浮點(diǎn)數(shù)的表示和基本運(yùn)算

1、浮點(diǎn)數(shù)的表示和基本運(yùn)算 1 浮點(diǎn)數(shù)的表示通常，我們可以用下面的格式來(lái)表示浮點(diǎn)數(shù)SPM其中S是符號(hào)位，P是階碼，M是尾數(shù)對(duì)于IBM-PC而言，單精度浮點(diǎn)數(shù)是32位（即4字節(jié)）的，雙精度浮點(diǎn)數(shù)是64位（即8字節(jié)）的。兩者的S，P，M所占的位數(shù)以及表示方法由下表可知SPM表示公式偏移量1823(-1)S*2(P-127)*1.M12711152(-1)S*2(P-1023)*1.M1023以單精度浮點(diǎn)數(shù)為例，可以得到其二進(jìn)制的表示格式如下S(第31位)P(30位到23位)M(22位到0位)其中S是符號(hào)位，只有0和1，分別表示正負(fù)；P是階碼，通常使用移碼表示（移碼和補(bǔ)碼只有符號(hào)位相反，其余都一樣。對(duì)于

2、正數(shù)而言，原碼，反碼和補(bǔ)碼都一樣；對(duì)于負(fù)數(shù)而言，補(bǔ)碼就是其絕對(duì)值的原碼全部取反，然后加1.）為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，本文都只討論單精度浮點(diǎn)數(shù)，雙精度浮點(diǎn)數(shù)也是用一樣的方式存儲(chǔ)和表示的。2 浮點(diǎn)數(shù)的表示約定單精度浮點(diǎn)數(shù)和雙精度浮點(diǎn)數(shù)都是用IEEE754標(biāo)準(zhǔn)定義的，其中有一些特殊約定。（1） 當(dāng)P = 0, M = 0時(shí)，表示0。（2） 當(dāng)P = 255, M = 0時(shí)，表示無(wú)窮大，用符號(hào)位來(lái)確定是正無(wú)窮大還是負(fù)無(wú)窮大。（3） 當(dāng)P = 255, M != 0時(shí)，表示NaN（Not a Number，不是一個(gè)數(shù)）。當(dāng)我們使用.Net Framework的時(shí)候，我們通常會(huì)用到下面三個(gè)常量Console.Wri

3、teLine(float.MaxValue); / 3.402823E+38Console.WriteLine(float.MinValue); /-3.402823E+38Console.WriteLine(float.Epsilon); / 1.401298E-45/如果我們把它們轉(zhuǎn)換成雙精度類型，它們的值如下Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.MaxValue); / 3.40282346638529E+38Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.MinValue); /-3.402823466385

4、29E+38Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.Epsilon); / 1.40129846432482E-45那么這些值是如何求出來(lái)的呢？根據(jù)上面的約定，我們可以知道階碼P的最大值是11111110（這個(gè)值是254，因?yàn)?55用于特殊的約定，那么對(duì)于可以精確表示的數(shù)來(lái)說(shuō)，254就是最大的階碼了）。尾數(shù)的最大值是11111111111111111111111。那么這個(gè)最大值就是：0 11111110 11111111111111111111111。也就是 2(254-127)* (1.11111111111111111111111)2= 2127*

5、 (1+1-2-23) = 3.40282346638529E+38從上面的雙精度表示可以看出，兩者是一致的。最小的數(shù)自然就是-3.40282346638529E+38。對(duì)于最接近于0的數(shù)，根據(jù)IEEE754的約定，為了擴(kuò)大對(duì)0值附近數(shù)據(jù)的表示能力，取階碼P = -126，尾數(shù) M = (0.00000000000000000000001)2 。此時(shí)該數(shù)的二進(jìn)制表示為：0 00000000 00000000000000000000001也就是2-126* 2-23= 2-149 = 1.40129846432482E-45。這個(gè)數(shù)字和上面的Epsilon是一致的。如果我們要精確表示最接近于0的

6、數(shù)字，它應(yīng)該是 0 00000001 00000000000000000000000也就是：2-126* (1+0) = 1.17549435082229E-38。 3 浮點(diǎn)數(shù)的精度問(wèn)題浮點(diǎn)數(shù)以有限的32bit長(zhǎng)度來(lái)反映無(wú)限的實(shí)數(shù)集合，因此大多數(shù)情況下都是一個(gè)近似值。同時(shí)，對(duì)于浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算還同時(shí)伴有誤差擴(kuò)散現(xiàn)象。特定精度下看似相等的兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)可能并不相等，因?yàn)樗鼈兊淖钚∮行粩?shù)不同。由于浮點(diǎn)數(shù)可能無(wú)法精確近似于十進(jìn)制數(shù)，如果使用十進(jìn)制數(shù)，則使用浮點(diǎn)數(shù)的數(shù)學(xué)或比較運(yùn)算可能不會(huì)產(chǎn)生相同的結(jié)果。如果涉及浮點(diǎn)數(shù)，值可能不往返。值的往返是指，某個(gè)運(yùn)算將原始浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換為另一種格式，而反向運(yùn)算又將轉(zhuǎn)換后的格

