圓的幾何綜合題 (27題)

1、圓的幾何綜合題圓的幾何綜合題成都市龍泉驛區(qū)第九中學 陳禮勇一、歷年圓的幾何綜合題回顧一、歷年圓的幾何綜合題回顧1、 一般分成三個問題，三個問題由易到難，由一般到特殊或由特殊到一般層層遞進的方式設置問題；2、 一般三個問題涉及到圓的切線的證明，線段相等、角相等、線段與角的計算、圖形面積的計算、幾何變量之間的函數關系探究、線段關系式的證明、角的關系式的證明等；3、常見的知識點有：垂徑定理及其推論、圓心角定理及其推論、圓周角定理及其推論、切線的性質與判定、等腰三角形的性質與判定、解直角三角形、全等三角形與相似三角形的性質與判定、銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值等；4、 常見的數學思想方法有：方程

2、思想、函數思想、由特殊到一般或由一般到特殊的探究思想等；二、命題規(guī)律：二、命題規(guī)律：1、圓中的如下定理出現(xiàn)的頻率很高：垂徑定理及其推論，圓心角定理及其推論，圓周角定理及其推論，切線的性質及其判定定理；2、常與等腰三角形(兩半徑加弦)，直角三角形（直徑、半圓） ，相似三角形，全等三角形和銳角三角函數的概念結合考查；3、相似三角形基本圖形的分解是關健，如：正 A 字形（A1 形） 、斜 A 字形（A2 形） 、正八字形（X1 形） 、斜八字形（X2 形或蝴蝶形） 、射影定理圖、共角共邊相似（A3 形）圖等出現(xiàn)的頻率很高.4、結合重要的幾何定理（及其逆定理）的基本圖形命題，如弦切角定理的逆定理，切線

3、長定理的逆定理，相交弦定理，切割線定理，割線定理等（具體見后面的例題）三、常見的幾何模板及輔助線回顧三、常見的幾何模板及輔助線回顧1、三角形：三角形：圖中若有角平分線，可向兩邊作垂線；也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)；角平分線平行線，等腰三角形來添；角平分線加垂線，三線合一試試看；線段垂直平分線，常向兩端把線連；要證線段倍與半，延長縮短可試驗；三角形中兩中點，連接則成中位線；三角形中有中線，延長中線等中線. 2 2、四邊形：、四邊形：平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點；梯形里面作高線，平移一腰試試看；平行移動對角線，補成三角形常見；證相似，比線段，添線平行成習慣；等積式子比例換，尋找線段很關鍵；直接

4、證明有困難，等量代換少麻煩；斜邊上面作高線，比例中項一大片.3 3、圓：、圓：半徑與弦長計算，弦心距來中間站；圓上若有一切線，切點圓心半徑連；切線長度的計算，勾股定理最方便；要想證明是切線，半徑垂線仔細辨；是直徑，成半圓，想成直角徑連弦；弧有中點圓心連，垂徑定理要記全；圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連；弦切角邊切線弦，同弧對角等找完；如果遇到相交圓，不要忘作公共弦；內外相切的兩圓，經過切點公切線；若是添上連心線，切點肯定在上面；要作等角添個圓，證明題目少困難.四、四、27 題解題程序題解題程序1、畫：、畫：生長性畫圖，邊畫圖邊解決三個小問；2、標：、標：將題中的已知條件標在圖中；3、標：、標：將

5、未知問題、猜想的結論標在圖中；4、聯(lián)：、聯(lián)：聯(lián)系知識點、聯(lián)想常見的幾何模塊、不同知識進行聯(lián)結，聯(lián)系前面證明的結論；5、寫：、寫：寫出解題過程.五、常見定理及基本圖形分析五、常見定理及基本圖形分析1、垂直于弦的直徑，徑連弦得射影定理；如 2007 成都、2010 成都、2011 成都.2、角平分線加“相似三角形的斜八字形”會出現(xiàn)“共邊共角相似”：如 2009 成都、2010 成都.3、以切線長定理的基本圖形，關于切線的性質與判定的證明，出現(xiàn)兩公共底邊的兩等腰三角形：如2007 成都、2012 遼寧朝陽、2012 北京.4、直徑與切線（性質或判定）相結合命題：如 2007 成都、2012 成都、2

