圓的幾何綜合題(27題)

1、.圓的幾何綜合題圓的幾何綜合題一、歷年圓的幾何綜合題回顧一、歷年圓的幾何綜合題回顧1、 一般分成三個(gè)問(wèn)題，三個(gè)問(wèn)題由易到難，由一般到特殊或由特殊到一般層層遞進(jìn)的方式設(shè)置問(wèn)題；2、 一般三個(gè)問(wèn)題涉及到圓的切線的證明，線段相等、角相等、線段與角的計(jì)算、圖形面積的計(jì)算、幾何變量之間的函數(shù)關(guān)系探究、線段關(guān)系式的證明、角的關(guān)系式的證明等；3、常見(jiàn)的知識(shí)點(diǎn)有：垂徑定理及其推論、圓心角定理及其推論、圓周角定理及其推論、切線的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定、解直角三角形、全等三角形與相似三角形的性質(zhì)與判定、銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值等；4、 常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法有：方程思想、函數(shù)思想、由特殊到一般

2、或由一般到特殊的探究思想等；二、命題規(guī)律：二、命題規(guī)律：1 1、圓中的如下定理出現(xiàn)的頻率很高：垂徑定理及其推論，圓心角定理及其推論，圓周角定理及其推論，切線的性質(zhì)及其判定定理；2 2、常與等腰三角形(兩半徑加弦)，直角三角形（直徑、半圓） ，相似三角形，全等三角形和銳角三角函數(shù)的概念結(jié)合考查；3、相似三角形基本圖形的分解是關(guān)健，如：正 A 字形（A1 形） 、斜 A 字形（A2 形） 、正八字形（X1 形） 、斜八字形（X2 形或蝴蝶形） 、射影定理圖、共角共邊相似（A3 形）圖等出現(xiàn)的頻率很高.4 4、結(jié)合重要的幾何定理（及其逆定理）的基本圖形命題，如弦切角定理的逆定理，切線長(zhǎng)定理的逆定理，

3、相交弦定理，切割線定理，割線定理等（具體見(jiàn)后面的例題）三、常見(jiàn)的幾何模板及輔助線回顧三、常見(jiàn)的幾何模板及輔助線回顧1、三角形：三角形：圖中若有角平分線，可向兩邊作垂線；也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)；角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添；角平分線加垂線，三線合一試試看；線段垂直平分線，常向兩端把線連；要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)；三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線；三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線. 2 2、四邊形：、四邊形：平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)；梯形里面作高線，平移一腰試試看；平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見(jiàn)；證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣；等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵；直接證明有困難，等量

4、代換少麻煩；斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片.3 3、圓：、圓：半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站；圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連；切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便；要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨；是直徑，成半圓，想成直角徑連弦；弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全；圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連；弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完；如果遇到相交圓，不要忘作公共弦；內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線；若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面；要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難.四、四、2727 題解題程序題解題程序1 1、畫：、畫：生長(zhǎng)性畫圖，邊畫圖邊解決三個(gè)小問(wèn)；2 2、標(biāo)：、標(biāo)：將題中的已知條件標(biāo)在圖中；3 3、標(biāo)：、標(biāo)：將

5、未知問(wèn)題、猜想的結(jié)論標(biāo)在圖中；4 4、聯(lián)：、聯(lián)：聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)、聯(lián)想常見(jiàn)的幾何模塊、不同知識(shí)進(jìn)行聯(lián)結(jié)，聯(lián)系前面證明的結(jié)論；5 5、寫：、寫：寫出解題過(guò)程.五、常見(jiàn)定理及基本圖形分析五、常見(jiàn)定理及基本圖形分析1、垂直于弦的直徑，徑連弦得射影定理；如 2007 成都、2010 成都、2011 成都.2、角平分線加“相似三角形的斜八字形”會(huì)出現(xiàn)“共邊共角相似”：如 2009 成都、2010 成都.3、以切線長(zhǎng)定理的基本圖形，關(guān)于切線的性質(zhì)與判定的證明，出現(xiàn)兩公共底邊的兩等腰三角形：如2007 成都、2012 遼寧朝陽(yáng)、2012 北京.4、直徑與切線（性質(zhì)或判定）相結(jié)合命題：如 2007 成都、2012

