一般用a,b,c來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：uuuuuuuuruAB幾何表示法AB,a;坐標(biāo)表示法axiyj(x,y)。向量的大小即向量的模(長度)，記作|AB|

3、即向量的大小，記作Ia|。向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小零向量r長度為0的向量，記為0,其方向是任意的，0與任意向量平行零向量a=0|aI=0。由于0的方向r是任意的，且規(guī)定0平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行(共線)的問題中務(wù)必看清楚是否有非零向量”這個條件。(注意與0的區(qū)別)單位向量模為1個單位長度的向量，向量a0為單位向量Ia0I=1。平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作a/b。由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。數(shù)學(xué)中研究的向量

4、是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的相等向量長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為abo大小相等，方向相同,xxxXiX2(X,yi)(X2,y2)。yiV22 .向量的運算(i)向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法uuuruurrruuruuruuur設(shè)ABa,BCb,則a+b=ABBC=AC。規(guī)定：(D0aa0a；(2)向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”(1)用平行四邊形法則時，兩個已知向量是

5、要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。(2)三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點當(dāng)兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時，用三角形法則。uuiruuiruuuruuuruuuuuu向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：ABBCCDLPQQRAR，但這時必須“首尾相連”。(2)向量的減法相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量記作a,零向量的相反向量仍是零向量。關(guān)于相反向量有：(

6、i)(a)=a;(ii)a+(a)=(a)+a=0;(iii)若a、b是互為相反向量，則a=b,b=a,a+b=0°向量減法向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，記作：aba(b)求兩個向量差的運算，叫做向量的減法作圖法：ab可以表示為從b的終點指向a的終點的向量(a、b有共同起點)(3)實數(shù)與向量的積實數(shù)入與向量a的積是一個向量，記作入a,它的長度與方向規(guī)定如下：(I)|a|a|；(n)當(dāng)0時，入a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時，入a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時，a0,方向是任意的。數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律3 .兩個向量共線定理：向量b與非零向量a共線有且只有一個實數(shù)，使得

7、b=a4 .平面向量的基本定理如果e,e2是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)1,2使:a1e2e2其中不共線的向量e,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底5 .平面向量的坐標(biāo)表示_.一一，rr.一(1)平面向量的坐標(biāo)表不：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底r一，、rrr，一r,由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量a可表不成axiyj,由于a與數(shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(x,y),其中x叫作a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)。規(guī)定：(1)相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)

8、相同的向量是相等的向量；(2)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)系。(2)平面向量的坐標(biāo)運算：什rrrr若ax1,y,bx2,y2，貝Uabx1x21,yy2；uuu若Ax1,y1,Bx2,y2,則ABxx1,V2y1；若a=(x,y)，則a=(x,y);rrrr若ax1,y,bx2,y2，貝Uabx1yx2y10。四.【典例解析】題型1：平面向量的概念例1.(1)給出下列命題：若而|=|b|,則a=b;uuuuur若A,B,C,D是不共線的四點，則ABDC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若a=b,b=(r,則a=c；a=b的充要條件是|&a

9、mp;|=|bEab；若ab,b/c,則ac；其中正確的序號是。Mb*111f(2)設(shè)a0為單位向量，(1)若a為平面內(nèi)的某個向量，則a=|a|-a0；(2)若a與a0平行，則a二|aa0；f-fc-ff(3)若a與a。平行且|a|=1,則a=a。上述命題中，假命題個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3解析：(1)不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同；uuuuuruurujirunruuir正確；ABDC,，|AB|DC|且ABDC,又A,B,C,D是不共線的四點，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，uuuuurunruuir則，ABDC且|AB|DC|,

10、uuuunr因此，ABDC。正確;a=b,a,b的長度相等且方向相同;r一c的長度相等且方向相同,a,c的長度相等且方向相同，故a=c。不正確;當(dāng)ab且方向相反時，即使山|=5,也不能得到a=b,故山|=山且ab不是a=b的充要條件,而是必要不充分條件；rr不正確；考慮b=0這種特殊情況;綜上所述，正確命題的序號是。點評：本例主要復(fù)習(xí)向量的基本概念。向量的基本概念較多，因而容易遺忘。為此，復(fù)習(xí)時一方面要構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進行類比和聯(lián)想。（2）向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命題；若a與a0平行，則a與a。方向

11、有兩種情況：一是同向二是反向，反向時a=-|a|ao,故（2）、（3）也是假命題。綜上所述，答案選D。點評：向量的概念較多，且容易混淆，故在學(xué)習(xí)中要分清，理解各概念的實質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量等概念。題型2：平面向量的運算法則2. (1)如圖所示，已知正六邊形 ABCDEF , O是它的中心，若uuu r BA = a,uuu r rBC = b，試用 a,uuub將向量OE ,uuu BFuuu BD ,uuuFD表示出來。(1)解析：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用向量rb來表示其他向量,只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可。因為六邊形ABCDEF

12、是正六邊形,所以它的中心O及頂點A, BC四點構(gòu)成平行四邊形 ABCO ,uuu 所以BAuuuBCuur BAuuurAOuuirBOuuur r r BO = a+ buuuOE =uuur r BO=a+b由于A,B,O, F四點也構(gòu)成平行四邊形ABOFuuu uuur 所以BF = BO +uuur uuur uuu rOF =BO+BA=a + b+a=2a+b同樣在平行四邊形BCDO 中,uuu uuu uuirBD = BC CDuuu b BCBO = b+(a+b)AaB-br r uuu=a + 2b , FD =uuuBCuuu rBA = b點評：其實在以C, DE,