6、012 湖北天門、2012 遼寧朝陽、2012 北京、2012 福建甫田、2012 遼寧錦州. （1）圓中常見的二級圖 GFEODCBA 垂徑定理圖 垂徑定理與射影定理 點 C 為弧 AF 中點 AB 垂 相交弦定理圖 直于 CD，有 AE=CEEDCBA 點 C 為弧 BD 中點，有 切割線定理圖 割線定理圖 切線長定理圖 BECABC (2） 部分中考題圖形選 2007 成都 2008 成都 2009 成都 2010 成都 2011 成都 2012 成都 2012 湖北天門 2012 遼寧朝陽 2012 北京中考 2012 福建甫田 2012 遼寧錦州 六、中考真題分析六、中考真題分析1、

7、 （成都中考 2007，10 分）如圖，是以為直徑的上一點，于點，過點作OABCOADBCDB的切線，與的延長線相交于點是的中點，連結并延長與相交于點，延長CAEG，ADCGBEF與的延長線相交于點AFCBP（1）求證：；BFEF（2）求證：是O 的切線；PA（3）若，且O 的半徑長為，求和FGBF3 2BDFG的長度2、（成都中考 2008，共 10 分）如圖，已知O 的半徑為 2，以O 的弦 AB 為直徑作M，點 C 是O優(yōu)弧上的一個動點（不與點 A，點 B 重合）.連結 AC，BC，分別與M 相交于點 D，點 E，連結 DE.若ABAB=2.3(1)求C 的度數；(2)（2）求 DE 的

8、長；(3)（3）如果記 tanABC=y，=x（0 x3） ，那么在點 C 的運動過程中，試用含 x 的代數式表示 y.ADDC 3、 （成都中考 2009，共 10 分） 如圖，RtABC 內接于O，AC=BC，BAC 的平分線 AD 與0 交于點 D，與 BC 交于點 E，延長 BD，與 AC 的延長線交于點 F，連結 CD，G 是 CD 的中點，連結 0G(1)判斷 0G 與 CD 的位置關系，寫出你的結論并證明；(2)求證：AE=BF；（3）若，求O 的面積.3(22)OG DE4、 （成都中考 2010，共 10 分） 已知：如圖，ABC內接于O，AB為直徑，弦CEAB于F，C是AD

9、的中點，連結BD并延長交EC的延長線于點G，連結AD，分別交CE，BC于點P，Q（1）求證：是的外心；PACQ（2）若,求的長；3tan,84ABCCFCQ（3）求證：2()FPPQFP FG 5、 （成都中考 2011，共 10 分）已知：如圖，以矩形 ABCD 的對角線 AC 的中點為圓心，以 OA 長為半徑作O，O 經過 B，D 兩點過點 B 作 BKAC，垂足為 K過點 D 作 DHKB，DH 分別與 AC，AB，O及 CB 的延長線相交于點 E，F(xiàn)，G，H（1）求證：AE=CK；（2）如果 AB=a，AD=為大于零的常數） ，求 BK 的長；aa(31（3）若 F 是 EG 的中點，

10、且 DE=6，求O 的半徑.6、 （成都中考 2012，共 10 分）如圖，AB 是O 的直徑，弦 CDAB 于 H，過 CD 延長線上一點 E 作O 的切線交 AB 的延長線于 F切點為 G，連接 AG 交 CD 于 K （1）求證：KE=GE； （2）若2KG=KDGE，試判斷 AC 與 EF 的位置關系，并說明理由； （3） 在（2）的條件下，若 sinE=35，AK=2 3，求 FG 的長7、 （2013 年成都）如圖，的半徑，四邊形內接圓，于點，為O25r ABCDOACBDHP延長線上的一點，且.CAPDAABD （1）試判斷與的位置關系，并說明理由：PDO（2）若，求的長；3ta