6、成都、2012 湖北天門、2012 遼寧朝陽(yáng)、2012 北京、2012 福建甫田、2012 遼寧錦州. （1）圓中常見(jiàn)的二級(jí)圖 GFEODCBA 垂徑定理圖 垂徑定理與射影定理 點(diǎn) C 為弧 AF 中點(diǎn) AB 垂 相交弦定理圖 直于 CD，有 AE=CEEDCBA 點(diǎn) C 為弧 BD 中點(diǎn)，有 切割線定理圖 割線定理圖 切線長(zhǎng)定理圖 BECABC (2） 部分中考題圖形選 2007 成都 2008 成都 2009 成都 2010 成都 2011 成都 2012 成都. 2012 湖北天門 2012 遼寧朝陽(yáng) 2012 北京中考 2012 福建甫田 2012 遼寧錦州 六、中考真題分析六、中考真

7、題分析1、 （成都中考 2007，10 分）如圖，是以為直徑的上一點(diǎn)，于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作OABCOAADBCDB的切線，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)CAEG，ADCGBEF與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)AFCBP（1）求證：；BFEF（2）求證：是O的切線；PA（3）若，且O的半徑長(zhǎng)為，求和FGBF3 2BDFG的長(zhǎng)度2、（成都中考 2008，共 10 分）如圖，已知O的半徑為 2，以O(shè)的弦 AB 為直徑作M，點(diǎn) C 是O優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) A，點(diǎn) B 重合）.連結(jié) AC，BC，分別與M 相交于AAB點(diǎn) D，點(diǎn) E，連結(jié) DE.若 AB=2.3(1)求C 的度數(shù)；(2)求 DE

8、的長(zhǎng)；(3)如果記 tanABC=y，=x（0 x3） ，那么在點(diǎn) C 的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試用含ADDCx 的代數(shù)式表示 y. 3、 （成都中考 2009，共 10 分） 如圖，RtABC 內(nèi)接于O，AC=BC，BAC 的平分線 AD 與0 交于點(diǎn) D，與 BC 交于點(diǎn) E，延長(zhǎng) BD，與 AC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F，連結(jié) CD，G 是 CD 的中點(diǎn)，連結(jié) 0G(1)判斷 0G 與 CD 的位置關(guān)系，寫出你的結(jié)論并證明；(2)求證：AE=BF；（3）若，求O 的面積.3(22)OG DE4、 （成都中考 2010，共 10 分） 已知：如圖，ABC內(nèi)接于O，AB為直徑，弦CEAB于F，C是AAD的中

9、點(diǎn)，連結(jié)BD并延長(zhǎng)交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連結(jié)AD，分別交CE，BC于點(diǎn)P，Q（1）求證：是的外心；PACQ（2）若,求的長(zhǎng)；3tan,84ABCCFCQ（3）求證：2()FPPQFP FGA. 5、 （成都中考 2011，共 10 分）已知：如圖，以矩形 ABCD 的對(duì)角線 AC 的中點(diǎn)為圓心，以 OA 長(zhǎng)為半徑作O，O 經(jīng)過(guò) B，D 兩點(diǎn)過(guò)點(diǎn) B 作 BKAC，垂足為 K過(guò)點(diǎn) D 作 DHKB，DH 分別與 AC，AB，O 及 CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) E，F(xiàn)，G，H（1）求證：AE=CK；（2）如果 AB=a，AD=為大于零的常數(shù)） ，求 BK 的長(zhǎng)；aa(31（3）若 F 是 EG 的中點(diǎn)，

10、且 DE=6，求O 的半徑.已做，沒(méi)問(wèn)題已做，沒(méi)問(wèn)題6、 （成都中考 2012，共 10 分）如圖，AB 是O 的直徑，弦 CDAB 于 H，過(guò) CD 延長(zhǎng)線上一點(diǎn) E 作O 的切線交 AB 的延長(zhǎng)線于 F切點(diǎn)為 G，連接 AG 交 CD 于 K （1）求證：KE=GE； （2）若2KG=KDGE，試判斷 AC 與 EF 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由； （3） 在（2）的條件下，若 sinE=35，AK=2 3，求 FG 的長(zhǎng)已做，沒(méi)問(wèn)題已做，沒(méi)問(wèn)題7、 （2013 年成都）如圖，的半徑，四邊形內(nèi)接圓，于點(diǎn)，為O25r ABCDOACBDHP延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且.CAPDAABD （1）試判斷與的位置

