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文檔簡介
1、數(shù)列復(fù)習(xí)1.數(shù)列的通項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法:(1)觀察與歸納法:先觀察哪些因素隨項(xiàng)數(shù)的變化而變化,哪些因素不變:分析符號、數(shù)字、字母與項(xiàng)數(shù)在變化過程中的聯(lián)系,初步歸納公式。(2)公式法:等差數(shù)列與等比數(shù)列。(3)利用與的關(guān)系求:(4)構(gòu)造新數(shù)列法;(5)逐項(xiàng)作差求和法;(6)逐項(xiàng)作商求積法2.等差數(shù)列中:(1)等差數(shù)列公差的取值與等差數(shù)列的單調(diào)性;(2);(3)也成等差數(shù)列; (4)兩等差數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)和(差)組成的新數(shù)列仍成等差數(shù)列.(5)仍成等差數(shù)列.(6),.(7)若,則;若,則,;.(8)“首正”的遞減等差數(shù)列中,前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和;(9)等差中項(xiàng):若成等差數(shù)列,則叫做的等
2、差中項(xiàng)。(10)判定數(shù)列是否是等差數(shù)列的主要方法有:定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式法、圖像法。3.等比數(shù)列中:(1)等比數(shù)列的符號特征(全正或全負(fù)或一正一負(fù)),等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比與等比數(shù)列的單調(diào)性。(2);(3)、成等比數(shù)列;成等比數(shù)列成等比數(shù)列.(4)兩等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)積(商)組成的新數(shù)列仍成等比數(shù)列.(5)成等比數(shù)列.(6).(7);.(8)“首大于1”的正值遞減等比數(shù)列中,前項(xiàng)積的最大值是所有大于或等于1的項(xiàng)的積;“首小于1”的正值遞增等比數(shù)列中,前項(xiàng)積的最小值是所有小于或等于1的項(xiàng)的積;(9)并非任何兩數(shù)總有等比中項(xiàng). 僅當(dāng)實(shí)數(shù)同號時(shí),實(shí)數(shù)存在等比中項(xiàng).對同號兩實(shí)數(shù) 的等比中項(xiàng)不僅存在,
3、而且有一對.也就是說,兩實(shí)數(shù)要么沒有等比中項(xiàng)(非同號時(shí)),如果有,必有一對(同號時(shí))。(10)判定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有:定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式法4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系:各項(xiàng)都不為零的常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列5.數(shù)列求和的常用方法:(1)公式法:等差數(shù)列求和公式;等比數(shù)列求和公式,.(2)分組求和法:在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí),常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起,再運(yùn)用公式法求和.(3)倒序相加法:在數(shù)列求和中,若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián),則??煽紤]選用倒序相加法,發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法).(4
4、)錯(cuò)位相減法:如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成,那么常選用錯(cuò)位相減法,將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的的等比數(shù)列的和”求解(注意:一般錯(cuò)位相減后,其中“新等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)減一的差”!)(這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法之一).(5)裂項(xiàng)相消法:如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式,且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián),那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有: , 【典型例題】(一)研究等差等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)1. 研究通項(xiàng)的性質(zhì)例題1. 已知數(shù)列滿足. (1)求;(2)證明:.解:(1). (2)證明:由已知,故, 所以證得. 例題2. 數(shù)列的前項(xiàng)和記為 ()求的通項(xiàng)公式;
5、 ()等差數(shù)列的各項(xiàng)為正,其前項(xiàng)和為,且,又成等比數(shù)列,求. 解:()由可得,兩式相減得:,又 故是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列 ()設(shè)的公比為,由得,可得,可得故可設(shè),又,由題意可得,解得等差數(shù)列的各項(xiàng)為正, 例題3. 已知數(shù)列的前三項(xiàng)與數(shù)列的前三項(xiàng)對應(yīng)相同,且對任意的都成立,數(shù)列是等差數(shù)列. 求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;是否存在,使得,請說明理由. 點(diǎn)撥:(1)左邊相當(dāng)于是數(shù)列前n項(xiàng)和的形式,可以聯(lián)想到已知求的方法,當(dāng)時(shí),. (2)把看作一個(gè)函數(shù),利用函數(shù)的思想方法來研究的取值情況. 解:(1)已知)時(shí),)得,求得,在中令,可得得,所以N*). 由題意,所以,數(shù)列的公差為,). (2),當(dāng)時(shí),單調(diào)
