乘法公式題型擴(kuò)展

1、乘法公式的復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí):(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3b3 歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式： 位置變化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 符號變化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 指數(shù)變化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 系數(shù)變化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 換式變化，xy+(z+m)xy-(z+m)=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+

2、m2)=x2y2-z2-2zm-m2 增項變化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2 連用公式變化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4 逆用公式變化，(x-y+z)2-(x+y-z)2 =(x-y+z)+(x+y-z)(x-y+z)-(x+y-z) =2x(-2y+2z) =-4xy+4xz例1已知，求的值。解： =， =例2已知，求的值。解： =， 例3：計算19992-2000×1998解析此題中2000=1999+1，1998=1999-1，

3、正好符合平方差公式。解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。解析此題可用完全平方公式的變形得解。解：a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2 （a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。解析此題若想根據(jù)現(xiàn)有條件求出x、y、z的值，比較麻煩，考慮到x2-z2是由x+z和x-z的積得來的，所以只要求出x-z的值即可。解：因為x-y=

4、2，y-z=2，將兩式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）(x-z)=14×4=56。例6：判斷（2+1）（22+1）（24+1）（22048+1）+1的個位數(shù)字是幾？解析此題直接計算是不可能計算出一個數(shù)字的答案，故有一定的規(guī)律可循。觀察到1=（2-1）和上式可構(gòu)成循環(huán)平方差。解：（2+1）（22+1）（24+1）（22048+1）+1 =（2-1）（22+1）（24+1）（22048+1）+1 =24096 =161024因為當(dāng)一個數(shù)的個位數(shù)字是6的時候，這個數(shù)的任意正整數(shù)冪的個位數(shù)字都是6，所以上式的個位數(shù)字必為6。例7運(yùn)用公式簡便計算（1）1032 （2）1982解：（

5、1）1032=(100+3)2 =1002+2´100´3+32 =10000+600+9 =10609 （2）1982=(200-2)2 =2002-2´200´2+22 =40000-800+4 =39204例8計算（1）(a+4b-3c)(a-4b-3c) （2）(3x+y-2)(3x-y+2)解：（1）原式=(a-3c)+4b(a-3c)-4b=(a-3c)2-(4b)2=a2-6ac+9c2-16b2 （2）原式=3x+(y-2)3x-(y-2)=9x2-( y2-4y+4)=9x2-y2+4y-4例9解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab

6、=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。（2）已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。（3）已知a(a-1)-(a2-b)=2，求的值。（4）已知，求的值。分析：在公式(a+b)2=a2+b2+2ab中，如果把a(bǔ)+b，a2+b2和ab分別看作是一個整體，則公式中有三個未知數(shù)，知道了兩個就可以求出第三個。解：（1）a2+b2=13，ab=6 (a+b)2=a2+b2+2ab=13+2´6=25 (a-b)2=a2+b2-2ab=13-2´6=1 （2）(a+b)2=7，(a-b)2=4 a2+2ab+b2=7 a2-2ab+b2=4 +得 2(a2+b

7、2)=11，即 -得 4ab=3，即 （3）由a(a-1)-(a2-b)=2 得a-b=-2 （4）由，得 即 即 例10四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1，一定是平方數(shù)嗎？為什么？分析：由于1´2´3´4+1=25=52 2´3´4´5+1=121=112 3´4´5´6+1=361=192 得猜想：任意四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1，都是平方數(shù)。解：設(shè)n，n+1，n+2，n+3是四個連續(xù)自然數(shù)則n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =n(n+3)(n+1)(n+2)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=

8、(n2+3n)(n2+3n+2)+1 =(n2+3n+1)2n是整數(shù)， n2，3n都是整數(shù) n2+3n+1一定是整數(shù)(n2+3n+1)是一個平方數(shù) 四個連續(xù)整數(shù)的積與1的和必是一個完全平方數(shù)。例11計算 （1）(x2-x+1)2 （2）(3m+n-p)2解：（1）(x2-x+1)2=(x2)2+(-x)2+12+2× x2×(-x)+2×x2×1+2×(-x)×1=x4+x2+1-2x3+2x2-2x=x4-2x3+3x2-2x+1 （2）(3m+n-p)2=(3m)2+n2+(-p)2+2×3m×n+2×

9、;3m×(-p)+2×n×(-p)=9m2+n2+p2+6mn-6mp-2np分析：兩數(shù)和的平方的推廣 (a+b+c)2 =(a+b)+c2 =(a+b)2+2(a+b)×c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 即(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac幾個數(shù)的和的平方，等于它們的平方和加上每兩個數(shù)的積的2倍。二、乘法公式的用法(一)、套用:這是最初的公式運(yùn)用階段，在這個環(huán)節(jié)中，應(yīng)弄清乘法公式的來龍去脈，準(zhǔn)確地掌握其特征，為辨認(rèn)和運(yùn)用公式打下基礎(chǔ)，同時能提高學(xué)生的觀察能力。例1.