11、關(guān)系，并說(shuō)明理由：PDO（2）若，求的長(zhǎng)；3tan4ADB4 333PAAHBD（3）在（2）的條件下，求四邊形的面積.此問(wèn)有問(wèn)題ABCD.8、 （2014 年成都）如圖，在的內(nèi)接ABC 中，ACB=90，AC=2BC，過(guò) C 作 AB 的垂線O交O 于另一點(diǎn) D，垂足為 E.設(shè) P 是上異于 A,C 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線 AP 交 于點(diǎn) F，連接l AClPC 與 PD，PD 交 AB 于點(diǎn) G.（1）求證：PACPDF；（2）若 AB=5，=，求 PD 的長(zhǎng)； AP BP（3）在點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)，xBGAGyAFD tan求與之間的函數(shù)關(guān)系式.（不要求寫出的取值范圍）yxx9、 （201

12、3 年北京)如圖，AB 是O 的直徑，PA，PC 分別與O 相切于點(diǎn) A，C，PC 交 AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，DEPO 交 PO 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E（1）求證：EPD=EDO（2）若 PC=6，tanPDA=43，求 OE 的長(zhǎng)*#網(wǎng)10、 （2014北京）如圖，AB 是O 的直徑，C 是的中點(diǎn)，O 的切線 BD 交 AC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D，E 是 OB的中點(diǎn)，CE 的延長(zhǎng)線交切線 BD 于點(diǎn) F，AF 交O 于點(diǎn) H，連接 BH（1）求證：AC=CD；（2）若 OB=2，求 BH 的長(zhǎng).11、 （2014南昌）如圖 1，AB 是O 的直徑，點(diǎn) C 在 AB 的延長(zhǎng)線上，AB=4，BC=2，P

13、是O 上半部分的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 OP，CP（1）求OPC 的最大面積；（2）求OCP 的最大度數(shù)；（3）如圖 2，延長(zhǎng) PO 交O 于點(diǎn) D，連接 DB，當(dāng) CP=DB 時(shí)，求證：CP 是O 的切線12、 （2014 遼寧盤錦）如圖，ABC 中，C=90，點(diǎn) G 是線段 AC 上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) G 不與 A、C 重合） ，以 AG 為直徑的O 交 AB 于點(diǎn) D，直線 EF 垂直平分 BD，垂足為 F，EF 交 BC 于點(diǎn) E，連結(jié) DE.(1)求證：DE 是O 的切線；(2)若 cosA=,AB=，AG=，求 BE 的長(zhǎng)；128 32 3 (3)若 cosA=,AB=，直接寫出線段 BE 的取

14、值范圍.128 3GFEDOCBA 13、 （2013 瀘州)如圖，D 為O 上一點(diǎn)，點(diǎn) C 在直徑 BA 的延長(zhǎng)線上，且.CDACBD （1）求證：；2CDCA CB（2）求證：是O 的切線；CD（3）過(guò)點(diǎn) B 作O 的切線交 CD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E，若 BC=12,，求 BE 的長(zhǎng).2tan3CDA圖 24圖 圖CEOBAD.14、 （2012 上海）如圖，在半徑為 2 的扇形 AOB 中，AOB=90，點(diǎn) C 是弧 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) A，B重合）ODBC，OEAC，垂足分別為 D，E（1）當(dāng) BC=1 時(shí)，求線段 OD 的長(zhǎng)；（2）在DOE 中是否存在長(zhǎng)度保持不變的邊？如果存在

15、，請(qǐng)指出并求其長(zhǎng)度，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）設(shè) BD=x，DOE 的面積為 y，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域問(wèn)題問(wèn)題E15、 （2014德陽(yáng)）如圖，O 中，F(xiàn)G、AC 是直徑，AB 是弦，F(xiàn)GAB，垂足為點(diǎn) P，過(guò)點(diǎn) C 的直線交 AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D，交 GF 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E，已知 AB=4，O 的半徑為（1）分別求出線段 AP、CB 的長(zhǎng)；（2）如果 OE=5，求證：DE 是O 的切線；（3）如果 tanE= ，求 DE 的長(zhǎng)16、 （2014甘孜州）如圖，在ABC 中，ABC=90，以 AB 的中點(diǎn) O 為圓心，OA 為半徑的圓交 AC 于點(diǎn)D，E 是 BC