6、遞增,且,所以時(shí), 又,所以,不存在,使得. 例題4. 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an和bn滿足:an、bn、an+1成等差數(shù)列,bn、an+1、bn+1成等比數(shù)列,且a1 = 1, b1 = 2 , a2 = 3 ,求通項(xiàng)an,bn 解: 依題意得: 2bn+1 = an+1 + an+2 a2n+1 = bnbn+1 an、bn為正數(shù), 由得, 代入并同除以得: , 為等差數(shù)列 b1 = 2 , a2 = 3 , , ,當(dāng)n2時(shí),又a1 = 1,當(dāng)n = 1時(shí)成立, 2. 研究前n項(xiàng)和的性質(zhì)例題5. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且. (1)求、的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.解:(1
7、)時(shí),.而為等比數(shù)列,得,又,得,從而.又.(2), ) ,得,.例題6. 數(shù)列是首項(xiàng)為1000,公比為的等比數(shù)列,數(shù)列滿足 ,(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和. 解:(1)由題意:,數(shù)列是首項(xiàng)為3,公差為的等差數(shù)列,由,得,數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為. (2)由(1)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),. 例題7. 已知遞增的等比數(shù)列滿足,且是,的等差中項(xiàng). (1)求的通項(xiàng)公式;(2)若,求使成立的的最小值. 解:(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q1),由 a1q+a1q2+a1q3=28,a1q+a1q3=2(a1q2+2),得:a1=2,q=2或a1=32,q=(舍)an=22(n1)=2
8、n(2) ,Sn=(12+222+323+n2n)2Sn=(122+223+n2n+1),Sn=2+22+23+2nn2n+1=(n1)2n+12,若Sn+n 2n+130成立,則2n+132,故n4,n的最小值為5. 例題8. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,且成等差數(shù)列,. 函數(shù). (I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(II)設(shè)數(shù)列滿足,記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,試比較的大小. 解:(I)成等差數(shù)列, 當(dāng)時(shí),. 得:,當(dāng)n=1時(shí),由得, 又是以1為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列,(II), ,比較的大小,只需比較與312的大小即可. 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),. 3. 研究生成數(shù)列的性質(zhì)例題9. (I) 已知數(shù)列,其中,且數(shù)
9、列為等比數(shù)列,求常數(shù);(II) 設(shè)、是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列,證明數(shù)列不是等比數(shù)列. 解:()因?yàn)閏n+1pcn是等比數(shù)列,故有(cn+1pcn)2=( cn+2pcn+1)(cnpcn1),將cn=2n3n代入上式,得2n1+3n1p(2n3n)2=2n2+3n2p(2n+13n+1)2n+3np(2n13n1), 即(2p)2n+(3p)3n2=(2p)2n+1+(3p)3n+1 (2p)2n1+(3p)3n1,整理得(2p)(3p)2n3n=0,解得p=2或p=3. ()設(shè)an、bn的公比分別為p、q,pq,cn=an+bn. 為證cn不是等比數(shù)列只需證c1c3. 事實(shí)上,=(a1pb
10、1q)2=p2q22a1b1pq,c1c3=(a1b1)(a1 p2b1q2)= p2q2a1b1(p2q2). 由于pq,p2q22pq,又a1、b1不為零,因此c1c3,故cn不是等比數(shù)列. 例題10. n2( n4)個(gè)正數(shù)排成n行n列:其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列,每一列的數(shù)成等比數(shù)列,并且所有公比相等已知a24=1,求S=a11 + a22 + a33 + + ann 解: 設(shè)數(shù)列的公差為d, 數(shù)列(i=1,2,3,n)的公比為q則= a11 + (k1)d , akk = a11 + (k1)dqk1依題意得:,解得:a11 = d = q = 又n2個(gè)數(shù)都是正數(shù), a11 = d =
11、q = , akk = ,兩式相減得:例題11. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和,記(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),若,求的最小值;(3)求使不等式對一切均成立的最大實(shí)數(shù).解:(1)由題意得,解得, (2)由(1)得, 得. ,設(shè),則由得隨的增大而減小時(shí),又恒成立, (3)由題意得恒成立 記,則是隨的增大而增大 的最小值為,即.(二)證明等差與等比數(shù)列1. 轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列.例題12. 數(shù)列中,且滿足,.求數(shù)列的通項(xiàng)公式;設(shè),求;設(shè)=,是否存在最大的整數(shù),使得對任意,均有成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由. 解:(1)由題意,為等差數(shù)列,設(shè)公差為,由題意得,.(2)若,時(shí),故 (3),若對任意成立,即對任意成立,的最小值是,的最大整數(shù)值是7. 即存在最大整數(shù)使對任意,均有例題13. 已知等比數(shù)列與數(shù)列滿足N*. (1)判斷是何種數(shù)列,并給出證明;(2)若. 解:(1)設(shè)的公比為q,。所以是以為公差的等差數(shù)列. (2)所以由等差數(shù)列性質(zhì)可得2. 由簡單遞推關(guān)系證明等差等比數(shù)列例題14. 已知數(shù)列和滿足:,(),且是以為公比的等比數(shù)列. (I)證明:;(II)若,證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(III)求和:. 解法1:(I)證:由,有,. (II)證:,. 是首項(xiàng)為5,公比為的等比數(shù)列. (III)解:由(II)得,于是. 當(dāng)時(shí),. 當(dāng)時(shí),. 故解法2:(I)同解法1(I).
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