人教版八年級上冊整式的乘法及因式分解單元總結(jié)與歸納

1、整式的乘法同底數(shù)冪的乘積 注意點：（1）必須清楚底數(shù)、指數(shù)、冪這三個基本概念的涵義。 （2）前提必須是同底數(shù)，指數(shù)才可以相加 （3）底可以是一個具體的數(shù)或字母，也可以是一個單項式或多項式， （4）指數(shù)都是正整數(shù)（5）三個或三個以上的同底數(shù)冪相乘，即 （6）不要與整式加法相混淆。（7）這個公式是可逆的類型一：x3·x4 = xn·x4 = ； 3x2·xn·x4= ； 類型二：(1) 已知xm-n·x2n+1=x11,且ym-1·y4-n=y5,求mn2的值。 (2)若22m·8=2n ,則n= 類型三：(1)、 (- )(-

2、 )2(- )3 (2)、 -a4·(-a)4·(-a)5 (3)、 (x-y)3(y-x)(y-x)6 （4）、 類型四：已知2a=3, 2b=6, 2c=12，試探究a、b、c之間的關(guān)系；1. 冪的乘方 注意點：（1）冪的底數(shù)a可以是具體的數(shù)也可以是多項式。 （2）不要和同底數(shù)冪的乘法法則相混淆 （3）公式的可逆性： ； （4）公式的擴展: 類型一：(a3)5 = ; ; ; (a+b)23= ; (a2)53= ;類型二：【例1】若 【例2】若求的值； 【例3】已知，試比較a,b,c的大小;2. 積的乘方 注意點：（1）注意與前二個法則的區(qū)別： （2）積的乘方推廣到3

3、個以上因式的積的乘方 （3）每個因式可以是單項式，多項式，或者其他代數(shù)式 （4）每個因式都要乘方，然后將所得的冪相乘 （5）公式的可逆性： (6) 冪的乘方,積的乘方的可逆性： amn=(am)n=(an)m 類型一：；類型二：【例1】當(dāng)ab= ，m=5, n=3, 求(ambm)n的值。 【例2】若a3b2=15，求-5a6b4的值。 【例3】如果3m+2n=6，求8m·4n的值。 【例4】 （1）解方程 （2）解方程 【例5】已知ax=5，ax+y=25，求ax+ay的值 【例6】已知：2x=4y+1，27y=3x-1，求xy的值 類型三：【例】計算： 4.單項式乘法法則：【例】

4、 5.單項式與多項式相乘的乘法法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.【例】 6.多項式乘法法則： 多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.【例1】 【例2】：解方程與不等式 （4+3y)(4-3y)>9(y-2)(y+3) 【例3】確定參數(shù)a的值. 題型一：確定參數(shù)的值【例】若展開式中不含項和項，求m,n的值，并寫出展開式中的最后結(jié)果練習(xí)：題型二：整式乘法的實際應(yīng)用【例1】：小明將現(xiàn)金x元存入銀行，年利率為a，到期后他又連本帶利存入該銀行，形式還是1年期，蛋年利率調(diào)整為b，那么一年后，小明能獲得的本息總和是

5、多少（扣除5%的利息稅）練習(xí)：一種商品進價是p元，他的價格提高10k%，再打k折，則售價是 元【例2】：觀察下列各式： 觀察等式左邊各項冪的底數(shù)與右邊冪的底數(shù)的關(guān)系，猜一猜可以得出什么規(guī)律，并把這規(guī)律用等式寫出來： .題型三：整式的乘法能力提升訓(xùn)練；例1. 已知，求的值.變式： 已知，求的值變式： 已知的值.例2. 已知，求代數(shù)式的值。變式： 已知，求代數(shù)式的值。變式： 已知，求代數(shù)式的值。平方差和完全平方一、復(fù)習(xí):(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a

6、3b3 歸納小結(jié)公式的變式，準確靈活運用公式： 位置變化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 符號變化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 指數(shù)變化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 系數(shù)變化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 換式變化，xy+(z+m)xy-(z+m)=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2 增項變化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2 連用公式變化，(x+y

7、)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4 逆用公式變化，(x-y+z)2-(x+y-z)2 =(x-y+z)+(x+y-z)(x-y+z)-(x+y-z) =2x(-2y+2z)=-4xy+4xz例題解析：例1已知，求的值。解： =， =例2已知，求的值。解： =， 例3：計算19992-2000×1998解析此題中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1例

8、4：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。解析此題若想根據(jù)現(xiàn)有條件求出x、y、z的值，比較麻煩，考慮到x2-z2是由x+z和x-z的積得來的，所以只要求出x-z的值即可。解：因為x-y=2，y-z=2，將兩式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）(x-z)=14×4=56。例5運用公式簡便計算（1）1032 （2）1982解：（1）1032=(100+3)2 =1002+2´100´3+32 =10000+600+9 =10609 （2）1982=(200-2)2 =2002-2´200´2+22 =40000-80