16、 的中點(diǎn)，連接 DE，OE（1）判斷 DE 與O 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）求證：BC2=2CDOE；（3）若 cosBAD= ，BE=，求 OE 的長(zhǎng).17、 （2012 湖北天門 8 分）如圖，D為O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上，CDACBD （1）求證：CD是O的切線；（2）過(guò)點(diǎn)B作O的切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若26tan3BCCDA，求BE的長(zhǎng)EODBCA18、 （2012 北京中考）已知：如圖，AB是O的直徑，C是O上一點(diǎn)，于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作OODBC的切線，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)BE（1）求證：BE與O相切；（2）連結(jié)AD并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn) F，若，求BF的長(zhǎng)9OB 2s

17、in3ABCEDCBOA 19、(2012 遼寧朝陽(yáng))如圖已知 P 為O 外一點(diǎn)PA 為O 的切線，B 為O 上一點(diǎn)，且 PA=PB，C 為優(yōu)弧上任意一點(diǎn)（不與 A，B 重合） ，連接 OP，AB，AB 與 OP 相交于點(diǎn) D，連接 AC，BCAAB（1）求證：PB 為O 的切線；（2）若，O 的半徑為，求弦 AB 的長(zhǎng)2tan BCA313.OPDCBA20、 （2012 遼寧錦州）如圖：在ABC 中，AB=BC，以 AB 為直徑的O 交 AC 于點(diǎn) D，過(guò) D 做直線 DE 垂直BC 于 F，且交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E. （1）求證：直線 DE 是O 的切線； （2）若 cosBAC=，

18、O 的半徑為 6，求線段 CD 的長(zhǎng). 31OBFCDEA21、(福建甫田 2012，本小題滿分 10 分)如圖，點(diǎn) C 在以 AB 為直徑的半圓 O 上，延長(zhǎng) BC 到點(diǎn) D，使得CDBC，過(guò)點(diǎn) D 作 DEAB 于點(diǎn) E，交 AC 于點(diǎn) F，點(diǎn) G 為 DF 的中點(diǎn)，連接 CG，OF，F(xiàn)B(1)(5 分)求證：CG 是O 的切線；(2)(5 分)若AFB 的面積是DCG 的面積的 2 倍，求證：OFBCEFGDCBOA22、 （福建廈門 2012，本題滿分 9 分）已知：如圖 8，O是ABC的外接圓，AB為O的直徑，弦CD交AB于E，BCDBAC . （1）求證：ACAD；（2）過(guò)點(diǎn)C作直

19、線CF，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若BCF30,則結(jié)論“CF一定是O的切線”是.OFEDCBA否正確？若正確，請(qǐng)證明；若不正確，請(qǐng)舉反例.圖 8FBCEDOA23、 （肇慶 2012，本小題滿分 10 分）如圖 7，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，連結(jié)BE，AD交于點(diǎn)P. 求證：（1）D是BC的中點(diǎn)；（2）BEC ADC；（3）AB CE=2DPAD24、如圖，已知 AB 為O 的直徑，過(guò)O 上的點(diǎn) C 的切線交 AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E ，ADEC 于點(diǎn) D 且交O 于點(diǎn) F ，連接 BC ，CF ，AC （1）求證：BC=CF；（2）若 AD=6 ，DE=8

20、，求 BE 的長(zhǎng)；（3）求證：AF + 2DF = AB 25、 （湖北十堰 2012）如圖 1，O 是ABC 的外接圓，AB 是直徑，ODAC，且CBD=BAC，OD 交O 于點(diǎn) E（1）求證：BD 是O 的切線；（2）若點(diǎn) E 為線段 OD 的中點(diǎn)，證明：以 O，A，C，E 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；（3）作 CFAB 于點(diǎn) F，連接 AD 交 CF 于點(diǎn) G（如圖 2） ，求 FG ：FC 的值A(chǔ)BCEDPO.EDCBOA 26、 （2012 年湖北襄陽(yáng)市）如圖，PB 為O 的切線，B 為切點(diǎn)，直線 PO 交于點(diǎn) E，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn) B 作 PO 的垂線 BA，垂足為點(diǎn) D，交O 于點(diǎn) A，延長(zhǎng) AO 與O 交于點(diǎn) C，連接 BC，AF（1）求證：直線 PA為O 的切線；（2）試探究線段 EF，OD，OP 之間的等量關(guān)系，并加以證明；（3）若 BC=6，1tan2F，求 cosACB