全等三角形證明培優(yōu)題

1、模塊一：基本輔助線(xiàn)1. 如圖，已知AC=BD,ADAC,BCBD，求證：AD=BC.2. 如圖，AB=AE,ABC=AED,BC=ED,點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，（1）求證：AFCD.（2）在你連接BE后，還能得出什么新的結(jié)論？請(qǐng)寫(xiě)出三個(gè)（不要求證明）3. 如圖，B=E,C=D,BC=DE,M為CD中點(diǎn)，求證：AMCD.4.如圖，平面上有一邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD，O為對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，正方形OEFG的頂點(diǎn)與O重合，OE、OG分別與正方形ABCD的邊交于M、N兩點(diǎn)如圖（1），當(dāng)OEAB時(shí)，四邊形OMBN的面積為_(kāi)；如圖（2），當(dāng)正方形OEFG繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，四邊形OMBN的面積會(huì)發(fā)生變化嗎？試證明你的結(jié)論5

2、.如圖所示，在ABC中，AB=AC，在AB上取一點(diǎn)E，在AC延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)F，使BE=CF，EF交BC于G.求證：EG=FG。6.如圖，在ABC中，AB=AC，E在線(xiàn)段AC上，D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)，連DE交BC于F，過(guò)點(diǎn)E作EGBC于G（1）若A=50°，D=30°，求GEF的度數(shù)；（2）若BD=CE，求證：FG=BF+CG模塊二：母子型1已知：如圖，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，ACM, CBN都是等邊三角形，AN交MC于點(diǎn)E，BM交CN于點(diǎn)F.(1)求證：AN=BM;(2)求證：CEF為等邊三角形2.如圖，已知，等腰RtOAB中，AOB=90°，等腰RtEOF中，EOF=

3、90°，連結(jié)AE、BF。求證：（1）AE=BF；（2）AEBF。3.如圖1，若四邊形ABCD、四邊形GFED都是正方形，顯然圖中有AG=CE，AGCE；（1）當(dāng)正方形GFED繞D旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，AG=CE是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）當(dāng)正方形GFED繞D旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，延長(zhǎng)CE交AG于H，交AD于M求證：AGCH；當(dāng)AD=4，DG=時(shí)，求CH的長(zhǎng)4.如圖，已知ABD、AEC都是等邊三角形，AFCD于點(diǎn)F，AHBE于點(diǎn)H,問(wèn)：（1）BE與CD有何數(shù)量關(guān)系？為什么？（2）AF、AH有何數(shù)量關(guān)系？為什么？5.已知：如圖所示，在ABC和ADE中，AB=

4、AC，AD=AE，BAC=DAE，且點(diǎn)B，A，D在一條直線(xiàn)上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點(diǎn)（1）求證：BE=CD；AMN是等腰三角形；（2）在圖的基礎(chǔ)上，將ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°，其他條件不變，得到圖所示的圖形請(qǐng)直接寫(xiě)出（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立；（3）在（2）的條件下，請(qǐng)你在圖中延長(zhǎng)ED交線(xiàn)段BC于點(diǎn)P求證：PBDAMN6.（2009豐臺(tái)區(qū)一模）如圖1，在ABC中，ACB為銳角，點(diǎn)D為射線(xiàn)BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF（1）如果AB=AC，BAC=90°，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖2，線(xiàn)段

5、CF、BD所在直線(xiàn)的位置關(guān)系為_(kāi)，線(xiàn)段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)；當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖3，中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；（2）如果ABAC，BAC是銳角，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，當(dāng)ACB滿(mǎn)足什么條件時(shí)，CFBC（點(diǎn)C、F不重合），并說(shuō)明理由模塊三 倍長(zhǎng)中線(xiàn)（1） 倍長(zhǎng)中線(xiàn) （2）倍長(zhǎng)類(lèi)中線(xiàn)1. 已知：如圖，ABC中，AD平分BAC，且BD=CD，求證：AB=AC2.已知，如圖ABC中，AC>AB,AM是BC邊上的中線(xiàn)，求證：（AC-AB）AM(AB+AC)3. 如圖所示，已知ABC中，AD平分BAC,E,F分別在BD,AD上，DE=CD,EF=AC,求證:EF/AB.4.如圖，

6、AD是ABC的中線(xiàn)，E、F分別在AB、AC上，且DEDF 求證：BE+CFEF4. 如圖，已知在ABC中，AB=AC，CE是AB邊上的中線(xiàn)，延長(zhǎng)AB到D，使BD=AB，連接CD求證：CE=CD.5. 證明：直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊上的一半。7.分別以ABC的邊AB,AC為邊，向三角形的外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG,M為BC的中點(diǎn)，求證：AMEG.8如圖，ABC中，AB=4，AC=7，M是BC的中點(diǎn)，AD平分BAC，過(guò)M作MFAD，交AC于F，求FC的長(zhǎng)9.在ABC中，AM是BC邊上的中線(xiàn)，（1）求證：AB+AC>2AM;(2)若AB=5，AC=9，求AM的取值范圍。10.

