審題與解法探尋的策略

1、 關(guān)節(jié)八 審題與解法探尋的策略任何一個解題過程都可分為兩大環(huán)節(jié)，第一個環(huán)節(jié)是“解法的思考與形成”第二個環(huán)節(jié)是“解法的實施”。越是思維含量大與能力要求高的題目，越重在第一個環(huán)節(jié)。審題與解法的探尋是構(gòu)成第一個環(huán)節(jié)的兩個步驟或說兩個側(cè)面，它們各有側(cè)重但又密不可分，我們只是為了更好地進(jìn)行分析和說明問題，才把二者分開來論述。一、 審題的策略1、研究背景 絕大多數(shù)的數(shù)學(xué)題目，在已給的條件中都蘊(yùn)含了結(jié)論的成立或不成立，即使是探究型的題目，要探究出的結(jié)論也必以條件為發(fā)生的根據(jù)。而題目所給的背景，就是最重要的條件，所以研究“背景”是獲得解法的前提和啟動器。例1 如圖，已知。ABC（1）請你在BC邊上分別取兩點D

2、，E，（BC的中點除外）連結(jié)AD，AE，寫出使此圖中只存在兩對面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形。ABCDE（2）請你根據(jù)使（1）成立的相應(yīng)條件，證明【觀察與思考】研究背景對于（1），通過畫草圖，如圖（1），其中除了外，還有五個三角形，它們由頂點A引的高都相等，易知只有在“”的條件下，才能確保圖中“只存在兩對面積相等的三角形”。對于（2），要證明，由“要證線段的不等應(yīng)借于三角形中三邊的關(guān)系”這一基本認(rèn)識，結(jié)合（1）中的，立刻想到將平移至（1），再進(jìn)行推導(dǎo)。解：（1）略；（2）證明：如圖（1），分別過點D，B作CA，EA的平行線，兩線交于F點，DF與AB交于G點。ABCDEFG

3、在和中，又有，在中，在中，。（1）即【說明】對于（2）的如上的證法，是以對（1）的基礎(chǔ)上背景圖形（1）特點的深入認(rèn)識和對“用三角形三邊的關(guān)系證線段的不等關(guān)系”這一基本模式的深刻掌握，才自然而順利地形成的。例2 一手機(jī)經(jīng)銷商計劃購進(jìn)某品牌的A型、B型、C型三款手機(jī)共60部，每款手機(jī)至少要購進(jìn)8部，且恰好用完預(yù)計的購機(jī)款61000元，設(shè)購進(jìn)A型手機(jī)部，B型手機(jī)部，三款手機(jī)的進(jìn)價和預(yù)售價如下表：手機(jī)型號A型B型C型進(jìn)價（單位：元/部）90012001100預(yù)售價（單位：元/部）120016001300（1）用含，的式子表示購進(jìn)C型手機(jī)的部數(shù)；（2）求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）假設(shè)所購進(jìn)手機(jī)全部售出

4、，綜合考慮各種因素，該手機(jī)經(jīng)銷商在購進(jìn)這批手機(jī)過程中需另外支出各種費用共1500元。求出預(yù)估利潤（元）與（部）的函數(shù)關(guān)系式；（注：預(yù)估利潤=預(yù)售總額購機(jī)款各種費用）。求出預(yù)估利潤的最大值，并寫出此時購進(jìn)三款手機(jī)各多少部？【觀察與思考】梳理本題的數(shù)量關(guān)系背景：背景一：三款手機(jī)的進(jìn)價和預(yù)售價（如題中的表所示）背景二：購進(jìn)A型、B型、C型三款手機(jī)共60部，即；背景三：購進(jìn)60部手機(jī)恰好用61000元，即；對以上三方面的背景進(jìn)一步研究，可知：、對于問題（1），由背景二即可明確解答。、對于問題（2），顯然單由背景二不能解決，若將背景二和背景三相結(jié)合，則兩個交量（和），在兩個關(guān)系中（背景二和背景三所確定的

5、兩個等量關(guān)系），便相依存地聯(lián)系在了一起，這正是我們在函數(shù)部分指出的建立函數(shù)關(guān)系的第三條途徑，通過等式導(dǎo)出函數(shù)關(guān)系式。、對于問題（3），有了問題（1）、（2）的解決，再根據(jù)背景三，可由“直接列式法”寫出與的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)而解決最大利潤問題。解：（1）；（2）由題意和（1）得：，從中可導(dǎo)出：（3）由題意，得，整理得購進(jìn)C型手機(jī)部數(shù)為：，根據(jù)題意列不等式組得，解得的范圍為，且為整數(shù)，是的一次函數(shù)，隨的增大而增大。當(dāng)取最大值34時，P有最大值，最大值為17500元。此時購進(jìn)A型手機(jī)34部，B型手機(jī)18部，C型手機(jī)8部?！菊f明】由本題可以看出，只有全面而深入地研究背景，把握每一背景的作用和互相結(jié)合的意義，

