經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)講義第3章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

1、第3章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用3.1 函數(shù)的單調(diào)性從這一講開始講第3章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在上一章的總結(jié)中指出，導(dǎo)數(shù)是特別重要的，不僅在本課程中有很多應(yīng)用，而且在將來的工作中也有很多應(yīng)用這一章中，主要講導(dǎo)數(shù)在兩方面的應(yīng)用：1導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)時的應(yīng)用  2導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的一些應(yīng)用股市及股市曲線在生活中，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，同學(xué)們或多或少都會接觸股市在股市上，人們特別關(guān)注股市曲線，關(guān)心在哪一段時間股市在上升，哪一段時間股市會下降；或者在哪一個時間達(dá)到峰值，哪一個時間達(dá)到低谷，低谷的值是多少？生產(chǎn)場景及生產(chǎn)曲線 在工業(yè)管理中，關(guān)心投入與產(chǎn)量之間的關(guān)系，產(chǎn)量隨投入變化的情況，何時達(dá)到最高在下兩節(jié)中就是要討論這個問題

2、單調(diào)性判別下面首先討論3.1 函數(shù)的單調(diào)性         什么叫函數(shù)的單調(diào)性？1.1節(jié)中定義函數(shù)的單調(diào)性為：一個函數(shù)在一個區(qū)間之間隨著自變量的增加，函數(shù)值也在增加，叫做單調(diào)增加的；如果隨著自變量的增加，函數(shù)值卻在減少，叫做單調(diào)減少的從函數(shù)本身或圖形，都能判斷函數(shù)的單調(diào)性，但有時還需要用導(dǎo)數(shù)工具判別單調(diào)性先考察y = x2，它的圖形是拋物線在x > 0 處，函數(shù)單調(diào)上升；在x < 0 處，函數(shù)單調(diào)下降當(dāng)在 x > 0 這一邊的每一點(diǎn)處都有切線時，切線的特征是：切線與x 軸正向的夾角一定小于90&#

3、176;1 / 16當(dāng)在 x < 0 這一邊的每一點(diǎn)處都有切線時，切線的特征是：切線與x 軸正向的夾角一定大于90°定理 設(shè)函數(shù)y = f (x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，在區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo).   (1) 如果x(a, b)時，(x) > 0，則f (x)在a, b上單調(diào)增加；   (2) 如果x(a, b)時，(x) < 0，則f (x)在a, b上單調(diào)減少意義：利用導(dǎo)數(shù)的符號判別函數(shù)的單調(diào)性說明：閉區(qū)間a, b換成其它區(qū)間，如(a, b)，(-,b，(a, +)使定理結(jié)論成立的區(qū)間，稱為y = f (x)的單調(diào)

4、區(qū)間定理3.1  設(shè)函數(shù)y = f (x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，在區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)(1) 如果x(a, b)時，(x) >() 0，則f (x)在a, b上單調(diào)增加(不減)；(2) 如果x(a, b)時，(x) <() 0，則f (x)在a, b上單調(diào)減少(不增) “單調(diào)增加”與“單調(diào)不減”之間的區(qū)別在哪里呢？單調(diào)增加是自變量變大，函數(shù)值也變大；而單調(diào)不減是自變量變大，函數(shù)值不變小，即函數(shù)值也變大或函數(shù)值保持相等所以，單調(diào)增加與單調(diào)不減是有一些差別的修改后的定理3.1如下：定理3.1 設(shè)函數(shù)y = f (x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，在區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo).(1) 如

5、果x(a, b)時，(x)  0，則f (x)在a, b上單調(diào)不減；(2) 如果x(a, b)時，(x)  0，則f (x)在a, b上單調(diào)不增由此我們可以說第二位同學(xué)的回答是正確的，下面給出證明 結(jié)論：若，則證：既單調(diào)不增又單調(diào)不減例1 判別y = x3 +1的單調(diào)性分析函數(shù)的單調(diào)性可以用函數(shù)單調(diào)性定義或函數(shù)圖形來判斷，在學(xué)了定理3.1后，就可以用導(dǎo)數(shù)來判斷解：  定義域?yàn)?-,+)(x) = 3x2 > 0，x(-,+)，且x0y在(-,+)上單調(diào)增加從圖形上可以看出，這個函數(shù)的確在整個定義域上是單調(diào)增加的例2 求y = 2x3 - 9 x2

