圓心角圓周角垂徑定理及其應(yīng)用

1、第一課時(shí)輔導(dǎo)講義課 題圓的對(duì)稱性教學(xué)目標(biāo)1理解圓的對(duì)稱性及有關(guān)性質(zhì)2理解同圓或等圓中，圓心角、弧、弦各組量之間的關(guān)系，并會(huì)應(yīng)用3. 掌握?qǐng)A周角定理.3探索垂徑定理并會(huì)應(yīng)用其解決有關(guān)問題重點(diǎn)、難點(diǎn)1.圓心角與弦的關(guān)系，圓心角與圓周角的關(guān)系2.垂徑定理的理解與應(yīng)用考點(diǎn)及考試要求1.會(huì)計(jì)算圓心角，圓周角。并熟練其之間的轉(zhuǎn)化關(guān)心，注意弧和弦在圓心角中的等量關(guān)系2.熟練掌握垂徑定理的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容知識(shí)框架1.圓是軸對(duì)稱圖形（重點(diǎn)） 通過折疊與旋轉(zhuǎn)的方法，我們可以得到： 圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸為任意一條過圓心的直線； 圓是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是圓心2.圓心角，弧，弦之間的關(guān)系（重點(diǎn)）在同圓或等圓中，相

2、等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等。在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。(1)在具體運(yùn)用以上定理解決問題時(shí)，可根據(jù)需要選擇，如“在等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等” (2)不能忽略“在同圓或等圓中”這個(gè)前提條件，如果丟掉這個(gè)前提條件，即使圓心角相等，所對(duì)的弧、弦也不一定相等 (3)要結(jié)合圖形深刻理解圓心角、孤、弦這三個(gè)概念和“所對(duì)應(yīng)的”一詞的含義，因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的弧有兩條，所以由“弦等”得出“弧等”，這里的“弧等”指的是對(duì)應(yīng)的劣弧和劣弧相等，對(duì)應(yīng)的優(yōu)弧和優(yōu)弧相等。3.圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)的關(guān)系（1）1的?。簩㈨旤c(diǎn)在圓心

3、的周角等分成360份時(shí)，每一份的圓心角是1的角因?yàn)橥瑘A中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所以整個(gè)圓也被等分成360份我們把1的圓心角所對(duì)的弧叫做1的?。?） 圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)的關(guān)系：圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等4、 圓周角定理及其推論（重點(diǎn)） 同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等弧；推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在中，OC=OA=OB 是直角三角形或C=905.垂徑定理的應(yīng)

4、用（難點(diǎn)） （1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的的弧， 垂徑定理的表現(xiàn)形式：如圖5-2-8所示， 推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??； （3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧 以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即： 是直徑 弧弧 弧弧中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論?？键c(diǎn)一：圓心角，弧，弦的位置關(guān)系例1、（2006濟(jì)南）如圖，BE是半徑為6的圓D的 1/4圓周，C點(diǎn)是BE上的任意一點(diǎn)，ABD是等邊

5、三角形，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)P的取值范圍是（）例2、有下列說法：等弧的長(zhǎng)度相等；直徑是圓中最長(zhǎng)的弦；相等的圓心角對(duì)的弧相等；圓中90角所對(duì)的弦是直徑；同圓中等弦所對(duì)的圓周角相等其中正確的有（ ）例3、（2007重慶）如圖，AB是O的直徑，AB=AC，BC交O于點(diǎn)D，AC交O于點(diǎn)E，BAC=45，給出下列五個(gè)結(jié)論：EBC=22.5；BD=DC；AE=2EC；劣弧AE是劣孤DE的2倍；AE=BC其中正確結(jié)論的序號(hào)是 例4.（2005內(nèi)江）如圖所示，O半徑為2，弦BD=2 3，A為弧BD的中點(diǎn)，E為弦AC的中點(diǎn)，且在BD上，則四邊形ABCD的面積為 考點(diǎn)二：圓周角定理例1 如圖，三角形ABC中，A