9、0+4 =39204 例6計算（1）(a+4b-3c)(a-4b-3c) （2）(3x+y-2)(3x-y+2)解：（1）原式=(a-3c)+4b(a-3c)-4b=(a-3c)2-(4b)2=a2-6ac+9c2-16b2 （2）原式=3x+(y-2)3x-(y-2)=9x2-( y2-4y+4)=9x2-y2+4y-4例7解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。（2）已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。（3）已知a(a-1)-(a2-b)=2，求的值。（4）已知，求的值。分析：在公式(a+b)2=a2+b2+2ab中，如

10、果把a+b，a2+b2和ab分別看作是一個整體，則公式中有三個未知數(shù)，知道了兩個就可以求出第三個。解：（1）a2+b2=13，ab=6 (a+b)2=a2+b2+2ab=13+2´6=25 (a-b)2=a2+b2-2ab=13-2´6=1 （2）(a+b)2=7，(a-b)2=4 a2+2ab+b2=7 a2-2ab+b2=4 +得 2(a2+b2)=11，即 -得 4ab=3，即 （3）由a(a-1)-(a2-b)=2 得a-b=-2 （4）由，得 即 即 例8（1）(-1+3x)(-1-3x)； （2）(-2m-1)2解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=-(1-3

11、x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=12-(3x)2=1-9x2.（2） (-2m-1)2=-(2m+1)2=(2m+1)2= 4m2+4m+1.例9四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1，一定是平方數(shù)嗎？為什么？分析：由于1´2´3´4+1=25=52 2´3´4´5+1=121=112 3´4´5´6+1=361=192 得猜想：任意四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1，都是平方數(shù)。解：設(shè)n，n+1，n+2，n+3是四個連續(xù)自然數(shù)則n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =n(n+3)(n+1)(n+2)+1 =(

12、n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1 =(n2+3n+1)2n是整數(shù)， n2，3n都是整數(shù) n2+3n+1一定是整數(shù)(n2+3n+1)是一個平方數(shù) 四個連續(xù)整數(shù)的積與1的和必是一個完全平方數(shù)。例10計算 （1）(x2-x+1)2 （2）(3m+n-p)2解：（1）(x2-x+1)2=(x2)2+(-x)2+12+2× x2×(-x)+2×x2×1+2×(-x)×1=x4+x2+1-2x3+2x2-2x=x4-2x3+3x2-2x+1 （2）(3m+n-p)2=(3m)2+n2+(-p)2+2

13、15;3m×n+2×3m×(-p)+2×n×(-p)=9m2+n2+p2+6mn-6mp-2np分析：兩數(shù)和的平方的推廣 (a+b+c)2 =(a+b)+c2 =(a+b)2+2(a+b)×c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 即(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac幾個數(shù)的和的平方，等于它們的平方和加上每兩個數(shù)的積的2倍。二、乘法公式的用法(一)、套用:這是最初的公式運用階段，在這個環(huán)節(jié)中，應(yīng)弄清乘法公式的來龍去脈，準確地掌握其特征，為辨認和運用公式打下

14、基礎(chǔ)，同時能提高學(xué)生的觀察能力。例1. 計算： 解：原式(二)、連用:連續(xù)使用同一公式或連用兩個以上公式解題。例2. 計算：解：原式例3. 計算：解：原式三、逆用:學(xué)習(xí)公式不能只會正向運用，有時還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出公式的逆向形式，并運用其解決問題。例4. 計算：解：原式四、變用: 題目變形后運用公式解題。例5. 計算：解：原式五、活用: 把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個比較有用的派生公式：六、正確認識和使用乘法公式1、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想認識乘法公式：對于學(xué)習(xí)的兩種（三個）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b

15、2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，可以運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來區(qū)分它們。假設(shè)a、b都是正數(shù)，那么可以用以下圖形所示意的面積來認識乘法公式。如圖1，兩個矩形的面積之和（即陰影部分的面積）為(a+b)(a-b)，通過左右兩圖的對照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；圖2中的兩個圖陰影部分面積分別為(a+b)2與(a-b)2，通過面積的計算方法，即可得到兩個完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2與(a-b)2=a2-2ab+b2。.七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，應(yīng)用極為廣泛。尤其

16、多項式乘多項式，運算過程復(fù)雜，在解答中，要仔細觀察，認真分析題目中各多項式的結(jié)構(gòu)特征，將其適當(dāng)變化，找出規(guī)律，用乘法公式將其展開，運算就顯得簡便易行。一. 先分組，再用公式 例1. 計算： 簡析：本題若以多項式乘多項式的方法展開，則顯得非常繁雜。通過觀察，將整式運用加法交換律和結(jié)合律變形為；將另一個整式變形為，則從其中找出了特點，從而利用平方差公式即可將其展開。 解：原式 二. 先提公因式，再用公式 例2. 計算： 簡析：通過觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個多項式中的x的系數(shù)成倍數(shù)，y的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系，若將第一個多項式中各項提公因數(shù)2出來，變?yōu)?，則可利用乘法公式。 解：原式 三