6、+ 12 x- 6的單調(diào)區(qū)間.分析首先求出定義域，再利用定理3. 1（利用導(dǎo)數(shù)作為工具）判斷該函數(shù)在哪個范圍內(nèi)單調(diào)增加，哪個范圍內(nèi)單調(diào)減少，即判斷在哪個范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)大于0，在哪個范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)小于0因此，要求出使導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)（分界點(diǎn)），再作判斷解：  定義域?yàn)?-,+), = 6x2 - 18 x + 12； x2 - 3 x + 2 = 0(x 1)( x 2) = 0； x1 = 1, x2 = 2單調(diào)增加區(qū)間為(-,1，2，+)；單調(diào)減少區(qū)間為1，2在右圖形中x1 = 1, x2 = 2是分界點(diǎn)，在區(qū)間(-,1內(nèi)，函數(shù)是單調(diào)增加的；而在區(qū)間 1，2內(nèi)，函數(shù)單調(diào)減少；在區(qū)間

7、2，+)內(nèi)，函數(shù)是單調(diào)增加的例3 求的單調(diào)區(qū)間.解：  定義域?yàn)?-,-1)，(-1，+), 單調(diào)增加區(qū)間為(-,-1)，(-1，+)從圖形中看出，該函數(shù)確實(shí)在整個定義域內(nèi)是單調(diào)增加的歸納：求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：確定的定義域；求(x) = 0和(x)不存在的點(diǎn)，并組成若干子區(qū)間；確定(x)在每個子區(qū)間內(nèi)的符號，求出 f (x) 的單調(diào)區(qū)間例4 當(dāng)x > 0時，試證ln(1+ x) >x - x2.   分析先建立一個函數(shù)F(x)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性討論的問題；再利用導(dǎo)數(shù)判斷 F(x)的單調(diào)增加性，得到要證明的結(jié)論證：F(x) =

8、 ln(1+ x) ( x - x2 )  F(x) 單調(diào)增加又F(0) = 0，故當(dāng)x > 0時，F(xiàn)(x) > 0 ；即  ln(1+ x) > x - x23.2 函數(shù)極值3.2.1 函數(shù)極值及其求法首先要明確什么叫函數(shù)極值，先看定義：定義3.1  設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義如果對該鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)x (xx0)，恒有f (x)f (x0)，則稱f (x0)為函數(shù)的極大(小)值，稱x0為函數(shù)的極大(小)值點(diǎn)函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)大家看下面這個圖形：在一個坐標(biāo)平面中畫出一條曲

9、線，即給出一個函數(shù)，并找出一些特殊點(diǎn)x1，x5和兩個端點(diǎn)哪些點(diǎn)是極大值點(diǎn)呢？可以看到x1是極大值點(diǎn)，x4也是極大值點(diǎn)端點(diǎn)b是不是極大值點(diǎn)呢？極大值點(diǎn)是指它的函數(shù)值要比周圍的值都大，而端點(diǎn)b的右邊是沒有函數(shù)值，所以它不是極大值點(diǎn)極大值點(diǎn)：x1, x4； 極小值點(diǎn)：x2, x5再找一找哪些是極小值點(diǎn)？x2是一個極小值點(diǎn)，x5也是一個極小值點(diǎn)下面利用這個圖形來解決怎樣求極值點(diǎn)的方法分析函數(shù)在極值點(diǎn)處具有什么特征x1是極大值點(diǎn)，曲線在這一點(diǎn)處是較光滑的，切線是存在的，而且切線是一條水平線；x5是極小值點(diǎn)，曲線在這一點(diǎn)處也是較光滑的，切線也是存在的，也是一條水平線由此可得到，若曲線在一點(diǎn)處是較光滑的，而

10、這一點(diǎn)是極值點(diǎn)，那么它的切線一定是水平的，即它的導(dǎo)數(shù)為0定理3.2   如果點(diǎn)是函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)，且(x0)存在，則(x0) = 0使(x0) = 0的點(diǎn)，稱為函數(shù)f (x)的駐點(diǎn)定理3.2表示，如果一個點(diǎn)是極值點(diǎn)，而且在可導(dǎo)的條件下，這個點(diǎn)一定是駐點(diǎn)這樣，極值點(diǎn)可以在駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)處找到說明：若(x0)不存在，則x0不是f (x)的駐點(diǎn)定理3.2是極值存在的必要條件根據(jù)剛才的分析，函數(shù)的極值點(diǎn)或者是不可導(dǎo)點(diǎn)，或者是駐點(diǎn)但是，駐點(diǎn)并不一定是極值點(diǎn)例如：函數(shù)y = x3在x0=0處，(x0) = 0，由圖可知，x0 = 0不是極值點(diǎn)因此，請大家想一想：極值存在的充分條件