11、n4ADB4 333PAAHBD（3）在（2）的條件下，求四邊形的面積.ABCD8、 （2014 年成都）如圖，在的內接ABC 中，ACB=90，AC=2BC，過 C 作 AB 的垂O線 交O 于另一點 D，垂足為 E.設 P 是上異于 A,C 的一個動點，射線 AP 交 于點 F，連接l AClPC 與 PD，PD 交 AB 于點 G.（1）求證：PACPDF；（2）若 AB=5，=，求 PD 的長； AP BP（3）在點 P 運動過程中，設，xBGAGyAFD tan求與之間的函數關系式.（不要求寫出的取值范圍）yxx9、 （2013 年北京)如圖，AB 是O 的直徑，PA，PC 分別與O

12、 相切于點 A，C，PC 交 AB 的延長線于點 D，DEPO 交 PO 的延長線于點 E（1）求證：EPD=EDO（2）若 PC=6，tanPDA=43，求 OE 的長*#網10、 （2014北京）如圖，AB 是O 的直徑，C 是的中點，O 的切線 BD 交 AC 的延長線于點 D，E 是 OB 的中點，CE 的延長線交切線 BD 于點 F，AF 交O 于點 H，連接 BH（1）求證：AC=CD；（2）若 OB=2，求 BH 的長11、 （2014南昌）如圖 1，AB 是O 的直徑，點 C 在 AB 的延長線上，AB=4，BC=2，P 是O 上半部分的一個動點，連接 OP，CP（1）求OPC

13、 的最大面積；（2）求OCP 的最大度數；（3）如圖 2，延長 PO 交O 于點 D，連接 DB，當 CP=DB 時，求證：CP 是O 的切線12、 （2014 遼寧盤錦）如圖，ABC 中，C=90，點 G 是線段 AC 上的一動點（點 G 不與 A、C 重合） ，以 AG 為直徑的O 交 AB 于點 D，直線 EF 垂直平分 BD，垂足為 F，EF 交 BC 于點 E，連結 DE.(1)求證：DE 是O 的切線；(2)若 cosA=,AB=，AG=，求 BE 的長；128 32 3 (3)若 cosA=,AB=，直接寫出線段 BE 的取值范圍.128 3GFEDOCBA 13、 （2013

14、瀘州)如圖，D 為O 上一點，點 C 在直徑 BA 的延長線上，且.CDACBD （1）求證：；2CDCA CB（2）求證：是O 的切線；CD（3）過點 B 作O 的切線交 CD 的延長線于點 E，若 BC=12,，求 BE 的長.2tan3CDA14、 （2012 上海）如圖，在半徑為 2 的扇形 AOB 中，AOB=90，點 C 是弧 AB 上的一個動點（不與點A，B 重合）ODBC，OEAC，垂足分別為 D，E（1）當 BC=1 時，求線段 OD 的長；（2）在DOE 中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；（3）設 BD=x，DOE 的面積為 y

15、，求 y 關于 x 的函數關系式，并寫出它的定義域E15、 （2014德陽）如圖，O 中，F(xiàn)G、AC 是直徑，AB 是弦，F(xiàn)GAB，垂足為點 P，過點 C 的直線交AB 的延長線于點 D，交 GF 的延長線于點 E，已知 AB=4，O 的半徑為（1）分別求出線段 AP、CB 的長；（2）如果 OE=5，求證：DE 是O 的切線；（3）如果 tanE= ，求 DE 的長圖 24圖 圖CEOBAD16、 （2014甘孜州）如圖，在ABC 中，ABC=90，以 AB 的中點 O 為圓心，OA 為半徑的圓交 AC 于點 D，E 是 BC 的中點，連接 DE，OE（1）判斷 DE 與O 的位置關系，并說

