向量的概念與幾何運(yùn)算

1、向量的概念與幾何運(yùn)算知識(shí)梳理1 向量的有關(guān)概念及表示法2名稱定義表示法向量既有又有的量.向量的大小 叫做向量的或量向模零向量長(zhǎng)度為的向量，其 方向是。記作0單位向量長(zhǎng)度為的向量叫單 位向量。平行 向量方向或的向量叫平行的 向量叫平行向量。a與b共線 記作0與任意 向量共線 向量的向量又叫做 共線向量。相等 向量且的向量記作相反 向量且的向量記作3. 共線定理：向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入使得.4. 平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面 內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任 一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 1、2，使得. 設(shè) ei、e2 是一組基底， a = x

2、i ei - yi e2 ,b = X2L y2e2，則a與b共線的充要條件是.向量的加法與減法向量 運(yùn)算定義法則（幾何意義）運(yùn)算律加法求兩 個(gè)向 量和 的運(yùn) 算三角形法則交換律 a平行四邊形法則結(jié)合律a減法若b+x=a，則向量 x叫做a與b的 差，記作a- b三角形法則bb數(shù)乘求實(shí)數(shù) 九與向 量a的積 的運(yùn)算。 1 a| =當(dāng)&>0時(shí)，X a 與 a ；當(dāng)九v 0時(shí)， k a 與 a ;當(dāng)扎=0，或 a =0 時(shí)，F(xiàn)-丸a .?u（卩 a ）=. （九+ a ） a .扎（a + b ）舉例解析 例1 在平行四邊形 ABCD中，E是CD的中點(diǎn),AB =a，AD b，貝U BE

3、等于例2 已知 ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn).設(shè) AB = a， AC = b，求 BE .'fc解：BE = AE - AB = -1（ AB + AC ） - AB =-空 a + 1 b 444變式訓(xùn)練1.如圖所示，D是厶ABC邊AB上的中點(diǎn)，則向量 CD等于（）A. BC + 1 BA B.- BC -丄 BA2 2C. BC - !bA D. BC + 1BA2 2例3.已知向量a =2e)_3e2 , b =ei亠2良,c =6ei -2e2，其中3、e2不共線,求證：a b與c共線變式訓(xùn)練2：已知平行四邊形 ABCD的對(duì)角線相交于 0點(diǎn)，點(diǎn)P為平面上任意一點(diǎn),

4、求證：PA PB PC PD =4P0證明 PA + PC = 2 P0 , PB + PD = 2 PO = PA + PB + PC + PD = 4 PO例4.已知ABCD是一個(gè)梯形，AB CD是梯形的兩底邊，且AB= 2CD M N分別是dc和ab的中點(diǎn)，若Ab = a，AD = b，試用a、 b表示BC和MNBAN =d，試用c，d表示AB和AD解： 連 NC,貝U NC =AD =b MN =MC CN =丄 AB CN =丄召 _b ； BC =NC _NB =b _丄a442變式訓(xùn)練3：如圖所示，OADB是以向量0A = a，OB = b為鄰邊的平行四邊形，又BM = 1 BC

5、，CN =丄CD，3 3試用 a、b 表示 OlM，ON， MN . 解：OM 廠 9 + 5b，ON 二 |a + |b，MN = 1 a - 1 b2 6例5.在口ABCD中 M N分別為DC BC的中點(diǎn)，已知 AM =C，基本練習(xí)題:AB =a，貝U CD =o1. OA -OB =， 2. 4(3a 2b) -2(b -2a) =，3.在 ABCD中,2. 已知 D是厶ABC的邊AB的中點(diǎn)，則向量 CD =()1111 A: BC BAB : -BC BA C : - BC BA D : BC BA2 2 2 23. 已知 D> ABC的邊 AB上的一點(diǎn)，且 AD =2DB , CD =CA + CB4. 在 ABC 中，AB BC CA =。5.在 ABC中,AB AC=AB AC，則在 abc的形狀是。6.已知兩個(gè)非零向量a ,b不共線，如果AB 二a b , CD =3(a -b), BC =2a 8b ,求證：A、B、D三點(diǎn)共線小結(jié)歸納1 認(rèn)識(shí)向量的幾何特性對(duì)于向量問(wèn)題一定要結(jié)合圖形進(jìn)行研究向量方法可以解決幾何中的證明.2 .注意O與0的區(qū)別.零向量與任一向量平行.A B、3注意平行向量與平行線段的區(qū)別用向量方法證明AB/CD需證AB II CD，且