6、才有助于正確而快速地獲得問題的解決方法。 從背景的本質(zhì)特征，背景的構(gòu)成層次與相互關(guān)系諸方面將其研究透徹，是審題的根本任務(wù)，也是解法獲得的基礎(chǔ)。2、研究“過程 有的題目的條件或背景的一部分表現(xiàn)為一種活動過程，而在題目的呈現(xiàn)中，這樣的“過程”只是被描述出，或部分呈現(xiàn)出，其全部的意義和性質(zhì)，大都隱含在“過程”之中，在此情況下，深入而全面地研究“過程”，便是解法獲得的關(guān)鍵。AB例3 如圖，邊長為1的等邊三角形位于坐標(biāo)系中的的位置，AB在軸上，點A與原點O重合，現(xiàn)將在軸上向右滑動地連續(xù)翻轉(zhuǎn)，第次翻轉(zhuǎn)后變換到的位置記為，則的坐標(biāo)為 。【觀察與思考】 對于的連續(xù)翻轉(zhuǎn)過程做如下的研究：研究：在圖上畫出更多的后

7、續(xù)過程，如圖（1）研究：找出點的坐標(biāo)在翻轉(zhuǎn)過程中的變化規(guī)律，由（1）可以看出：（）當(dāng)為整數(shù)，下同時，的坐標(biāo)為）（）當(dāng)或2）時，的坐標(biāo)為；而的坐標(biāo)為即（）。AB解：應(yīng)填（）（1）【說明】題目所給的圖示，不足以形成對規(guī)律的觀察和歸納，因此從以上兩個角度深化對“過程”的研究，促成了規(guī)律的得到和解法的形成。例4 如圖（1）和（2），在等腰梯形ABCD中，AB/DC，。等腰直角三角形的斜邊A點與N點重合，MN和AB在一條直線上，設(shè)等腰梯形ABCD不動， 等腰直角三角形沿AB所在直線以的速度向右移動，直到點N與點B重合為止。ABCD（N）PMABCDPM（N）設(shè)當(dāng)?shù)妊苯侨切我苿訒r，等腰直角三角形與等腰

8、梯形ABCD重疊部分的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式。（1）（2）【觀察與思考】第一，研究背景圖形：、等腰直角三角形的數(shù)量與位置（略）、等腰梯形ABCD的形狀、數(shù)量和位置（略）、兩個圖形的初始位置關(guān)系（略）第二，研究運動的全過程：PM（N）ABCD、從圖形上感知運動的全過程：PMNABCDPMNABCDNBCPMADB（1）（2）（3）N（B）CPM（A）D（4）（5）、在觀察的基礎(chǔ)上總結(jié)規(guī)律： 可以看到重疊部分形狀的變化，在和相交時均為等腰直角三角形；在和相交時，均為等腰梯形，因此，重疊部分面積的計算應(yīng)分相應(yīng)的兩段進(jìn)行，而兩段分界的時間就是過點D的時刻。、確定出分界的時刻：在圖（6）中，過D作

9、，交于點，作交MB于點。易知：當(dāng)點移動到時，ABCDPM（N）移動到D，即和DC交于點D，而，可知過點D的時刻為。（6）這樣，在時，重疊部分的圖形為等腰直角三角形，時，重疊部分的圖形為等腰梯形，分別計算面積即可。簡解：當(dāng)（如 圖（2）當(dāng)時，（見圖（4），為平行四邊形，為等腰梯形ABCD的高），易知，當(dāng)當(dāng)【說明】當(dāng)整個過程出現(xiàn)不同的制式或不同的對應(yīng)規(guī)則時，必須分段處理，但為什么分段和如何分段正是建立在對“過程”深入而全面研究的基礎(chǔ)上的。 當(dāng)一個題目和“過程”相關(guān)時，必須全面深入地去研究“過程”這是審題活動不可或缺的一部分。二、關(guān)于解法的探尋 解法的探尋是解題活動的中心，它是相關(guān)知識與思考策略正確

10、使用及結(jié)合的產(chǎn)物，其表現(xiàn)形式豐富多彩，且常因人而異，我們只能擇其要者和常用的方法提供給同學(xué)們參考。1、向基本模型和基本模式化歸 我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，集中體現(xiàn)為一些基本模型，如“方程模型”、“函數(shù)模型”、“直角三角形模型”、“相似三角形模型”等，以及一些基本模式，如數(shù)、式的算法和公式 ，基本圖形的基本性質(zhì)和圖形關(guān)系等。幾乎所有的數(shù)學(xué)問題都要化歸到這些基本模型或基本模式才能解決。因此，“將問題化歸到基本模型或基本模式”就是最高超的數(shù)學(xué)能力，當(dāng)然也是解法探尋最為重要的思考策略。例1 在某次數(shù)字變換游戲中，我們把整數(shù)稱為“舊數(shù)”，游戲的變換規(guī)則是：將舊數(shù)先平方，再除以100，所得到的數(shù)稱為“新數(shù)”。（