13、F及。七點中，任兩點為起點和終點，均可用r,b表示，且可用規(guī)定 r其中任兩個向量為a另外任取兩點為起點和終點，也可用a,b表示。(3)(2008湖南文,4)11已知向量a(1,3)b(2,0)曲【答案】2rr_rr【解析】由Qab(1,、.3),|ab|J32.(4) (2009年廣東卷文)已知平面向量a=(x,1) , b=( x, x2),則向量 aA平行于X軸B.平行于第一、三象限的角平分線C.平行于y軸D.平行于第二、四象限的角平分線答案C解析 a b (0,10及向量的性質(zhì)可知，C正確. 、一 r例4.設(shè)x為未知向重,b為已知向量，解方程 2x (5 a +3 x 4b )+1r3

14、b =0解析：原方程可化為:封3x)+(5J3+1Sr)+(4t)3b)=0,2.-.x=9a+b。2點評：平面向量的數(shù)乘運算類似于代數(shù)中實數(shù)與未知數(shù)的運算法則，求解時兼顧到向量的性質(zhì)。題型3:平面向量的坐標(biāo)及運算例5.已知 ABC中，A(2,-1), B(3,2), C( 3,1),BC 邊上的高為uuuAD,求 AD。解析：設(shè)D(x,y),則uuurADuuiruur2,y 1 ,BD x 3,y 2 ,BCb, 3uuruuuuuruur.ADBC,BDBC6x23x3ULUT 所以AD1,2。例6.已知點A(4,0),B(4,4),C(2,6),試用向量方法求直線AC和OB(O為坐標(biāo)原

15、點)交點P的坐標(biāo)。uuruuu解析：設(shè)P(x,y),則OP(x,y),AP(4(y,)因為P是AC與OB的交點，所以P在直線AC上，也在直線OB上。uuuuuruuuuuuruuruuu即得OPOB,AP/AC,由點A(4,0),B(4,4),C(2,6)得，AC(2,6),OB(4,4)。得方程組6(x4)2y°,解之得x3。4x4y0y3故直線AC與OB的交點P的坐標(biāo)為(3,3)。題型4：平面向量的性質(zhì)rrr例7.平面內(nèi)給定二個向量a3,2,b1,2,c4,1,回答下列問題：r,rr,(1)求滿足ambnc的頭數(shù)m,n；(2)若akcr/2ba,求實數(shù)k;.rrrr(3)若d滿足

16、dc/a解析：（1）由題意得3,2m 1,2 n 4,1 ,所以m 4n 3 /曰,得2m n 25989(2)akC34k,2k,2br35,2,16234k52k0,k13rrrr(3)dcx4,ya1,b2,44x42y10/日x3fX5由題息倚22,倚或x4y15y1y3例8.已知a(1,0),b(2,1).(1)求|a3b|;(2)當(dāng)k為何實數(shù)時，kab與a3b平行，平行時它們是同向還是反向？解析：(1)因為a(1,0),b(2,1).rr所以a3b(7,3)rr.一則|ab3|.732.58(2)kab(k2,1),a3b(7,3)1因為kab與a3b平行，所以3(k2)70即得k

17、37rr此時kab(k2,1)(-,1),a3b(7,3),則a3b3(kab),即此時向量a3b與3rrkab方向相反。重點掌握平面向量的共線的判定以及a b ,如果 c/ d點評：上面兩個例子重點解析了平面向量的性質(zhì)在坐標(biāo)運算中的體現(xiàn),平面向量模的計算方法。題型5:共線向量定理及平面向量基本定理例9.(2009北京卷文)已知向量a(1,0),b(0,1),ckab(kR),d那么A. k 1且c與d同向B. k 1且c與d反向C.k1且c與d同向答案D解析本題主要考查向量的共線（平行）、向量的加減法.屬于基礎(chǔ)知識、基本運算考查.a1,0,b0,1,若k1,則cab1,1,dab1,1,顯然

18、，a與b不平行，排除A、B.若k1,則cab1,1,dab1,1,即cd且c與d反向，排除C,故選D.點評：熟練運用向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運算法則進行運算；兩個向量平行的坐標(biāo)表示；運用向量的坐標(biāo)表示，使向量的運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形有機的結(jié)合。AOC=30° ,例10.（1）（06福建理，11）已知IOA|=1,IOB|=J3,OA?OB=0,點C在/AOB內(nèi)，且/設(shè)OC=mOA+nOB(m、nCR),則m等于()nD. J3uuu uuu（2） （2009安徽卷理）給定兩個長度為1的平面向量OA和OB,它們的夾角為120°.uuu如圖所示，點 C在以O(shè)為圓

19、心的圓弧 AB上變動.uuur uuu uuu若 OC xOA yOB,其中 x,y R,則 x y的最大值是.答案 2解析設(shè) AOCuur uuvuuu uuuuuu uuu1OC?OAxOA?OAyOB?OA,日口cos x2yuur uuvuuuuuinuur uuin ，即OC?OBxOA?OByOB?OB,cos(120°)x y 2coscos(1200) cos . 3sin2sin( -) 26題型6:平面向量綜合問題例11. （2009上海卷文） 已知A ABC勺角A、B、C所對的邊分別是 a、b、c,設(shè)向量m （ab ）rn (sinB,sin)Airp (b 2, a 2).(i)若mrn,求證：aabcw