人教版高中數(shù)學(xué)必修五數(shù)列復(fù)習(xí)提綱及例題

1、數(shù)列復(fù)習(xí)1.數(shù)列的通項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法：（1）觀察與歸納法：先觀察哪些因素隨項(xiàng)數(shù)的變化而變化，哪些因素不變：分析符號、數(shù)字、字母與項(xiàng)數(shù)在變化過程中的聯(lián)系，初步歸納公式。（2）公式法：等差數(shù)列與等比數(shù)列。（3）利用與的關(guān)系求：（4）構(gòu)造新數(shù)列法；（5）逐項(xiàng)作差求和法；（6）逐項(xiàng)作商求積法2.等差數(shù)列中：（1）等差數(shù)列公差的取值與等差數(shù)列的單調(diào)性；（2）；（3）也成等差數(shù)列； (4)兩等差數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)和(差)組成的新數(shù)列仍成等差數(shù)列.(5)仍成等差數(shù)列.（6），.(7)若，則；若，則，；.(8)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；（9）等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則叫做的等

2、差中項(xiàng)。（10）判定數(shù)列是否是等差數(shù)列的主要方法有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式法、圖像法。3.等比數(shù)列中：（1）等比數(shù)列的符號特征(全正或全負(fù)或一正一負(fù))，等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比與等比數(shù)列的單調(diào)性。（2）；（3）、成等比數(shù)列；成等比數(shù)列成等比數(shù)列.（4）兩等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)積(商)組成的新數(shù)列仍成等比數(shù)列.（5）成等比數(shù)列.（6）.（7）；.（8）“首大于1”的正值遞減等比數(shù)列中，前項(xiàng)積的最大值是所有大于或等于1的項(xiàng)的積；“首小于1”的正值遞增等比數(shù)列中，前項(xiàng)積的最小值是所有小于或等于1的項(xiàng)的積；（9）并非任何兩數(shù)總有等比中項(xiàng). 僅當(dāng)實(shí)數(shù)同號時(shí)，實(shí)數(shù)存在等比中項(xiàng).對同號兩實(shí)數(shù) 的等比中項(xiàng)不僅存在，

3、而且有一對.也就是說，兩實(shí)數(shù)要么沒有等比中項(xiàng)(非同號時(shí))，如果有，必有一對(同號時(shí))。（10）判定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式法4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系：各項(xiàng)都不為零的常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列5.數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式，.（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.（3）倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.（4

4、）錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的的等比數(shù)列的和”求解（注意：一般錯(cuò)位相減后，其中“新等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)減一的差”！）（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法之一）.(5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有： ， 【典型例題】（一）研究等差等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)1. 研究通項(xiàng)的性質(zhì)例題1. 已知數(shù)列滿足. （1）求；（2）證明：.解：（1）. （2）證明：由已知，故， 所以證得. 例題2. 數(shù)列的前項(xiàng)和記為 （）求的通項(xiàng)公式；

5、 （）等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，其前項(xiàng)和為，且，又成等比數(shù)列，求. 解：（）由可得，兩式相減得：，又 故是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列 （）設(shè)的公比為，由得，可得，可得故可設(shè)，又，由題意可得，解得等差數(shù)列的各項(xiàng)為正， 例題3. 已知數(shù)列的前三項(xiàng)與數(shù)列的前三項(xiàng)對應(yīng)相同，且對任意的都成立，數(shù)列是等差數(shù)列. 求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；是否存在，使得，請說明理由. 點(diǎn)撥：（1）左邊相當(dāng)于是數(shù)列前n項(xiàng)和的形式，可以聯(lián)想到已知求的方法，當(dāng)時(shí)，. （2）把看作一個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)的思想方法來研究的取值情況. 解：（1）已知）時(shí)，）得，求得，在中令，可得得，所以N*）. 由題意，所以，數(shù)列的公差為，）. （2），當(dāng)時(shí)，單調(diào)

6、遞增，且，所以時(shí)， 又，所以，不存在，使得. 例題4. 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an和bn滿足：an、bn、an+1成等差數(shù)列，bn、an+1、bn+1成等比數(shù)列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通項(xiàng)an，bn 解： 依題意得： 2bn+1 = an+1 + an+2 a2n+1 = bnbn+1 an、bn為正數(shù)， 由得， 代入并同除以得： ， 為等差數(shù)列 b1 = 2 ， a2 = 3 ， ， ，當(dāng)n2時(shí)，又a1 = 1，當(dāng)n = 1時(shí)成立， 2. 研究前n項(xiàng)和的性質(zhì)例題5. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且. （1）求、的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1

