運(yùn)籌學(xué)第四章(共9頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第 5 次課 2學(xué)時(shí) 本次課教學(xué)重點(diǎn)： 建立數(shù)學(xué)模型本次課教學(xué)難點(diǎn)： 建立數(shù)學(xué)模型本次課教學(xué)內(nèi)容：第四章 線性規(guī)劃在工商管理中的應(yīng)用第一節(jié) 人力資源分配的問(wèn)題例1某晝夜服務(wù)的公交線路每天各時(shí)間段內(nèi)所需司機(jī)和乘務(wù)人員數(shù)如下：設(shè)司機(jī)和乘務(wù)人員分別在各時(shí)間段一開(kāi)始時(shí)上班，并連續(xù)工作八小時(shí)，問(wèn)該公交線路怎樣安排司機(jī)和乘務(wù)人員，既能滿足工作需要，又配備最少司機(jī)和乘務(wù)人員?解：設(shè) xi ( i = 1,2,7)表示星期一至日開(kāi)始休息的人數(shù),這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。 目標(biāo)函數(shù)： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 約束條件：s.t. x1

2、+ x2 + x3 + x4 + x5 28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1 25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4 28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 0例2一家中型的百貨商場(chǎng)，它對(duì)售貨員的需求經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析如下表所示。為了保證售貨人員充分休息，售貨人員每周工作5天，休息兩天，并要求休息的兩天是連續(xù)的。問(wèn)應(yīng)該如何安排售貨人員的作息，既滿足工作需要，又使

3、配備的售貨人員的人數(shù)最少？解：設(shè) xi ( i = 1,2,7)表示星期一至日開(kāi)始休息的人數(shù),這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。 目標(biāo)函數(shù)： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 約束條件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1 25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4 28 x1,

4、x2,x3,x4,x5,x6,x7 0第二節(jié)生產(chǎn)計(jì)劃的問(wèn)題例3某公司面臨一個(gè)是外包協(xié)作還是自行生產(chǎn)的問(wèn)題。該公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，都需要經(jīng)過(guò)鑄造、機(jī)加工和裝配三個(gè)車間。甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件可以外包協(xié)作，亦可以自行生產(chǎn)，但產(chǎn)品丙必須本廠鑄造才能保證質(zhì)量。數(shù)據(jù)如表。問(wèn)：公司為了獲得最大利潤(rùn)，甲、乙、丙三種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件？甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄造中，由本公司鑄造和由外包協(xié)作各應(yīng)多少件？解：設(shè) x1,x2,x3 分別為三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種產(chǎn)品的件數(shù)，x4,x5 分別為由外協(xié)鑄造再由本公司加工和裝配的甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)。 求 xi 的利潤(rùn)：利潤(rùn) = 售價(jià) - 各成本之和 產(chǎn)品甲全

5、部自制的利潤(rùn) =23-(3+2+3)=15 產(chǎn)品甲鑄造外協(xié)，其余自制的利潤(rùn) =23-(5+2+3)=13 產(chǎn)品乙全部自制的利潤(rùn) =18-(5+1+2)=10 產(chǎn)品乙鑄造外協(xié)，其余自制的利潤(rùn) =18-(6+1+2)=9 產(chǎn)品丙的利潤(rùn) =16-(4+3+2)=7 可得到 xi （i = 1,2,3,4,5） 的利潤(rùn)分別為 15、10、7、13、9 元。通過(guò)以上分析,可建立如下的數(shù)學(xué)模型:目標(biāo)函數(shù)： Max 15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 約束條件： 5x1 + 10x2 + 7x3 8000 6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 12000 3x1

6、+ 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 10000 x1,x2,x3,x4,x5 0例4永久機(jī)械廠生產(chǎn)、三種產(chǎn)品，均要經(jīng)過(guò)A、B兩 道工序加工。設(shè)有兩種規(guī)格的設(shè)備A1、A2能完成 A 工序；有三種規(guī)格的設(shè)備B1、B2、B3能完成 B 工序?？稍贏、B的任何規(guī)格的設(shè)備上加工； 可在任意規(guī)格的A設(shè)備上加工，但對(duì)B工序，只能在B1設(shè)備上加工；只能在A2與B2設(shè)備上加工。數(shù)據(jù)如表。問(wèn)：為使該廠獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)如何制定產(chǎn)品加工方案？解：設(shè) xijk 表示第 i 種產(chǎn)品，在第 j 種工序上的第 k 種設(shè)備上加工的數(shù)量。建立如下的數(shù)學(xué)模型: s.t. 5x111 + 10x211 6000 （ 設(shè)備

