二次函數(shù)單元測試及答案

1、單元評價檢測(二)第二十二章(45分鐘100分)一、選擇題(每小題4分,共28分)1.(2013·哈爾濱中考)把拋物線y=(x+1)2向下平移2個單位,再向右平移1個單位,所得到的拋物線是()A.y=(x+2)2+2B.y=(x+2)2-2C.y=x2+2D.y=x2-2【解析】選D.拋物線y=(x+1)2的頂點為(-1,0),平移后的頂點為(0,-2),所以得到的拋物線的解析式為y=x2-2.2.已知二次函數(shù)y=ax2+k的圖象如圖所示,則對應(yīng)a,k的符號正確的是()A.a>0,k>0B.a>0,k<0C.a<0,k>0D.a<0,k<

2、;0【解析】選D.二次函數(shù)y=ax2+k的圖象開口向上時a>0,開口向下時a<0;圖象交于y軸正半軸時k>0,交于y軸負半軸時k<0.由圖象知a<0,k<0.3.二次函數(shù)y=(x-1)2+2的最小值是()A.2B.1C.-1D.-2【解析】選A.依據(jù)y=a(x-h)2+k(a0),當a>0,x=h時,y最小值=k,因為a=1>0,所以二次函數(shù)有最小值.當x=1時,y最小值=2.4.(2013·徐州中考)二次函數(shù)y=ax2+bx+c上部分點的坐標滿足下表:x-3-2-101y-3-2-3-6-11則該函數(shù)圖象的頂點坐標為()A.(-3,-

3、3)B.(-2,-2)C.(-1,-3)D.(0,-6)【解析】選B.因為二次函數(shù)具有對稱性,點(-3,-3)與點(-1,-3)關(guān)于對稱軸對稱,故(-2,-2)為二次函數(shù)的頂點坐標.5.(2013·襄陽中考)二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象如圖所示:若點A(x1,y1),B(x2,y2)在此函數(shù)圖象上,且x1<x2<1,則y1與y2的大小關(guān)系是()A.y1y2B.y1<y2C.y1y2D.y1>y2【解析】選B.由圖象可知拋物線的對稱軸為直線x=1.點A(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線上,且x1<x2<1,點A,B都在對稱軸的左側(cè).拋物線

4、y=-x2+bx+c的開口向下,在對稱軸左側(cè),y隨x增大而增大,y1<y2.6.二次函數(shù)y=a(x+k)2+k(a0),無論k取何值,其圖象的頂點都在()A.直線y=x上B.直線y=-x上C.x軸上D.y軸上【解析】選B.頂點為(-k,k),當x=-k時,y=k=-(-k)=-x,故圖象頂點在直線y=-x上.【互動探究】若題目中的二次函數(shù)“y=a(x+k)2+k(a0)”改為“y=a(x-k)2+k(a0)”,則無論k取何值,其圖象的頂點都在哪條直線上?【解析】二次函數(shù)y=a(x-k)2+k(a0)的頂點為(k,k),此時x=k,y=k,即y=x,所以圖象頂點在直線y=x上.7.(201

5、4·海淀模擬)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,其對稱軸為直線x=-1,給出下列結(jié)果:(1)b2>4ac.(2)abc>0.(3)2a+b=0.(4)a+b+c>0.(5)a-b+c<0.則正確的結(jié)論是()A.(1)(2)(3)(4)B.(2)(4)(5)C.(2)(3)(4)D.(1)(4)(5)【解析】選D.因為二次函數(shù)與x軸有兩個交點,所以b2>4ac,(1)正確;拋物線開口向上,所以a>0,拋物線與y軸交點在負半軸上,所以c<0,又-b2a=-1,所以b>0,b=2a,所以abc=2a2c<0.所以(2)錯誤

6、;(3)錯誤;由圖象可知當x=1時,y>0,即a+b+c>0,所以(4)正確;由圖象可知當x=-1時,y<0,即a-b+c<0,所以(5)正確.二、填空題(每小題5分,共25分)8.(2014·黃岡模擬)如果函數(shù)y=(k-3)xk2-3k+2+kx+1是二次函數(shù),那么k=.【解析】根據(jù)二次函數(shù)的定義,得k2-3k+2=2,解得k=0或k=3.又k-30,k3.當k=0時,這個函數(shù)是二次函數(shù).答案:09.(2013·宿遷中考)若函數(shù)y=mx2+2x+1的圖象與x軸只有一個公共點,則常數(shù)m的值是.【解析】分兩種情況:(1)當m=0時,函數(shù)為一次函數(shù)y=2

7、x+1,該函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點.(2)當m0時,由拋物線y=mx2+2x+1與x軸只有一個公共點,得=22-4×m×1=0,解得m=1.綜上所述,常數(shù)m的值是1或0.答案:1或0【易錯提醒】圖象與x軸有一個公共點,分兩種情況,不要誤認為函數(shù)只是二次函數(shù),也可以是一次函數(shù),本題易遺漏一次函數(shù)的情況.10.把拋物線y=ax2+bx+c的圖象先向右平移3個單位長度,再向下平移2個單位長度,所得圖象的解析式是y=x2-3x+5,則a+b+c=.【解析】y=x2-3x+5=x2-3x+322-322+5=x-322+114.把它向左平移3個單位長度,再向上平移2個單位長度得

8、y=x-32+32+114+2,即y=x+322+194=x2+3x+7,y=ax2+bx+c=x2+3x+7,a=1,b=3,c=7,a+b+c=1+3+7=11.答案:11【變式訓(xùn)練】如圖所示,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(-1,0)和(0,-1)兩點,則化簡代數(shù)式a-1a2+4+a+1a2-4=.【解析】把(-1,0)和(0,-1)兩點代入y=ax2+bx+c中,得a-b+c=0,c=-1,b=a+c=a-1.由圖象可知,拋物線對稱軸x=-b2a=-a-12a>0,且a>0,a-1<0,0<a<1.a-1a2+4+a+1a2-4=a+1a2+a