7、）時(shí)，.而為等比數(shù)列，得，又，得，從而.又.（2）， ） ，得，.例題6. 數(shù)列是首項(xiàng)為1000，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列滿足 ，（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 解：（1）由題意：，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為的等差數(shù)列，由，得，數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為. （2）由（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，. 例題7. 已知遞增的等比數(shù)列滿足，且是，的等差中項(xiàng). （1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求使成立的的最小值. 解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q（q1），由 a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=（舍）an=22（n1）=2

8、n（2） ，Sn=（12+222+323+n2n）2Sn=（122+223+n2n+1），Sn=2+22+23+2nn2n+1=（n1）2n+12，若Sn+n 2n+130成立，則2n+132，故n4，n的最小值為5. 例題8. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且成等差數(shù)列，. 函數(shù). （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，試比較的大小. 解：（I）成等差數(shù)列， 當(dāng)時(shí)，. 得：，當(dāng)n=1時(shí)，由得， 又是以1為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列，（II）， ，比較的大小，只需比較與312的大小即可. 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，. 3. 研究生成數(shù)列的性質(zhì)例題9. （I） 已知數(shù)列，其中，且數(shù)

9、列為等比數(shù)列，求常數(shù)；（II） 設(shè)、是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，證明數(shù)列不是等比數(shù)列. 解：（）因?yàn)閏n+1pcn是等比數(shù)列，故有（cn+1pcn）2=（ cn+2pcn+1）（cnpcn1），將cn=2n3n代入上式，得2n1+3n1p（2n3n）2=2n2+3n2p（2n+13n+1）2n+3np（2n13n1）， 即（2p）2n+（3p）3n2=（2p）2n+1+（3p）3n+1 （2p）2n1+（3p）3n1，整理得（2p）（3p）2n3n=0，解得p=2或p=3. （）設(shè)an、bn的公比分別為p、q，pq，cn=an+bn. 為證cn不是等比數(shù)列只需證c1c3. 事實(shí)上，=（a1pb

10、1q）2=p2q22a1b1pq，c1c3=（a1b1）（a1 p2b1q2）= p2q2a1b1（p2q2）. 由于pq，p2q22pq，又a1、b1不為零，因此c1c3，故cn不是等比數(shù)列. 例題10. n2（ n4）個(gè)正數(shù)排成n行n列：其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等已知a24=1，求S=a11 + a22 + a33 + + ann 解： 設(shè)數(shù)列的公差為d， 數(shù)列（i=1，2，3，n）的公比為q則= a11 + （k1）d ， akk = a11 + （k1）dqk1依題意得：，解得：a11 = d = q = 又n2個(gè)數(shù)都是正數(shù)， a11 = d =

11、q = ， akk = ，兩式相減得：例題11. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，記（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若，求的最小值；（3）求使不等式對一切均成立的最大實(shí)數(shù).解：（1）由題意得，解得， （2）由（1）得， 得. ，設(shè)，則由得隨的增大而減小時(shí)，又恒成立， （3）由題意得恒成立 記，則是隨的增大而增大 的最小值為，即.（二）證明等差與等比數(shù)列1. 轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列.例題12. 數(shù)列中，且滿足，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)，求；設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. 解：（1）由題意，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由題意得，.（2）若，時(shí)，故 （3），若對任意成立，即對任意成立，的最小值是，的最大整數(shù)值是7. 即存在最大整數(shù)使對任意，均有例題13. 已知等比數(shù)列與數(shù)列滿足N*. （1）判斷是何種數(shù)列，并給出證明；（2）若. 解：（1）設(shè)的公比為q，。所以是以為公差的等差數(shù)列. （2）所以由等差數(shù)列性質(zhì)可得2. 由簡單遞推關(guān)系證明等差等比數(shù)列例題14. 已知數(shù)列和滿足：，（），且是以為公比的等比數(shù)列. （I）證明：；（II）若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（III）求和：. 解法1：（I）證：由，有，. （II）證：，. 是首項(xiàng)為5，公比為的等比數(shù)列. （III）解：由（II）得，于是. 當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，. 故解法2：（I）同解法1（I）.