10、 計算： 解：原式(二)、連用:連續(xù)使用同一公式或連用兩個以上公式解題。例2. 計算：解：原式例3. 計算：解：原式三、逆用:學(xué)習(xí)公式不能只會正向運(yùn)用，有時還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出公式的逆向形式，并運(yùn)用其解決問題。例4. 計算：解：原式四、變用: 題目變形后運(yùn)用公式解題。例5. 計算：解：原式五、活用: 把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個比較有用的派生公式：靈活運(yùn)用這些公式，往往可以處理一些特殊的計算問題，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識的能力。例6. 已知，求的值。解：例7. 計算：解：原式例8. 已知實數(shù)x、y、z滿足，那么（ ）解：由兩個

11、完全平方公式得：從而 三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問題 （一）、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”例1 計算(-2x2-5)(2x2-5)分析：本題兩個因式中“-5”相同，“2x2”符號相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”則是公式中的b解：原式=(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4例2 計算(-a2+4b)2分析：運(yùn)用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若將題目變形為(4b-a2)2時，則“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b（解略）（二）、注意為使用公式

12、創(chuàng)造條件例3 計算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)分析：粗看不能運(yùn)用公式計算，但注意觀察，兩個因式中的“2x”、“5”兩項同號，“y”、“z”兩項異號，因而，可運(yùn)用添括號的技巧使原式變形為符合平方差公式的形式解：原式=(2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z) =(2x+5)2-(y-z)2 =4x2+20x+25-y+2yz-z2例4 計算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2分析：若先用完全平方公式展開，運(yùn)算十分繁冗，但注意逆用冪的運(yùn)算法則，則可利用乘法公式，使運(yùn)算簡便解：原式=(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)2 =(a3-1)(a6+a3+1)2 =

13、(a9-1)2=a18-2a9+1例5 計算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)分析：此題乍看無公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項（2-1），則可運(yùn)用公式，使問題化繁為簡解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) =(24-1)(24+1)(28+1) =（28-1）（28+1） =216-1（三）、注意公式的推廣計算多項式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推廣得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可敘述為：多項式的平方，等于各項的平方和，加上每兩項乘積的2倍例6 計算

14、(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y（四）、注意公式的變換，靈活運(yùn)用變形公式 例7 (1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值； (2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值分析：粗看似乎無從下手，但注意到乘法公式的下列變形：x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-(x-y)2=4xy，問題則十分簡單解：(1)x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，將已知條件代入

15、得100=103-3xy·10， xy=30 故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40 (2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1例8 計算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2分析：直接展開，運(yùn)算較繁，但注意到由和及差的完全平方公式可變換出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而問題容易解決解：原式=(a+b)+c2+(a+b)-c2+c+(a-b)2+c-(a-b)2 =2(a+b)2+c2+2c2+(a-b)2 =2(a+b)2+(a-b)2+4c2 =4a2+4b2+4c2（五）

16、、注意乘法公式的逆運(yùn)用例9 計算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2分析：若按完全平方公式展開，再相減，運(yùn)算繁雜，但逆用平方差公式，則能使運(yùn)算簡便得多解：原式=(a-2b+3c)+(a+2b-3c)(a-2b+3c)-(a+2b-3c) =2a(-4b+6c)=-8ab+12ac例10 計算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此題可以利用乘法公式和多項式的乘法展開后計算，但逆用完全平方公式，則運(yùn)算更為簡便解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2=(2a+3b)+(4a-5b)2=(6a-2b)2=36a2-24ab+