9、-1a2=a+1a+a-1a=a+1a-a+1a=2a.答案:2a11.如圖,四邊形ABCD是矩形,A,B兩點在x軸的正半軸上,C,D兩點在拋物線y=-x2+6x上,設(shè)OA=m(0<m<3),矩形ABCD的周長為l,則l與m的函數(shù)解析式為.【解析】由OA=m可知點D的橫坐標為m,又點D在拋物線y=-x2+6x上,點D的縱坐標為-m2+6m,即AD=-m2+6m;當y=0時,-x2+6x=0,解得x1=0,x2=6,拋物線與x軸另一個交點E的坐標為(6,0),OE=6,OA=m,由拋物線的對稱性可知BE=m,AB=6-2m.矩形ABCD的周長l=2(AD+AB)=2(-m2+6m+6

10、-2m)=-2m2+8m+12.答案:l=-2m2+8m+1212.如圖所示,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=ax2+c(a0)的圖象過正方形ABOC的三頂點A,B,C,則ac的值是.【解析】設(shè)A點坐標為(0,2m),則C點坐標為(m,m),故2m=a·02+c,m=am2+c,即am=-1.又因為c=2m,所以a·c2=-1,ac=-2.答案:-2三、解答題(共47分)13.(10分)(2013·鎮(zhèn)江中考)如圖,拋物線y=ax2+bx(a>0)經(jīng)過原點O和點A(2,0). (1)寫出拋物線的對稱軸與x軸的交點坐標.(2)點(x1,y1),(x2,y2)在拋

11、物線上,若x1<x2<1,比較y1,y2的大小.(3)點B(-1,2)在該拋物線上,點C與點B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,求直線AC的函數(shù)解析式.【解析】(1)拋物線y=ax2+bx經(jīng)過原點O和點A(2,0),而OA的中點為(1,0),拋物線的對稱軸與x軸的交點坐標為(1,0).(2)該拋物線開口向上,對稱軸為直線x=1,當x<1時,y隨x的增大而減小,而x1<x2<1,故y1>y2.(3)點B(-1,2)在該拋物線上,點C與點B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,C(3,2).設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+m,則2k+m=0,3k+m=2,解得k=2,m=-4,直線A

12、C的函數(shù)解析式為y=2x-4.14.(12分)如圖,二次函數(shù)y=ax2-4x+c的圖象過原點,與x軸交于點A(-4,0).(1)求此二次函數(shù)的解析式.(2)在拋物線上存在點P,滿足SAOP=8,請直接寫出點P的坐標.【解析】(1)依題意,得c=0,16a+16=0,解得a=-1,c=0.二次函數(shù)的解析式為y=-x2-4x.(2)令P(m,n),則SAOP=12AO·|n|=12×4|n|=8,解得n=±4,又點P(m,n)在拋物線y=-x2-4x上,-m2-4m=±4,分別解得m1=-2,m2=-2+22和m3=-2-22,P1(-2,4),P2(-2+

13、22,-4),P3(-2-22,-4).15.(12分)(2013·牡丹江中考)如圖,拋物線y=x2+bx+c過點A(-4,-3),與y軸交于點B,對稱軸是x=-3,請回答下列問題:(1)求拋物線的解析式.(2)若和x軸平行的直線與拋物線交于C,D兩點,點C在對稱軸左側(cè),且CD=8,求BCD的面積.注:拋物線y=ax2+bx+c(a0)的對稱軸是x=-b2a.【解析】(1)對稱軸是x=-b2a=-3,a=1,b=6.又拋物線y=x2+bx+c過點A(-4,-3),(-4)2+6×(-4)+c=-3,解得c=5.拋物線的解析式為y=x2+6x+5.(2)和x軸平行的直線與拋物

14、線交于C,D兩點,點C在對稱軸左側(cè),且CD=8,點C的橫坐標為-7,點C的縱坐標為y=(-7)2+6×(-7)+5=12.又拋物線的解析式為y=x2+6x+5與y軸交于點B(0,5),CD邊上的高為12-5=7,BCD的面積為12×8×7=28.16.(13分)(2013·義烏中考)為迎接中國森博會,某商家計劃從廠家采購A,B兩種產(chǎn)品共20件,產(chǎn)品的采購單價(元/件)是采購數(shù)量(件)的一次函數(shù),表中提供了部分采購數(shù)量.采購數(shù)量(件)12A產(chǎn)品單價(元/件)1 4801 460B產(chǎn)品單價(元/件)1 2901 280(1)設(shè)A產(chǎn)品的采購數(shù)量為x(件),采購

15、單價為y1(元/件),求y1與x的解析式.(2)經(jīng)商家與廠家協(xié)商,采購A產(chǎn)品的數(shù)量不少于B產(chǎn)品數(shù)量的119,且A產(chǎn)品采購單價不低于1200元,求該商家共有幾種進貨方案.(3)該商家分別以1760元/件和1700元/件的銷售單價售出A,B兩種產(chǎn)品,且全部售完,在(2)的條件下,求采購A種產(chǎn)品多少件時總利潤最大,并求最大利潤.【解析】(1)設(shè)y1與x的解析式為y1=kx+b,1 480=k+b,1 460=2k+b,解得k=-20,b=1500,y1與x的解析式為y1=-20x+1500(0<x20,x為整數(shù)).(2)根據(jù)題意得x119(20-x),-20x+1 5001 200,解得11x15.x為整數(shù),x可取11,