全國高中數(shù)學(xué)競賽四川預(yù)賽試題及其解答0

1、2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽（四川初賽）一、單項選擇題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）1、設(shè)集合，則=（ ） A、 B、 C、 D 、 2、正方體中與截面所成的角是（ ） A、 B、 C、 D、 3、已知，則“”是“在上恒成立”的（ ）A、充分但不必要條件 B、必要但不充分條件 C、充要條件 D、既不充分也不必要條件 4、設(shè)正三角形的面積為，作的內(nèi)切圓，再作內(nèi)切圓的內(nèi)接正三角形，設(shè)為，面積為，如此下去作一系列的正三角形，其面積相應(yīng)為，設(shè),，則=（ ）A 、 B 、 C、 D 、25、設(shè)拋物線的焦點為，頂點為，是拋物線上的動點，則的最大值為（ ）A 、 B 、 C、 D 、 6、設(shè)倒

2、圓錐形容器的軸截面為一個等邊三角形，在此容器內(nèi)注入水，并放入半徑為的一個實心球，此時球與容器壁及水面恰好都相切，則取出球后水面高為（ ）A、 B、 C、 D、二、填空題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）7、如圖，正方形的邊長為3，為的中點，與相交于，則的值是 8、的展開式中的常數(shù)項是 （用具體數(shù)字作答）9、設(shè)等比數(shù)列的前項和為，滿足，則的值為 10、不超過2012的只有三個正因數(shù)的正整數(shù)個數(shù)為 11、已知銳角滿足，則的最大值是 12、從1,2,3,4,5組成的數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)中，任取一個五位數(shù)，滿足條件“”的概率是 答題卷姓名 高 級 班 得分 一、單項選擇題（本大題共6個小題，每小

3、題5分，共30分）123456二、填空題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）7. 8. 9. 10. 11. 12. 三、解答題（本大題共4個小題，每小題20分，共80分）13、設(shè)函數(shù)，（I）求函數(shù)在上的最大值與最小值；（II）若實數(shù)使得對任意恒成立，求的值14、已知，滿足，（I）求的最小值；（II）當取最小值時，求的最大值15、直線與雙曲線的左支交于、兩點，直線經(jīng)過點和的中點，求直線在軸的截距的取值范圍16、設(shè)函數(shù)在上的最大值為（）（I）求數(shù)列的通項公式；（II）求證：對任何正整數(shù)，都有成立；（III）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)，都有成立參考答案一、選擇題（本大題共6個小題，

4、每小題5分，共30分）1、C 提示：2、A 提示：過作于點O,連BO,則是所求的角.因為,所以=3、A 提示：恒成立，即恒成立，于是有，即4、B 提示：這樣一系列的三角形是相似三角形，相似比為，故面積成等比遞縮數(shù)列，公比為，于是所以， 5、B 提示：由條件知,點坐標為，顯然，則，當時等號成立，故的最大值為6、D 提示：如圖為圓錐軸截面，球心為,為可得，設(shè)取出球后，水面高為.則因為所以二、填空題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）7、 提示：故=8、 提示：由條件知常數(shù)項是. 9、0 提示：由條件知解得。當時，由 知，所以，即所以或。因此，是以1為首項，-1為公比的等比數(shù)列，所以10、14

5、 提示：設(shè)且只有三個正約數(shù)，則為質(zhì)數(shù)的完全平方，。于是，即。 11、 提示：因為,因為等號當且僅當時成立。所以，的最大值為。 12、 提示：顯然和中必有1個數(shù)字為5，由對稱性，不妨設(shè)。顯然（1）若則是1，2，3的任意排列都滿足，此時共有6種；（2）若則從而是1，2的任意排列都滿足，此時共有2種；綜上，滿足條件的概率是.三、解答題（本大題共4個小題，每小題20分，共80分）13、解：（I）由條件知， （5分）由知，于是所以時，有最小值；當時，有最大值 （10分）（II）由條件可知對任意的恒成立， , （15分）由知或。若時，則由知，這與矛盾！若，則（舍去），解得，所以， （20分）14、解：（I）因為 （5分） ，等號成立的條件是，當時，可取最小值2 （10分）（II）當取最小值時，從而，即，令，則 （15分）從而或者（舍去）故在單減，所以在時，有最大值 （20分）15、解：將直線與雙曲線方程聯(lián)立得化簡得（5分）由題設(shè)知方程有兩負根，因此，解得（10分）設(shè)，則有，故的中點為，所以直線方程為，其在軸的截距，（15分）當時，其取值范圍是所以的取值范圍是 （20分）16、解：（I），當時，由知或者， （5分）當時，又，故；當時，又，故；當時，時，；時，；在處取得最大值