7、ABC中，AC=8，BC邊上的中線(xiàn)AD=6，則邊AB的取值范圍是 。11. 如圖，在ABC中，AD平分BAC，E為BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EFAD交AB于點(diǎn)G，交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F求證：BG=CF12. 如圖，已知在ABC中，AD平分BC邊上的中線(xiàn)，E是AD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BE交AC于F,AF=EF,求證：AC=BE.13. 如圖所示，BAC=DAE=90°，M是BE的中點(diǎn)，AB=AC，AD=AE，求證：（1）CD=2AM,（2）AMCD14. 在ABC中，分別以ABC的邊AB,AC為邊，向三角形的外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG,點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，（1）求證：AM丄EG;（2）求證:EG

8、=2AM.模塊四、截長(zhǎng)補(bǔ)短1 截長(zhǎng)：截取較長(zhǎng)線(xiàn)段，使其和較短線(xiàn)段長(zhǎng)度相等。2 補(bǔ)短：延長(zhǎng)較短線(xiàn)段，使其和較長(zhǎng)線(xiàn)段長(zhǎng)度相等。適用范圍：條件或題目中出現(xiàn)“a+b=c”或“a-b=c”目的：構(gòu)造全等三角形1. 如圖，在ABC中，B=2C,ADBC于D,求證：CD=BD+AB.2.如圖，在正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD上的點(diǎn)，MAN=45°求證：MB+ND=MN3、 如圖所示，已知ABC中，AD平分BAC,E、F分別在BD、AD上，DE=CD,已知ABCD是正方形，E、F分別在CB、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，EAF=135°，求證：BE+DF=EF.4. 如圖，五邊形ABCDE中，

9、AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°連接AD（1）同學(xué)們學(xué)習(xí)了圖形的變換后知道旋轉(zhuǎn)是研究幾何問(wèn)題的常用方法,請(qǐng)你在圖中作出ABC繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)“BAE的度數(shù)”后的像；（2）試判斷AD是否平分CDE，并說(shuō)明理由5.如圖，在四邊形ABCD中，B=D=180°,AB=AD,EF分別是線(xiàn)段BC、CD上的一點(diǎn)，且BE+FD=EF.求證：EAF=BAD.6. 已知：如圖，在正方形ABCD中，M在CB延長(zhǎng)線(xiàn)上，N在DC延長(zhǎng)線(xiàn)上，MAN=45°，AHMN，垂足為H，求證：（1）MN=DN-BM；（2）AH=AB7.已知：如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)AD=FA

10、E求證：BE+DF=AE8. 如圖，ABC是正三角形，ADC=120°，求證：BD=AD+CD.模塊五 角平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定1. 如圖，BE=CF，DEAB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，且DB=DC，求證：AD是BAC的平分線(xiàn)2. 如圖，已知ABC的周長(zhǎng)是22，OB、OC分別平分ABC和ACB,ODBC于D，且OD=3，ABC的面積是_3.如圖，在ABC中，BAC=120°，ADBC于D，且AB+BD=DC，那么C=（     ）度.4.已知，如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)AD=FAE.求證：BE+DF=AE.5.如圖ABC是正三角形，

11、BDC是頂角BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN探究：（1）線(xiàn)段BM、MN、NC之間的數(shù)量關(guān)系（2）若點(diǎn)M、N分別是AB、CA延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，其它條件不變，再探線(xiàn)段BM、MN、NC之間的數(shù)量關(guān)系，在圖中畫(huà)出圖形并對(duì)以上兩種探究結(jié)果選擇一個(gè)你喜歡的加以證明6.如圖：在ABC中，C=90°， AD是BAC的平分線(xiàn)，DEAB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF； 說(shuō)明：（1）CF=EB （2）AB=AF+2EB7.如圖，已知：ABC的B、C的外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)D求證：AD是BAC的平分線(xiàn)模塊六、角平分線(xiàn)的

12、四大基本模型1. 角平分線(xiàn)+平分線(xiàn)，等腰三角形必呈現(xiàn)2. 點(diǎn)垂線(xiàn)，垂兩邊，線(xiàn)等全等都出現(xiàn)3. 角平分線(xiàn)+垂線(xiàn)，中點(diǎn)全等必可見(jiàn)4. 角分線(xiàn)，分兩邊，對(duì)稱(chēng)全等要記全1. 如圖，在ABC中，BD、CD分別平分ABC和ACB.DE/AB,FD/AC,如果BC=6，求DEF的周長(zhǎng)2.ABC中.（1）如圖1，若BAC的平分線(xiàn)過(guò)BC的中點(diǎn)D,猜想AB和AC的關(guān)系并證明。（2） 如圖2，若BAC的平分線(xiàn)不過(guò)BC的中點(diǎn)D,而是與BC的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，過(guò)E作EF AB,垂足為F,猜想2BF、AB、AC的關(guān)系并證明。3.如圖，ABC中，AB=2AC，1=2，DA=DB，你能說(shuō)明DCAC嗎？4.在ABC中，BAC