11、是什么？   回答這個問題之前，我們先借助于幾何直觀來分析從這個圖形中很容易的看出，函數(shù) f (x)在點(diǎn)x0處達(dá)到極大，x0是極大值點(diǎn)當(dāng)然，函數(shù)在這一點(diǎn)處切線是存在的，函數(shù)在這一點(diǎn)是可導(dǎo)的，而且滿足極值的必要條件(x0) = 0特征： 點(diǎn)x0的左邊曲線是上升的，即導(dǎo)數(shù)值大于0；右邊曲線是下降的，即斜率小于0由此可知，在可導(dǎo)的條件下，極值點(diǎn)的左右兩邊的導(dǎo)數(shù)符號是不一樣的從圖形上顯然看出x0也是極大值點(diǎn)，但在這一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)不存在，這個極大值點(diǎn)是不可導(dǎo)點(diǎn)特征：在點(diǎn)x0的左右兩邊的曲線都是可導(dǎo)的情況下，若點(diǎn)x0是極大值點(diǎn)，則它左邊的導(dǎo)數(shù)大于0，右邊的導(dǎo)數(shù)小于0由這兩個圖可知

12、，若x0是函數(shù)f (x)的駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，且在點(diǎn)x0的左、右兩邊的導(dǎo)數(shù)由正變負(fù)，則x0是極值點(diǎn)，而且是極大值點(diǎn)這一結(jié)論具有一般性，它是充分條件的一部分再看極小值點(diǎn)從圖中很容易發(fā)現(xiàn)x0是極小值點(diǎn)由于x0是f (x)的可導(dǎo)點(diǎn)，所以滿足極值的必要條件(x0) = 0若x0是極小值點(diǎn)，則它的右邊曲線的斜率大于0，即導(dǎo)數(shù)值大于0；而在左邊，它的斜率小于0，即導(dǎo)數(shù)值小于0所以，一個駐點(diǎn)是極小值點(diǎn)時，它的左、右兩邊的導(dǎo)數(shù)符號也是不一樣的x0是這個函數(shù)極小值點(diǎn)，但是不可導(dǎo)點(diǎn)它所具有的特征是：在可導(dǎo)的條件下，x0右邊的導(dǎo)數(shù)大于0，x0左邊的導(dǎo)數(shù)小于0 歸納：只要x0滿足極小值點(diǎn)的必要條件，那么在x0左

13、右兩邊函數(shù)可導(dǎo)的條件下，左右兩邊的導(dǎo)數(shù)符號是不一樣的，而且從左到右，導(dǎo)數(shù)的符號從負(fù)的變?yōu)檎脑谶@種情況下，x0不是極值點(diǎn)在x0左右兩邊函數(shù)可導(dǎo)的條件下，兩邊的切線方向是一致的也就是說，盡管x0滿足了極值點(diǎn)的必要條件 (x0) = 0，但在x0的左右兩邊，導(dǎo)數(shù)不變號，因此可以肯定x0不是極值點(diǎn)x0也不是函數(shù)的極值點(diǎn)，且在x0左右兩邊，導(dǎo)數(shù)的符號是一樣的由上面的分析可以歸納出判別極值點(diǎn)的充分條件定理3.3  設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)連續(xù)并且可導(dǎo)(f (x0)可以不存在)  如果在點(diǎn)x0的左鄰域內(nèi)(x)>(<) 0，在點(diǎn)x0的右鄰域內(nèi)(x)<(>)

14、 0，那么x0是f (x)的極大(小)值點(diǎn)，且f (x0)是f (x)的極大(小)值  如果在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)，(x)不變號，那么x0不是f (x)的極值點(diǎn)例1 設(shè)函數(shù)y = ex - x +1，求駐點(diǎn)分析駐點(diǎn)就是使導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)解：= ex - 1， 由 = ex 1 = 0， 得x = 0注意：這里求出的x = 0不能說是函數(shù)的一個極值點(diǎn)，只能說是函數(shù)的一個駐點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)(x0) = 0是點(diǎn)x0為極值點(diǎn)的必要條件，但不是充分條件例2 設(shè)y = x ln(1+x)，求極值點(diǎn)  分析 首先求定義域，然后利用必要條件求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，再利用充分條件進(jìn)行判別，確