6、=60，BC為定長(zhǎng)，以BC為直徑的O分別交AB，AC于點(diǎn)D，E連接DE，已知DE=EC下列結(jié)論：BC=2DE；BD+CE=2DE其中一定正確的有（ ） 例2、（2011衢州）一個(gè)圓形人工湖如圖所示，弦AB是湖上的一座橋，已知橋AB長(zhǎng)100m，測(cè)得圓周角ACB=45，則這個(gè)人工湖的直徑AD為（）例3、 （2010荊門）如圖，MN是O的直徑，MN=2，點(diǎn)A在O上，AMN=30，B為 AN的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為（）、例4、如圖AB是O的直徑， AC所對(duì)的圓心角為60， BE所對(duì)的圓心角為20，且AFC=BFD，AGD=BGE，則FDG的度數(shù)為（）考點(diǎn)三：垂徑定理1、（2

7、010大田縣）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在第一象限，P與x軸相切于點(diǎn)Q，與y軸交于M（0，2），N（0，8）兩點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A、（5，3） B、（3，5） C、（5，4） D、（4，5）2、（2010濰坊）已知：如圖，AB是O的弦，半徑OCAB于點(diǎn)D，且AB=8m，OC=5m，則DC的長(zhǎng)為（）A、3cm B、2.5cm C、2cm D、1cm 3、 （2009龍巖）如圖，AB、CD是半徑為5的O的兩條弦，AB=8，CD=6，MN是直徑，ABMN于點(diǎn)E，CDMN于點(diǎn)F，P為EF上的任意一點(diǎn)，則PA+PC的最小值為多少？ 4、 已知：如圖，PAC=30，在射線AC上順次截取AD=3cm

8、，DB=10cm，以DB為直徑作O交射線AP于E、F兩點(diǎn)，求圓心O到AP的距離及EF的長(zhǎng)5、如圖所示，O的直徑AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，CEA=30，求CD6、如圖，OAB中，OA=OB，以O(shè)為圓心的圓交BC于點(diǎn)C，D，求證：AC=BD考點(diǎn)四：垂徑定理的應(yīng)用1、 （2009青島）一根水平放置的圓柱形輸水管道橫截面如圖所示，其中有水部分水面寬0.8米，最深處水深0.2米，則此輸水管道的直徑是多少？ 2（2006菏澤）如圖，底面半徑為5cm的圓柱形油桶橫放在水平地面上，向桶內(nèi)加油后，量得長(zhǎng)方形油面的寬度為8cm，則油的深度（指油的最深處即油面到水平地面的距離）為多少？3、

9、（2008黃岡）如圖是“明清影視城”的圓弧形門，黃紅同學(xué)到影視城游玩，很想知道這扇門的相關(guān)數(shù)據(jù)于是她從景點(diǎn)管理人員處打聽到：這個(gè)圓弧形門所在的圓與水平地面是相切的，AB=CD=20cm，BD=200cm，且AB，CD與水平地面都是垂直的根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請(qǐng)你幫助黃紅同學(xué)計(jì)算出這個(gè)圓弧形門的最高點(diǎn)離地面的高度是多少？5、 如圖，圓柱形水管內(nèi)原有積水的水平面寬CD=20cm，水深GF=2cm若水面上升2cm（EG=2cm），則此時(shí)水面寬AB為多少？針對(duì)性練習(xí)1、（2004南寧）如圖，D、E分別是O的半徑OA、OB上的點(diǎn)，CDOA，CEOB，CD=CE，則 AC與 CB弧長(zhǎng)的大小關(guān)系是 2、如圖，已知A

10、B是O的直徑，PA=PB，P=60，則弧CD所對(duì)的圓心角等于 度3、（2009哈爾濱）如圖，在O中，D、E分別為半徑OA、OB上的點(diǎn)，且AD=BE點(diǎn)C為弧AB上一點(diǎn)，連接CD、CE、CO，AOC=BOC求證：CD=CE4、 （2011重慶）如圖，O是ABC的外接圓，OCB=40，則A的度數(shù)等于（）5、（2011福建）如圖，AB是O的直徑，C，D兩點(diǎn)在O上，若C=40，則ABD的度數(shù)為（）6、（2005鎮(zhèn)江）如圖，O是等邊三角形ABC的外接圓，D、E是O上兩點(diǎn)，則D= 度，E= 度7、在ABC中，A=150，BC=6cm，則ABC的外接圓的半徑為 cm8、如圖，P是直徑AB上一點(diǎn)，且PA=2，PB=6，CD為經(jīng)過點(diǎn)P的弦，那么下列PC與PD的長(zhǎng)度中，符合題意的是（）9、如圖，在圓O中，直徑AB=10，C、D是