7、式轉(zhuǎn)換回浮點(diǎn)數(shù)，且最終浮點(diǎn)數(shù)與原始浮點(diǎn)數(shù)相等。由于一個(gè)或多個(gè)最低有效位可能在轉(zhuǎn)換中丟失或更改，往返可能會(huì)失敗。 4 將浮點(diǎn)數(shù)表示為二進(jìn)制4.1 無(wú)小數(shù)的浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制表示首先，我們用一個(gè)不帶小數(shù)的浮點(diǎn)數(shù)來(lái)說(shuō)明如何將一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制表示。假設(shè)要轉(zhuǎn)換的數(shù)據(jù)是45678.0f。在處理這種不帶小數(shù)的浮點(diǎn)數(shù)時(shí)，直接將整數(shù)部分轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制表示：1011001001101110.0，這時(shí)要加上一位默認(rèn)的1（這是因?yàn)榘凑崭↑c(diǎn)數(shù)規(guī)格化的要求，尾數(shù)必須化成 1.M的格式），那么可以表示成：11011001001101110.0。然后將小數(shù)點(diǎn)向左移，一直移到離最高位只有1位，也就是 1.101100100

8、1101110，一共移動(dòng)了16位，我們知道，左移位表示乘法，右移位表示除法。所以原數(shù)就等于這樣：1.1011001001101110 * ( 216 )?，F(xiàn)在尾數(shù)和指數(shù)都出來(lái)了。因?yàn)樽罡呶坏?是根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)加上去的，只是為了滿足規(guī)格化的要求，這時(shí)候需要把這個(gè)1去掉。尾數(shù)的二進(jìn)制就變成了：1011001001101110。最后在尾數(shù)的后面補(bǔ)0，一直到補(bǔ)夠23位，就是：10110010011011100000000。再回來(lái)看指數(shù)，根據(jù)前面的定義，P-127=16，那么P = 143，表示成二進(jìn)制就是：10001111。45678.0f這個(gè)數(shù)是正的，所以符號(hào)位是0，那么我們按照前面講的格式把它拼起來(lái)，就

9、是：0 10001111 10110010011011100000000。這就是45678.0f這個(gè)數(shù)的二進(jìn)制表示，如果我們要得到16進(jìn)制的表示，非常簡(jiǎn)單，我們只需要把這個(gè)二進(jìn)制串4個(gè)一組，轉(zhuǎn)換成16進(jìn)制數(shù)就可以了。但是要注意的是x86架構(gòu)的CPU都是Little Endian的（也就是低位字節(jié)在前，高位字節(jié)在后），所以在實(shí)際內(nèi)存中該數(shù)字是按上面二進(jìn)制串的倒序存儲(chǔ)的。要知道CPU是不是little endian的也很容易。BitConverter.IsLittleEndian;4.2 含小數(shù)的浮點(diǎn)數(shù)表示為二進(jìn)制對(duì)于含小數(shù)的浮點(diǎn)數(shù)，會(huì)有精度的問(wèn)題，下面舉例說(shuō)明。假設(shè)要轉(zhuǎn)換的小數(shù)為123.456f

10、。對(duì)于這種帶小數(shù)的就需要把整數(shù)部和小數(shù)部分開(kāi)處理。對(duì)于整數(shù)部分的處理不再贅述，直接化成二進(jìn)制為：100100011。小數(shù)部份的處理比較麻煩一些，我們知道，使用二進(jìn)制表示只有0和1，那么對(duì)于小數(shù)就只能用下面的方式來(lái)表示：a1*2-1+a2*2-2+a3*2-3+.+an*2-n其中a1等數(shù)可以是0或者1，從理論上將，使用這種表示方法可以表示一個(gè)有限的小數(shù)。但是尾數(shù)只能有23位，那么就必然會(huì)帶來(lái)精度的問(wèn)題。在很多情況下，我們只能近似地表示小數(shù)。來(lái)看0.456這個(gè)十進(jìn)制純小數(shù)，該如何表示成二進(jìn)制呢？一般說(shuō)來(lái)，我們可以通過(guò)乘以2的方法來(lái)表示。首先，把這個(gè)數(shù)字乘以2，小于1，所以第一位為0，然后再乘以2