17、. 先分項，再用公式 例3. 計算： 簡析：兩個多項中似乎沒多大聯(lián)系，但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著手觀察，不難發(fā)現(xiàn)，x的系數(shù)相同，y的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法公式。進而分析如何將常數(shù)進行變化。若將2分解成4與的和，將6分解成4與2的和，再分組，則可應(yīng)用公式展開。 解：原式= 四. 先整體展開，再用公式 例4. 計算： 簡析：乍看兩個多項式無聯(lián)系，但把第二個整式分成兩部分，即，再將第一個整式與之相乘，利用平方差公式即可展開。 解：原式 五. 先補項，再用公式 例5. 計算： 簡析：由觀察整式，不難發(fā)現(xiàn)，若先補上一項，則可滿足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展開，使運算變得簡便易行。 解：原式 六.

18、 先用公式，再展開 例6. 計算： 簡析：第一個整式可表示為，由簡單的變化，可看出整式符合平方差公式，其它因式類似變化，進一步變換成分數(shù)的積，化簡即可。 解：原式 七. 乘法公式交替用 例7. 計算： 簡析：利用乘法交換律，把第一個整式和第四個整式結(jié)合在一起，把第二個整式與第三個整式結(jié)合，則可利用乘法公式展開。 解：原式 八、中考與乘法公式1. 結(jié)論開放例1. 請你觀察圖1中的圖形，依據(jù)圖形面積的關(guān)系，不需要添加輔助線，便可得到一個你非常熟悉的公式，這個公式是_。分析：利用面積公式即可列出或或在上述公式中任意選一個即可。例2. 如圖2，在長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形（），把余下的

19、部分剪成一個矩形，如圖3，通過計算兩個圖形的面積，驗證了一個等式，則這個等式是_。分析：利用面積公式即可列出或2. 條件開放例3. 多項式加上一個單項式后，使它能成為一個整式的完全平方，則加上的單項式可以是_（填上你認為正確的一個即可，不必考慮所有的可能情況）。分析：解答時，可能習(xí)慣于按課本上的完全平方公式，得出 或只要再動點腦筋，還會得出 故所加的單項式可以是，或，或，或等。3. 找規(guī)律例4. 觀察下列各式：由猜想到的規(guī)律可得_。分析：由已知等式觀察可知 4. 推導(dǎo)新公式例5. 在公式中，當(dāng)a分別取1，2，3，n時，可得下列n個等式將這n個等式的左右兩邊分別相加，可推導(dǎo)出求和公式：_（用含n

20、的代數(shù)式表示）分析：觀察已知等式可知，后一個等式的右邊第一項等于前一個等式的左邊，將已知等式左右兩邊分別相加，得： 移項，整理得：例6. 閱讀材料并解答問題：我們已經(jīng)知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實際上還有一些等式也可以用這種形式表示，例如： 就可以用圖4或圖5等圖表示。（1）請寫出圖6中所表示的代數(shù)恒等式_；（2）試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示：（3）請仿照上述方法另寫一個含有a，b的代數(shù)恒等式，并畫出與之對應(yīng)的幾何圖形。解：（1）（2）如圖7（3）略九、怎樣熟練運用公式：（一）、明確公式的結(jié)構(gòu)特征這是正確運用公式的前提，如平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：符號左邊是兩個二項

21、式相乘，且在這四項中有兩項完全相同，另兩項是互為相反數(shù)；等號右邊是乘式中兩項的平方差，且是相同項的平方減去相反項的平方明確了公式的結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運用公式（二）、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式理解了字母含義的廣泛性，就能在更廣泛的范圍內(nèi)正確運用公式如計算（x+2y3z）2，若視x+2y為公式中的a，3z為b，則就可用（ab）2=a22ab+b2來解了。（三）、熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標準形式不相一致或不能直接用公式計算，此時要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點常見的幾種變化是：1、位置變化 如（3x+5y）（5

22、y3x）交換3x和5y的位置后即可用平方差公式計算了2、符號變化 如（2m7n）（2m7n）變?yōu)椋?m+7n）（2m7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不變或不這樣變，可以嗎？）3、數(shù)字變化 如98×102，992，912等分別變?yōu)椋?002）（100+2），（1001）2，（90+1）2后就能夠用乘法公式加以解答了4、系數(shù)變化 如（4m+）（2m）變?yōu)?（2m+）（2m）后即可用平方差公式進行計算了5、項數(shù)變化 如（x+3y+2z）（x3y+6z）變?yōu)椋▁+3y+4z2z）（x3y+4z+2z）后再適當(dāng)分組就可以用乘法公式來解了因式分解十字相乘法.（一）二次項系數(shù)為1的二次三項式直接利用公式進行分解。特點：（1）二次項系數(shù)是1； （2）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積； （3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