圓的切線證明綜合例題與練習

1、圓的切線證明我們學習了直線和圓的位置關(guān)系，就出現(xiàn)了新的一類習題，就是證明一直線是圓的切線.在我們所學的知識范圍內(nèi)，證明圓的切線常用的方法有：一、若直線l過O上某一點A，證明l是O的切線，只需連OA，證明OAl就行了，簡稱“連半徑，證垂直”，難點在于如何證明兩線垂直.例1 如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O交BC于D，交AC于E，B為切點的切線交OD延長線于F.求證：EF與O相切.證明：連結(jié)OE，AD. AB是O的直徑， ADBC. 又AB=BC， 3=4. BD=DE，1=2. 又OB=OE，OF=OF， BOFEOF（SAS）. OBF=OEF. BF與O相切， OBBF. OE

2、F=900. EF與O相切.說明：此題是通過證明三角形全等證明垂直的 例2 如圖，AD是BAC的平分線，P為BC延長線上一點，且PA=PD.求證：PA與O相切.證明一：作直徑AE，連結(jié)EC. AD是BAC的平分線， DAB=DAC. PA=PD， 2=1+DAC. 2=B+DAB， 1=B. 又B=E， 1=E AE是O的直徑， ACEC，E+EAC=900. 1+EAC=900. 即OAPA.PA與O相切.證明二：延長AD交O于E，連結(jié)OA，OE. AD是BAC的平分線， BE=CE， OEBC. E+BDE=900. OA=OE， E=1. PA=PD， PAD=PDA. 又PDA=BDE

3、, 1+PAD=900 即OAPA. PA與O相切說明：此題是通過證明兩角互余，證明垂直的，解題中要注意知識的綜合運用.例3 如圖，AB=AC，AB是O的直徑，O交BC于D，DMAC于M求證：DM與O相切.證明一：連結(jié)OD. AB=AC， B=C.OB=OD，D1=B. 1=C. ODAC. DMAC，DMOD.DM與O相切證明二：連結(jié)OD，AD.AB是O的直徑，ADBC.又AB=AC, 1=2. DMAC，2+4=900COA=OD，1=3.3+4=900.即ODDM.DM是O的切線說明：證明一是通過證平行來證明垂直的.證明二是通過證兩角互余證明垂直的，解題中注意充分利用已知及圖上已知.例4

4、 如圖，已知：AB是O的直徑，點C在O上，且CAB=300，BD=OB，D在AB的延長線上.求證：DC是O的切線證明：連結(jié)OC、BC. OA=OC， A=1=300. BOC=A+1=600.D 又OC=OB， OBC是等邊三角形. OB=BC. OB=BD， OB=BC=BD. OCCD. DC是O的切線.說明：此題是根據(jù)圓周角定理的推論3證明垂直的，此題解法頗多，但這種方法較好.例5 如圖，AB是O的直徑，CDAB，且OA2=ODOP.求證：PC是O的切線.證明：連結(jié)OC OA2=ODOP，OA=OC， OC2=ODOP， . 又1=1， OCPODC. OCP=ODC. CDAB， OC

5、P=900. PC是O的切線.說明：此題是通過證三角形相似證明垂直的例6 如圖，ABCD是正方形，G是BC延長線上一點，AG交BD于E，交CD于F.求證：CE與CFG的外接圓相切.分析：此題圖上沒有畫出CFG的外接圓，但CFG是直角三角形，圓心在斜邊FG的中點，為此我們?nèi)G的中點O，連結(jié)OC，證明CEOC即可得解.證明：取FG中點O，連結(jié)OC. ABCD是正方形， BCCD，CFG是Rt O是FG的中點， O是RtCFG的外心. OC=OG， 3=G， ADBC， G=4. AD=CD，DE=DE， ADE=CDE=450， ADECDE（SAS） 4=1，1=3. 2+3=900, 1+2

6、=900. 即CEOC. CE與CFG的外接圓相切二、若直線l與O沒有已知的公共點，又要證明l是O的切線，只需作OAl，A為垂足，證明OA是O的半徑就行了，簡稱：“作垂直；證半徑”例7 如圖，AB=AC，D為BC中點，D與AB切于E點.求證：AC與D相切.證明一：連結(jié)DE，作DFAC，F(xiàn)是垂足. AB是D的切線， DEAB. DFAC， DEB=DFC=900. AB=AC， B=C. 又BD=CD， BDECDF（AAS） DF=DE. F在D上. AC是D的切線證明二：連結(jié)DE，AD，作DFAC，F(xiàn)是垂足.AB與D相切，DEAB.AB=AC，BD=CD，1=2.DEAB，DFAC，DE=D

7、F.F在D上.AC與D相切.說明：證明一是通過證明三角形全等證明DF=DE的，證明二是利用角平分線的性質(zhì)證明DF=DE的，這類習題多數(shù)與角平分線有關(guān).例8 已知：如圖，AC，BD與O切于A、B，且ACBD，若COD=900.求證：CD是O的切線.證明一：連結(jié)OA，OB，作OECD，E為垂足. AC，BD與O相切， ACOA，BDOB. ACBD， 1+2+3+4=1800.O COD=900， 2+3=900，1+4=900. 4+5=900. 1=5. RtAOCRtBDO. . OA=OB， . 又CAO=COD=900， AOCODC， 1=2. 又OAAC，OECD, OE=OA. E

8、點在O上. CD是O的切線.證明二：連結(jié)OA，OB，作OECD于E，延長DO交CA延長線于F.AC，BD與O相切，ACOA，BDOB.ACBD，F(xiàn)=BDO.又OA=OB，AOFBOD（AAS）OF=OD.COD=900，CF=CD，1=2.又OAAC，OECD，OE=OA.E點在O上.CD是O的切線.證明三：連結(jié)AO并延長，作OECD于E，取CD中點F，連結(jié)OF.AC與O相切，ACAO.ACBD，AOBD.BD與O相切于B，AO的延長線必經(jīng)過點B.AB是O的直徑.ACBD，OA=OB，CF=DF，OFAC，1=COF.COD=900，CF=DF，.2=COF.1=2.OAAC，OECD，OE=

9、OA.E點在O上.CD是O的切線說明：證明一是利用相似三角形證明1=2，證明二是利用等腰三角形三線合一證明1=2.證明三是利用梯形的性質(zhì)證明1=2，這種方法必需先證明A、O、B三點共線.此題較難，需要同學們利用所學過的知識綜合求解.以上介紹的是證明圓的切線常用的兩種方法供同學們參考.以下是武漢市2007-2010中考題匯編：（2007中考）22(本題8分)如圖，等腰三角形ABC中，ACBC10，AB12。以BC為直徑作O交AB于點D，交AC于點G，DFAC，垂足為F，交CB的延長線于點E。(1)求證：直線EF是O的切線；(2)求CF:CE的值。ABDCEFGO(第22題圖)（2008中考）22（本題8分）如圖，AB是O的直徑，AC是弦，BAC的平分線AD交O于點D，DEAC，交AC的延長線于點E，OE交AD于點F求證：DE是O的切線；若，求的值。FEDCBAO（2009中考）22（本題滿分8