7、 A1 ） 7x112 + 9x212 + 12x312 10000 （ 設(shè)備 A2 ） 6x121 + 8x221 4000 （ 設(shè)備 B1 ） 4x122 + 11x322 7000 （ 設(shè)備 B2 ） 7x123 4000 （ 設(shè)備 B3 ） x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 (產(chǎn)品在A、B工序加工的數(shù)量相等） x211+ x212- x221 = 0 （產(chǎn)品在A、B工序加工的數(shù)量相等） x312 - x322 = 0 （產(chǎn)品在A、B工序加工的數(shù)量相等） xijk 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3目標(biāo)函數(shù)為計(jì)算利潤(rùn)最大化，

8、利潤(rùn)的計(jì)算公式為： 利潤(rùn) = （銷售單價(jià) - 原料單價(jià)）* 產(chǎn)品件數(shù)之和 -（每臺(tái)時(shí)的設(shè)備費(fèi)用*設(shè)備實(shí)際使用的總臺(tái)時(shí)數(shù)）之和。這樣得到目標(biāo)函數(shù)： Max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)x221+(2.80-0.5)x312 300/6000(5x111+10x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)- 250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123).經(jīng)整理可得： Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x3

9、12-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123第三節(jié)套裁下料問(wèn)題例5某工廠要做100套鋼架，每套用長(zhǎng)為2.9 m,2.1 m,1.5 m的圓鋼各一根。已知原料每根長(zhǎng)7.4 m，問(wèn)：應(yīng)如何下料，可使所用原料最省？解： 共可設(shè)計(jì)下列5 種下料方案，見(jiàn)下表設(shè) x1,x2,x3,x4,x5 分別為上面 5 種方案下料的原材料根數(shù)。這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。 目標(biāo)函數(shù)： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 約束條件： s.t. x1 + 2x2 + x4 100 2x3 + 2x4 + x5 100 3x1 + x2 + 2x3

10、 + 3x5 100 x1,x2,x3,x4,x5 0 用“管理運(yùn)籌學(xué)”軟件計(jì)算得出最優(yōu)下料方案：按方案1下料30根；按方案2下料10根；按方案4下料50根。 即 x1=30; x2=10； x3=0； x4=50； x5=0； 只需90根原材料就可制造出100套鋼架。 注意：在建立此類型數(shù)學(xué)模型時(shí)，約束條件用大于等于號(hào)比用等于號(hào)要好。因?yàn)橛袝r(shí)在套用一些下料方案時(shí)可能會(huì)多出一根某種規(guī)格的圓鋼，但它可能是最優(yōu)方案。如果用等于號(hào)，這一方案就不是可行解了。第四節(jié)配料問(wèn)題例6某工廠要用三種原料1、2、3混合調(diào)配出三種不同規(guī)格的產(chǎn)品甲、乙、丙，數(shù)據(jù)如右表。問(wèn)：該廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使利潤(rùn)收入為最大？解：設(shè)

11、 xij 表示第 i 種（甲、乙、丙）產(chǎn)品中原料 j 的含量。這樣我們建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，要考慮： 對(duì)于甲： x11，x12，x13； 對(duì)于乙： x21，x22，x23； 對(duì)于丙： x31，x32，x33； 對(duì)于原料1： x11，x21，x31； 對(duì)于原料2： x12，x22，x32； 對(duì)于原料3： x13，x23，x33； 目標(biāo)函數(shù)： 利潤(rùn)最大，利潤(rùn) = 收入 - 原料支出 約束條件： 規(guī)格要求 4 個(gè)； 供應(yīng)量限制 3 個(gè)。 利潤(rùn)=總收入-總成本=甲乙丙三種產(chǎn)品的銷售單價(jià)*產(chǎn)品數(shù)量-甲乙丙使用的原料單價(jià)*原料數(shù)量，故有目標(biāo)函數(shù)Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23

12、）+25（x31+x32+x33）-65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33）= -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 約束條件： 從第1個(gè)表中有： x110.5(x11+x12+x13) x120.25(x11+x12+x13) x210.25(x21+x22+x23) x220.5(x21+x22+x23)從第2個(gè)表中，生產(chǎn)甲乙丙的原材料不能超過(guò)原材料的供應(yīng)限額，故有 (x11+x21+x31)100 (x12+x22+x32)100 (x13+x23+x33)60通過(guò)整理，得到以下模型：目