17、4b2四、怎樣熟練運(yùn)用公式：（一）、明確公式的結(jié)構(gòu)特征這是正確運(yùn)用公式的前提，如平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：符號左邊是兩個二項式相乘，且在這四項中有兩項完全相同，另兩項是互為相反數(shù)；等號右邊是乘式中兩項的平方差，且是相同項的平方減去相反項的平方明確了公式的結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運(yùn)用公式（二）、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式理解了字母含義的廣泛性，就能在更廣泛的范圍內(nèi)正確運(yùn)用公式如計算（x+2y3z）2，若視x+2y為公式中的a，3z為b，則就可用（ab）2=a22ab+b2來解了。（三）、熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或

18、不能直接用公式計算，此時要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點常見的幾種變化是：1、位置變化 如（3x+5y）（5y3x）交換3x和5y的位置后即可用平方差公式計算了2、符號變化 如（2m7n）（2m7n）變?yōu)椋?m+7n）（2m7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不變或不這樣變，可以嗎？）3、數(shù)字變化 如98×102，992，912等分別變?yōu)椋?002）（100+2），（1001）2，（90+1）2后就能夠用乘法公式加以解答了4、系數(shù)變化 如（4m+）（2m）變?yōu)?（2m+）（2m）后即可用平方差公式進(jìn)行計算了5、項數(shù)變化 如（x+3y+2z）（x3y+6z）變?yōu)椋▁+3

19、y+4z2z）（x3y+4z+2z）后再適當(dāng)分組就可以用乘法公式來解了（四）、注意公式的靈活運(yùn)用有些題目往往可用不同的公式來解，此時要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭允褂嬎愀啽闳缬嬎悖╝2+1）2·（a21）2，若分別展開后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進(jìn)一步計算，則非常簡便即原式=（a2+1）（a21）2=（a41）2=a82a4+1對數(shù)學(xué)公式只會順向（從左到右）運(yùn)用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要注意逆向（從右到左）運(yùn)用如計算（1）（1）（1）（1）（1），若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計算繁難，而且容易出錯若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題即原式=（1）（1+

20、）（1）（1+）××（1）（1+）=×××××× =×=有時有些問題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式，乘法公式的變式主要有：a2+b2=（a+b）22ab，a2+b2=（ab）2+2ab等用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效如已知m+n=7，mn=18，求m2+n2，m2mn+ n2的值面對這樣的問題就可用上述變式來解，即m2+n2=（m+n）22mn=722×（18）=49+36=85，m2mn+ n2= （m+n）23mn=723×（18）=103下列各題，難不倒

21、你吧？！1、若a+=5，求（1）a2+，（2）（a）2的值2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位數(shù)字（答案：1.（1）23；（2）212. 6 ）五、乘法公式應(yīng)用的五個層次乘法公式：(ab)(ab)=a2b2，(a±b)=a2±2abb2，(a±b)(a2±abb2)=a3±b3第一層次正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進(jìn)行直接、簡單的套用例1計算 (2)(2xy)(2xy)(2)原式=(y)2x(y)2x=y24x2第二層次逆用，即將這些公式反過來進(jìn)行逆向使用例2計算(1)199

22、821998·399419972； 解(1)原式=199822·1998·199719972 =(19981997)2=1第三層次活用 ：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù)使用乘法公式；有時根據(jù)需要創(chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式例3化簡：(21)(221)(241)(281)1分析直接計算繁瑣易錯，注意到這四個因式很有規(guī)律，如果再增添一個因式“21”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，從而問題迎刃而解解原式=(21)(21)(221)(241)(281)1=(221)(221)(241)(281)1=216例4計算：(2x3y1)(2x3y5)分析仔細(xì)觀察，易見兩個因式的字母部

23、分與平方差公式相近，但常數(shù)不符于是可創(chuàng)造條件“拆”數(shù)：1=23，5=23，使用公式巧解解原式=(2x3y32)(2x3y32)=(23y)(2x3)(23y)(2x3)=(23y)2(2x3)2=9y24x212x12y5第四層次變用 ：解某些問題時，若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式，如a2b2=(ab)22ab，a3b3=(ab)33ab(ab)等，則求解十分簡單、明快例5已知ab=9，ab=14，求2a22b2和a3b3的值解： ab=9，ab=14，2a22b2=2(ab)22ab=2(922·14)=106，a3b3=(ab)33ab(ab)=933·14&#