15、定極值點(diǎn)解： 定義域,，解得x = 0 (駐點(diǎn))  在x = 0的左右兩邊，的符號由負(fù)變正，故x = 0是極小值點(diǎn)例3 設(shè)y = - x + 7，求極值點(diǎn)         分析 首先求定義域，然后利用必要條件求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，再利用充分條件進(jìn)行判別，確定極值點(diǎn)解： 定義域；,x = 0處導(dǎo)數(shù)不存在，x = 1是駐點(diǎn).在x = 0的左右兩邊，的符號由負(fù)變正，故x = 0是極小值點(diǎn)；在x = 1的左右兩邊，的符號由正變負(fù)，故x = 1是極大值點(diǎn)例4 設(shè)，求極值分析 首先求定義域，然后利用必要條件求駐

16、點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，再利用充分條件進(jìn)行判別，確定極值點(diǎn)，最后寫出極值解： 定義域在x = 0的左右兩邊同號，故x = 0不是極值點(diǎn)；在x = 1的左右兩邊，的符號由正變負(fù)，故x = 1是極大值點(diǎn)求函數(shù)極值的步驟：                           · 確定函數(shù)f (x)的定義域，并求其導(dǎo)數(shù)(x)； · 解方

17、程(x) = 0，求出f (x) 在定義域內(nèi)的所有的駐點(diǎn)； · 找出所有在定義域內(nèi)連續(xù)但導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)； · 討論(x)在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左、右兩側(cè)附近符號變化情況，確定函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)； · 寫出函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)和極值 3.2.2 最大值、最小值及其求法 極值與最值的區(qū)別：極值是在其左右小范圍內(nèi)比較最值是在指定的范圍內(nèi)比較所以，說到最大（小）值，要使問題提得明確，就必須明確指定考慮的范圍如果在指定的范圍內(nèi)函數(shù)值達(dá)到最大，它就是最大值 這個函數(shù)在區(qū)間a，b內(nèi)的極大值點(diǎn)是x1，x4；極小值點(diǎn)是x2，x5現(xiàn)在要問這個函數(shù)在閉區(qū)間a，b上最大值點(diǎn)是

18、哪一個，那么應(yīng)該是整個指定區(qū)間上曲線最高處的點(diǎn)就是最大值點(diǎn)從圖中可以看出，端點(diǎn)b處的函數(shù)值最大，所以點(diǎn)b就是該函數(shù)在區(qū)間a，b上的最大值點(diǎn)同樣，從圖中可以看出x2是區(qū)間a，b上最小值點(diǎn)若將點(diǎn)往左移至，從圖中可以看出，最大值點(diǎn)是 x4，而最小值點(diǎn)仍然是x2若將區(qū)間改為，則最大值點(diǎn)仍然是x4，最小值點(diǎn)仍然是x2明確了最值點(diǎn)與極值點(diǎn)的區(qū)別后，最值點(diǎn)的求法也就較容易得到了    函數(shù)f (x)在a，b上的最值點(diǎn)一定在端點(diǎn)、駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)中    端點(diǎn)：a，b    駐點(diǎn)：使(x) = 0的點(diǎn)  

19、;  不可導(dǎo)點(diǎn)：(x)不存在的點(diǎn)求函數(shù)最值的步驟：   求導(dǎo)數(shù)(x)； 解(x) = 0，求出f (x)的駐點(diǎn)； 找出f (x)連續(xù)但(x)不存在的點(diǎn)； 比較f (x)在駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)和端點(diǎn)處的值，確定最 大值和最小值例1 求y = x3- 3x2 9x + 5在-4，4上的最大值和最小值分析可能成為最值點(diǎn)的是端的、駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)因此，先求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，再比較這些點(diǎn)和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，確定最大值和最小值解：= 3x2 6x - 9 = 3(x2 2x 3)= 3(x + 1)(x 3) = 0 ，x1 = -1，x2 = 3-4-134-7110-22-

20、15所以，最大值為y(-1) = 10，最小值為y(-4) = -71  說明：不用判別-1，3是否為極值點(diǎn)，只要計(jì)算-4，-1，3，4處的函數(shù)值，確定最大值和最小值。例2 求y = x(x-1)在上的最值點(diǎn) 解：= 0，(駐點(diǎn))， 且x = 1處導(dǎo)數(shù)不存在-212-202所以，最小值點(diǎn)為x = ，最大值點(diǎn)為x = -2例3 將邊長為30cm的一塊正方形鐵皮的四角截去一個大小相同的小正方形，然后將四邊折起做成一個無蓋的方盒問截掉的小正方形邊長為多少時，所得方盒的容積最大？解：設(shè)小正方形邊長為cm，則盒底邊長為30-2，容積為3030-2xx   