13、標(biāo)函數(shù)：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 約束條件： s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 （原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 0 （原材料2不超過(guò)25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 （原材料2不超過(guò)50%） x11+ x21 + x31 100 (供應(yīng)量限制） x12+ x22 + x32 100 (供應(yīng)量限制) x13+ x23 + x33 60

14、(供應(yīng)量限制） xij 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3例7.汽油混合問(wèn)題。一種汽油的特性可用兩種指標(biāo)描述，用“辛烷數(shù)”來(lái)定量描述其點(diǎn)火特性，用“蒸汽壓力”來(lái)定量描述其揮發(fā)性。某煉油廠有1、2、3、4種標(biāo)準(zhǔn)汽油，其特性和庫(kù)存量列于表4-6中，將這四種標(biāo)準(zhǔn)汽油混合，可得到標(biāo)號(hào)為1，2的兩種飛機(jī)汽油，這兩種汽油的性能指標(biāo)及產(chǎn)量需求列于表4-7中。問(wèn)應(yīng)如何根據(jù)庫(kù)存情況適量混合各種標(biāo)準(zhǔn)汽油，既滿足飛機(jī)汽油的性能指標(biāo)，又使2號(hào)汽油滿足需求，并使得1號(hào)汽油產(chǎn)量最高？28.45 ×10-2108.045.69×10-287.0311.38 ×10-293.027

15、.11×10-2107.51庫(kù)存量(L)蒸汽壓力(g/cm2)辛烷數(shù)標(biāo)準(zhǔn)汽油 表 4-6不少于不大于9.96 ×10-2不小于1002越多越好不大于9.96 ×10-2不小于911產(chǎn)量需求蒸汽壓力(g/cm2)辛烷數(shù)飛機(jī)汽油 表 4-7解：設(shè)xij為飛機(jī)汽油i中所用標(biāo)準(zhǔn)汽油j的數(shù)量(L)。目標(biāo)函數(shù)為飛機(jī)汽油1的總產(chǎn)量：庫(kù)存量約束為： 產(chǎn)量約束為飛機(jī)汽油2的產(chǎn)量：由物理中的分壓定律，可得有關(guān)蒸汽壓力的約束條件：同樣可得有關(guān)辛烷數(shù)的約束條件為：綜上所述，得該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：由管理運(yùn)籌學(xué)軟件求解得：第五節(jié) 投資問(wèn)題例8某部門現(xiàn)有資金200萬(wàn)元，今后五年內(nèi)考慮給以下的項(xiàng)

16、目投資。已知：項(xiàng)目A：從第一年到第五年每年年初都可投資，當(dāng)年末能收回本利110%；項(xiàng)目B：從第一年到第四年每年年初都可投資，次年末能收回本利125%，但規(guī)定每年最大投資額不能超過(guò)30萬(wàn)元；項(xiàng)目C：需在第三年年初投資，第五年末能收回本利140%，但規(guī)定最大投資額不能超過(guò)80萬(wàn)元；項(xiàng)目D：需在第二年年初投資，第五年末能收回本利155%，但規(guī)定最大投資額不能超過(guò)100萬(wàn)元。據(jù)測(cè)定每萬(wàn)元每次投資的風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)如右表：?jiǎn)枺篴）應(yīng)如何確定這些項(xiàng)目的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利金額為最大？b）應(yīng)如何確定這些項(xiàng)目的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利在330萬(wàn)元的基礎(chǔ)上使得其投資總的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)為最小

17、？解：1）確定決策變量：連續(xù)投資問(wèn)題 設(shè) xij ( i = 15，j = 14)表示第 i 年初投資于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)項(xiàng)目的金額。這樣我們建立如下的決策變量： A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42 C x33 D x242）約束條件：第一年：A當(dāng)年末可收回投資，故第一年年初應(yīng)把全部資金投出去，于是 x11+ x12 = 200；第二年：B次年末才可收回投資，故第二年年初有資金1.1 x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11；第三年：年初有資金 1.1x21+ 1.25x12，于是 x31 +

18、x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；第四年：年初有資金 1.1x31+ 1.25x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；第五年：年初有資金 1.1x41+ 1.25x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32； B、C、D的投資限制： xi2 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 3）目標(biāo)函數(shù)及模型：a) Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x1