16、明理由；（2）求證：BC2=2CDOE；（3）若 cosBAD= ，BE=，求 OE 的長17、 （2012 湖北天門 8 分）如圖，D為O上一點，點C在直徑BA的延長線上，CDACBD （1）求證：CD是O的切線；（2）過點B作O的切線交CD的延長線于點E，若26tan3BCCDA，求BE的長EODBCA18、 （2012 北京中考）已知：如圖，AB 是O 的直徑，C 是O 上一點，于點 D，過點 C 作ODBCO 的切線，交 OD 的延長線于點 E，連結 BE（1）求證：BE 與O 相切；（2）連結 AD 并延長交 BE 于點 F，若，求 BF 的長9OB 2sin3ABCEDCBOA 1

17、9、(2012 遼寧朝陽)如圖已知 P 為O 外一點PA 為O 的切線，B 為O 上一點，且 PA=PB，C 為優(yōu)弧上任意一點（不與 A，B 重合） ，連接 OP，AB，AB 與 OP 相交于點 D，連接 AC，BCAB（1）求證：PB 為O 的切線；（2）若，O 的半徑為，求弦 AB 的長2tan BCA313OPDCBA20、 （2012 遼寧錦州）如圖：在ABC 中，AB=BC，以 AB 為直徑的O 交 AC 于點 D，過 D 做直線 DE垂直 BC 于 F，且交 BA 的延長線于點 E. （1）求證：直線 DE 是O 的切線； （2）若 cosBAC=，O 的半徑為 6，求線段 CD

18、的長. 31OBFCDEA21、(福建甫田 2012，本小題滿分 10 分)如圖，點 C 在以 AB 為直徑的半圓 O 上，延長 BC 到點 D，使得CDBC，過點 D 作 DEAB 于點 E，交 AC 于點 F，點 G 為 DF 的中點，連接 CG，OF，F(xiàn)B(1)(5 分)求證：CG 是O 的切線；OFEDCBA(2)(5 分)若AFB 的面積是DCG 的面積的 2 倍，求證：OFBCEFGDCBOA22、 （福建廈門 2012，本題滿分 9 分）已知：如圖 8，O 是ABC 的外接圓，AB 為O 的直徑，弦 CD 交 AB 于 E，BCDBAC . （1）求證：ACAD；（2）過點 C

19、作直線 CF，交 AB 的延長線于點 F，若BCF30,則結論“CF 一定是O 的切線”是否正確？若正確，請證明；若不正確，請舉反例.圖 8FBCEDOA23、 （肇慶 2012，本小題滿分 10 分）如圖 7，在ABC 中，AB=AC，以 AB 為直徑的O 交 AC 于點 E，交 BC 于點 D，連結 BE，AD 交于點 P. 求證：（1）D 是 BC 的中點；（2）BEC ADC；（3）AB CE=2DPAD24、如圖，已知 AB 為O 的直徑，過O 上的點 C 的切線交 AB 的延長線于點 E ，ADEC 于點 D 且交O 于點 F ，連接 BC ，CF ，AC （1）求證：BC=CF；

20、（2）若 AD=6 ，DE=8 ，求 BE 的長；（3）求證：AF + 2DF = AB ABCEDPO25、 （湖北十堰 2012）如圖 1，O 是ABC 的外接圓，AB 是直徑，ODAC，且CBD=BAC，OD交O 于點 E（1）求證：BD 是O 的切線；（2）若點 E 為線段 OD 的中點，證明：以 O，A，C，E 為頂點的四邊形是菱形；（3）作 CFAB 于點 F，連接 AD 交 CF 于點 G（如圖 2） ，求 FG ：FC 的值EDCBOA 26、 （2012 年湖北襄陽市）如圖，PB 為O 的切線，B 為切點，直線 PO 交于點 E，F(xiàn)，過點 B 作 PO的垂線 BA，垂足為點 D，交O 于點 A，延長 AO 與O 交于點 C，連接 BC，AF（1）求證：直線 PA為O 的切線；（2）試探究線段 EF，OD，OP 之間的等量關系，并加以證明；（3）若 BC=6，1tan2F，求 cosACB 的值和線段 PE