11、，大于1，所以第二位為1，將這個(gè)數(shù)字減去1，再乘以2，這樣循環(huán)下去，直到這個(gè)數(shù)字等于0為止。在很多情況下，我們得到的二進(jìn)制數(shù)字都大于23位，多于23位的就要舍去。舍入原則是0舍1入。通過(guò)這樣的辦法，我們可以得到二進(jìn)制表示：1111011.01110100101111001。現(xiàn)在開(kāi)始向左移小數(shù)點(diǎn)，一共移了6位，這時(shí)候尾數(shù)為：1.11101101110100101111001，階碼為6加上127得131，二進(jìn)制表示為：10000101，那么總的二進(jìn)制表示為：0 10000101 11101101110100101111001表示成十六進(jìn)制是：42 F6 E9 79由于CPU是Little Endi

12、an的，所以在內(nèi)存中表示為：79 E9 F6 42。4.3 將純小數(shù)表示成二進(jìn)制對(duì)于純小數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制來(lái)說(shuō)，必須先進(jìn)行規(guī)格化。例如0.0456，我們需要把它規(guī)格化，變?yōu)?.xxxx * （2n ）的形式，要求得純小數(shù)X對(duì)應(yīng)的n可用下面的公式：n = int( 1 + log 2X )0.0456我們可以表示為1.4592乘以以2為底的-5次方的冪，即1.4592 * ( 2-5 )。轉(zhuǎn)化為這樣形式后，再按照上面處理小數(shù)的方法處理，得到二進(jìn)制表示1. 01110101100011100010001去掉第一個(gè)1，得到尾數(shù)01110101100011100010001階碼為：-5 + 127 = 1

13、22，二進(jìn)制表示為0 01111010 01110101100011100010001最后轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制11 C7 3A 3D5 浮點(diǎn)數(shù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算5.1 浮點(diǎn)數(shù)的加減法設(shè)兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù) X=Mx*2Ex ，Y=My*2Ey實(shí)現(xiàn)X±Y要用如下5步完成：（1）對(duì)階操作：小階向大階看齊（2）進(jìn)行尾數(shù)加減運(yùn)算（3）規(guī)格化處理：尾數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的結(jié)果必須變成規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)，對(duì)于雙符號(hào)位（就是使用00表示正數(shù)，11表示負(fù)數(shù)，01表示上溢出，10表示下溢出）的補(bǔ)碼尾數(shù)來(lái)說(shuō)，就必須是001××××× 或110××××&

14、#215;的形式若不符合上述形式要進(jìn)行左規(guī)或右規(guī)處理。（4）舍入操作：在執(zhí)行對(duì)階或右規(guī)操作時(shí)常用“0”舍“1”入法將右移出去的尾數(shù)數(shù)值進(jìn)行舍入，以確保精度。（5）判結(jié)果的正確性：即檢查階碼是否溢出若階碼下溢（移碼表示是000），要置結(jié)果為機(jī)器0；若階碼上溢（超過(guò)了階碼表示的最大值）置溢出標(biāo)志?，F(xiàn)在用一個(gè)具體的例子來(lái)說(shuō)明上面的5個(gè)步驟例題：假定X=0 .0110011*211，Y=0.1101101*2-10（此處的數(shù)均為二進(jìn)制）， 計(jì)算X+Y；首先，我們要把這兩個(gè)數(shù)變成2進(jìn)制表示，對(duì)于浮點(diǎn)數(shù)來(lái)說(shuō)，階碼通常用移碼表示，而尾數(shù)通常用補(bǔ)碼表示。要注意的是-10的移碼是00110 X?。?0 1 01

15、0 1100110 Y?。?0 0 110 1101101 符號(hào)位 階碼 尾數(shù)（1）求階差：E=|1010-0110|=0100（2）對(duì)階：Y的階碼小，Y的尾數(shù)右移4位 Y浮變?yōu)?0 1 010 0000110 1101暫時(shí)保存 （3）尾數(shù)相加，采用雙符號(hào)位的補(bǔ)碼運(yùn)算 00 1100110 +00 0000110 00 1101100（4）規(guī)格化：滿足規(guī)格化要求 （5）舍入處理，采用0舍1入法處理故最終運(yùn)算結(jié)果的浮點(diǎn)數(shù)格式為： 0 1 010 1101101即X+Y=+0. 1101101*210 5.2 浮點(diǎn)數(shù)的乘除法（1）階碼運(yùn)算：階碼求和（乘法）或階碼求差（除法） 即 Ex+Ey移= Ex移+ Ey補(bǔ) Ex-Ey移= Ex移+ -Ey補(bǔ)（2）浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)處理：浮點(diǎn)數(shù)中尾數(shù)乘除法運(yùn)算結(jié)果要進(jìn)行舍入處理例題：X=0 .0110011*211，Y=0.1101101*2-10 求X*Y解：X?。?0 1 010 1100110 Y?。?0 0 110 1101101（1）階碼相加 Ex+Ey移=Ex移+Ey補(bǔ)=1 010+1 110=1 000 1 000為移碼表示的0（2）原碼尾數(shù)相乘的結(jié)果為：0 10101101101110（3）規(guī)格化處理：