24、183;9=351第五層次綜合后用 ：將(ab)2=a22abb2和(ab)2=a22abb2綜合，可得 (ab)2(ab)2=2(a2b2)；(ab)2(ab)2=4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷 例6計算：(2xyz5)(2xyz5)解：原式=(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)2-(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)2=(2x5)2(yz)2=4x220x25y22yzz2六、正確認(rèn)識和使用乘法公式1、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想認(rèn)識乘法公式：對于學(xué)習(xí)的兩種（三個）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+

25、b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來區(qū)分它們。假設(shè)a、b都是正數(shù)，那么可以用以下圖形所示意的面積來認(rèn)識乘法公式。如圖1，兩個矩形的面積之和（即陰影部分的面積）為(a+b)(a-b)，通過左右兩圖的對照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；圖2中的兩個圖陰影部分面積分別為(a+b)2與(a-b)2，通過面積的計算方法，即可得到兩個完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2與(a-b)2=a2-2ab+b2。2、乘法公式的使用技巧：提出負(fù)號：對于含負(fù)號較多的因式，通常先提出負(fù)號，以避免負(fù)號多帶來的麻煩。例1、 運(yùn)用乘法公式計算：（1）(-1+

26、3x)(-1-3x)； （2）(-2m-1)2解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=12-(3x)2=1-9x2.（2） (-2m-1)2=-(2m+1)2=(2m+1)2= 4m2+4m+1.改變順序：運(yùn)用交換律、結(jié)合律，調(diào)整因式或因式中各項的排列順序，可以使公式的特征更加明顯.例2、 運(yùn)用乘法公式計算：（1）()(); （2）(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)解：（1）()()=()()=()()= (2) (x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x2+1/4)=(x2-1/4)

27、(x2+1/4)= x2-1/16.逆用公式將冪的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2 = (a+b)(a-b)，逆用積的乘方公式，得anbn=(ab)n,等等，在解題時常會收到事半功倍的效果。例3、 計算：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2 ; （2）(a-1/2)2(a2+1/4) 2(a+1/2)2解：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2 =(x/2+5)+(x/2-5) (x/2+5)-(x/2-5)=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x·10=10x.（2）(a-1/2)2(a2+1/4) 2(a+1/2)2 =(a-1

28、/2)(a2+1/4) (a+1/2) 2 =(a-1/2 ) (a+1/2) (a2+1/4) 2=(a2-1/4 ) (a2+1/4) 2 =(a4-1/16 ) 2 =a8-a4/8+1/256.合理分組：對于只有符號不同的兩個三項式相乘，一般先將完全相同的項調(diào)到各因式的前面，視為一組；符號相反的項放在后面，視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行計算。計算：（1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).解：（1） (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= 1+(x+y)1-(x+y)=12-(x+y)2=1-(x2+2

29、xy+y2)= 1-x2-2xy-y2.（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)= (2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z)= (2x+5)2-(y-z)2 =(4x2+20x+25)-(y2-2yz+z2)= 4x2+20x+25-y2+2yz-z2 = 4x2-y2-z2+2yz +20x+25 .七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，應(yīng)用極為廣泛。尤其多項式乘多項式，運(yùn)算過程復(fù)雜，在解答中，要仔細(xì)觀察，認(rèn)真分析題目中各多項式的結(jié)構(gòu)特征，將其適當(dāng)變化，找出規(guī)律，用乘法公式將其展開，運(yùn)算就顯得簡便易行。一

30、. 先分組，再用公式 例1. 計算： 簡析：本題若以多項式乘多項式的方法展開，則顯得非常繁雜。通過觀察，將整式運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律變形為；將另一個整式變形為，則從其中找出了特點，從而利用平方差公式即可將其展開。 解：原式 二. 先提公因式，再用公式 例2. 計算： 簡析：通過觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個多項式中的x的系數(shù)成倍數(shù)，y的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系，若將第一個多項式中各項提公因數(shù)2出來，變?yōu)?，則可利用乘法公式。 解：原式 三. 先分項，再用公式 例3. 計算： 簡析：兩個多項中似乎沒多大聯(lián)系，但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著手觀察，不難發(fā)現(xiàn)，x的系數(shù)相同，y的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法公式。進(jìn)而分析如何將常數(shù)進(jìn)行變化。若將2分解成4與的和，將6分解成4與2的和，再分組，則可應(yīng)用公式展開。 解：原式= 四. 先整體展開，再用公式 例4. 計算： 簡析：乍看兩個多項式無聯(lián)系，但把第二個