13、=90°，AB=AC,BE平分ABC,CEBE,求證：(1)BD·BE=AB·BC；(2)CE=BD.5.如圖，已知ABC中，AD平分BACC=20°，AB+BD=AC，則B的度數(shù)是_6.已知，等腰ABC，A=100°，ABC的平分線(xiàn)交AC于D,BD=BE,(1)求DEC;(2)求證：AD=EC.7.如圖，AD是ABC的角平分線(xiàn)，H，G分別在AC，AB上，且HD=BD（1）求證：B與AHD互補(bǔ)；（2）若B+2DGA=180°，請(qǐng)?zhí)骄烤€(xiàn)段AG與線(xiàn)段AH、HD之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并加以證明8.(1)如圖，在ABC中，AD是BAC的外角平分

14、線(xiàn)，P是AD上的任意一點(diǎn)，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說(shuō)明理由（2）如圖，AD是ABC中BAC的平分線(xiàn)，P是AD上的任意一點(diǎn)，且ABAC，求證：AB-ACPB-PC9.如圖，ABC中，BAC=90°，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于點(diǎn)E.在ABC外有一點(diǎn)F，使FAAE，F(xiàn)CBC.（1）求證：BE=CF；（2）在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點(diǎn)N，連接ME.求證：MEBC；DE=DN. 10.（1）如圖，在ABC中，ABC、ACB的平分線(xiàn)相交于F，過(guò)F作DEBC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E判斷DE=DB+EC是否成立？為什么？（2）

15、如圖，若點(diǎn)F是ABC的平分線(xiàn)和外角ACG的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，其他條件不變，請(qǐng)猜想線(xiàn)段DE、DB、EC之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的猜想11. 如圖，在ABC中，BE是ABC的角平分線(xiàn)，ADBE，垂足為D，求證：2=1+C12. 如圖，CD為RtABC斜邊上的高，BAC的平分線(xiàn)分別交CD、BC于點(diǎn)E、F且FGAB，垂足為G，求證：CE=FG模塊七 垂直平分線(xiàn)1.如圖，已知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于E、D兩點(diǎn)，若AB=12cm，BC=10cm，A=50°，求BCE的周長(zhǎng)和EBC的度數(shù)。2.電信部門(mén)要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔P，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔P到兩城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩

16、條高速公路m和n的距離也必須相等請(qǐng)?jiān)趫D中作出發(fā)射塔P的位置（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）3如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BEAE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F求證：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD(3) 若ABC=50°,求F.4.已知：如圖AB=CD,線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)于線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn)E,求證：ABE=CDE.模塊八 大角夾半角模型特征：組成大角的兩條線(xiàn)段相等，大角與半角具有公共頂點(diǎn)。方法：旋轉(zhuǎn)某個(gè)圖形使大角的等線(xiàn)段重合在一起，利用全等三角形求解。1. 操作：如圖，ABC是正三角形，BDC是頂角BDC=120

17、76;的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN探究：線(xiàn)段BM、MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明說(shuō)明：（1）如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒(méi)有找到解決問(wèn)題的方法，請(qǐng)你把探索過(guò)程中的某種思路寫(xiě)出來(lái)（要求至少寫(xiě)3步）；（2）在你經(jīng)歷說(shuō)明（1）的過(guò)程之后，可以從下列、中選取一個(gè)補(bǔ)充或更換已知條件，完成你的證明AN=NC（如圖）；DMAC（如圖）附加題：若點(diǎn)M、N分別是射線(xiàn)AB、CA上的點(diǎn)，其它條件不變，再探線(xiàn)段BM、MN、NC之間的關(guān)系，在圖中畫(huà)出圖形，并說(shuō)明理由 2. 如圖，將RtABC沿斜邊翻折得到ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且EAF=

18、DAB（1）試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想(2) 過(guò)點(diǎn)A作AMEF于點(diǎn)M,證明EF=BE+DF;(3) 試猜想AM與 AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。3. 如圖，在正方形ABCD中，E為CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE交對(duì)角線(xiàn)BD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FGAE交BC于點(diǎn)G（1）求證：AF=FG；（2）如圖，連接G，當(dāng)BG=3，DE=2時(shí)，求EG的長(zhǎng)4.如圖所示，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，BDC是頂角頂角為120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)60°的MDN，點(diǎn)M、N分別在AB、AC上，求AMN的周長(zhǎng)5.已知梯形ABCD中，ADBC，AB=BC=DC，點(diǎn)E、F分別在AD、AB上，且FCEBCD。（1）求證：BF=EF-ED；（2）連接AC，若B=80°，DEC=70°，求ACF的度數(shù)模塊九 K字模型1.在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且ADMN于D，BEMN于E。（1） 當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：ADCCEB；DE=AD+BE；（2）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE；（3）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等