21、;      V = (30 - 2x)2 x，  x(0, 15) 因?yàn)? -4 (30 - 2x) x + (30 - 2x)2             = (30 - 2x)(30 - 6x) 令  = 0，得x1 = 5，x2 = 15  (舍棄)且x1 = 5是V在定義域內(nèi)唯一駐點(diǎn)所以 x1 = 5是V的極大值點(diǎn)，也是的最大值點(diǎn) 即截掉的小正方形邊長5cm時，所得方盒的容積最大，最大容積為V =

22、5(30 - 10)2 = 2000 cm3說明：1解應(yīng)用問題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，建立模型的第一步是設(shè)變量，再用這個變量把問題用數(shù)學(xué)語言描述出來2如果f (x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，而且是f (x)在(a，b)內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，那么當(dāng)x0是f (x)的極值點(diǎn)時，x0一定是f (x)在a，b上的最值點(diǎn)。3.3 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用 3.3.1 需求價格彈性設(shè)某產(chǎn)品的單位售價p，該產(chǎn)品市場需求量q，則它的需求函數(shù)為q = q( p)需求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為： ( p)價格由p增加到p +p，則需求由q( p)增加到q( p+p)價格提高的百分比，需求改變的百分比兩個百分?jǐn)?shù)之比（平均比率），瞬

23、時比率，即當(dāng)p® 0時，對需求影響的百分比為=Ep稱為需求價格彈性，簡稱需求彈性，記為Ep 例1 已知需求量q（單位：百件），價格p（單位：千元），需求價格函數(shù)為：q(p) = 15，p3，10求當(dāng)p = 9時的需求彈性解：因?yàn)镋p =所以  Ep (9)= - = -3例2 已知需求函數(shù) q( p) = 150-2p2，p(0, 8)，（1）求需求彈性；（2）問p 取何值時，Ep為單位彈性，缺乏彈性，富有彈性解：由 ，得 p = 5，由 ，得0< p < 5，由 ，得5< p < 8即當(dāng)p = 5時，Ep為單位彈性；當(dāng)0<

24、 p < 5時，Ep為缺乏彈性；當(dāng)5< p < 8時，Ep為富有彈性3.3.2 邊際與邊際分析 （先討論第1個問題邊際成本）1. 邊際成本在引進(jìn)導(dǎo)數(shù)概念時，我們已經(jīng)接觸過邊際成本概念，譬如說在連續(xù)化生產(chǎn)的工廠中，可以知道總成本與總產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系，由此可以求出平均成本，即總成本除總產(chǎn)量就是平均成本同時又引進(jìn)了邊際成本的概念，就是總產(chǎn)量達(dá)到一定時刻，再增加生產(chǎn)一個單位產(chǎn)量時，單位成本增加量下面具體看一個例子產(chǎn)量   成本函數(shù) 平均成本函數(shù)產(chǎn)量為時的邊際成本函數(shù)經(jīng)濟(jì)意義：產(chǎn)量為時，再生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所增加的成本.2. 邊際收入收入是銷售量或產(chǎn)量的函數(shù)，因此也

25、就有總收入、平均收入、邊際收入等函數(shù)設(shè)銷售量  收入函數(shù) 平均收入函數(shù)    銷售量為時的邊際收入函數(shù)    經(jīng)濟(jì)意義：銷售量為時，再生產(chǎn)一個單位商品所增加的收入.3. 邊際利潤想一想利潤是怎樣產(chǎn)生的？已知成本，收入 ，那么利潤且邊際利潤想一想邊際利潤的經(jīng)濟(jì)意義是什么？例1 一企業(yè)的每日成本（千元）是日產(chǎn)量（臺）的函數(shù)，求：（1）當(dāng)產(chǎn)量為400臺時的成本；（2）當(dāng)產(chǎn)量為400臺時的平均成本；（3）當(dāng)產(chǎn)量由400臺增加到484臺時的平均成本；（4）當(dāng)產(chǎn)量為400臺時的邊際成本.解：（1）當(dāng)產(chǎn)量為400臺時的成本為：= 1 300(千元)（2）當(dāng)產(chǎn)量為400臺時的平均成本為： (千元/臺)（3）當(dāng)產(chǎn)量由400臺增加到484臺時的平均成本： (千元/臺)（4）當(dāng)