11、1）請把舊數(shù)80和26按照上述規(guī)則變換為新數(shù)；（2）經(jīng)過上述變換后，我們發(fā)現(xiàn)許多舊數(shù)變小，有有斷言：“按照上述變換規(guī)則，所有的新數(shù)都不等于它的舊數(shù)”。你認(rèn)為這種說法對嗎？若不對，請求出所有不符合這一說法的舊數(shù)；（3）請求出按照上述規(guī)則變換后減小了最多的舊數(shù)（要寫出解答過程）【觀察與思考】對于 （1），按規(guī)定計算即可；對于（2），應(yīng)化歸到方程來解決；對于（3），為了建立舊數(shù)與所變新數(shù)之間的差和舊數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，當(dāng)然要引入“函數(shù)”。解：（2）不對，設(shè)這個數(shù)為，滿足即。解得。不符合這一說法的舊數(shù)有0和100。（3）設(shè)舊數(shù)為，變換后減少的最為，則時，有最大值25，即變換后減少最多的舊數(shù)是50。【說明

12、】在這里，正是由于正確而及時地將問題化歸到方程和函數(shù)，才使問題獲得規(guī)范而迅速的解決。ABCD例2 如圖，在矩形ABCD中，線段，在EF上取一點M，分別以EM，MF為一邊作矩形EMNH，矩形MFGN，使矩形MFGN矩形。令當(dāng)為何值時矩形EMNH的面積S有最大值？最大值是多少？ 【觀察與思考】在我們搞清楚題目背景和要解決的問題之后 ，自然地就會形成EFMNGH如下的幾點認(rèn)識：第一， 在本題，矩形EMNH的邊EM被另一邊MN所決定，因而其面積也就被邊MN所決定，也就是說，矩形EMNH的面積是其一邊“MN的函數(shù)”，本題就是研究這個函數(shù)的“最值”問題的，因此，必須先把這個函數(shù)求出來。第二，由矩形MFGN

13、矩形，可知，這樣，矩形EMNH中應(yīng)有：，因此，矩形EMNH的面積S關(guān)于MN的函數(shù)表達(dá)式容易建立起來。解決的方法就這樣確立了出來。解：設(shè)MN的長為，則由矩形MFGN矩形，得，即。當(dāng)MN的長為時，矩形EMNH的最大值為?！菊f明】認(rèn)識到這是函數(shù)，然后建立函數(shù)，再利用函數(shù)性質(zhì)（這不就是函數(shù)“三個支點”嗎？）正是恰當(dāng)?shù)剡\用了“函數(shù)模型”使本題解答自然流暢，簡易明快。ADCBMN例3 如圖，在梯形中，分別是的中點，若與互余，則與的關(guān)系是（ ）A、 B、C、 D、ADCBMNFE 【觀察與思考】充分審題后知道應(yīng)把互補(bǔ)的兩角集中于一個三角形中，為此將AB平移至DE處，如圖（1），則易知中，MN平移至DF處，則

14、，（1）即F為斜邊CE的中點，當(dāng)然有。也即有。解：應(yīng)選C?！菊f明】在這里，根據(jù)題目背景，認(rèn)識到并實施化歸到“直角三角形”是關(guān)鍵。ADBCE例4 現(xiàn)有一張矩形紙片如圖（1），其中，點E是BC的中點，實施操作：將紙片沿直線AE折疊，使點B落在梯形內(nèi)，記為點。（1）請用尺規(guī)，在圖中作出（保留作圖痕跡）（2）試求兩點之間的距離。（1）【觀察與思考】點易作出，要求線段長度，立刻想到尋找相關(guān)的直角三角形。解：（1）可以從關(guān)于對稱來作，也可以從來作，作法略，如圖（1）ADBCECF（2）。在中，。（1）兩點之間的距離為?！菊f明】為求，始終把尋找相關(guān)的直角三角形作為思考的指導(dǎo)。例5 如圖，在中，經(jīng)過點C且與邊

15、AB相切的動圓與CA，CB分別相交于點P，Q，則線段PQ的長度的最小值是（ ）ABCDABCQPA、 B、 C、 D、（1）（1）【觀察與思考】過直角頂點C且與斜邊AB相切的圓有無數(shù)多個，最小的就是以斜邊上的高為直徑的圓，即PQ的最小值應(yīng)等于斜邊上的高，因此，本題歸于圖（1）這樣的基本模式，即求斜邊上的高CD的長。解：應(yīng)選：B ?！菊f明】將圖（1）和原問題化歸到圖（1）這樣的基本模式，轉(zhuǎn)化為求CD的長，就是本題獲解的最佳通道。由以上幾例可以看出：、化歸到基本模型或基本模式，是解法探究的第一指導(dǎo)思想，是最重要的思考策略，是最大的“巧”！、化歸意識的強(qiáng)烈，化歸方法的有效落實，是以對“方程”、“函數(shù)

16、”、“直角三角形”、“相似三角形”等這些模型，和一系列的模式的意義和作用，有深刻認(rèn)識把握為基礎(chǔ)的，達(dá)到“似非方程，卻恰當(dāng)?shù)剡\用方程”，“似非函數(shù)，卻恰當(dāng)?shù)剡\用函數(shù)”，“似無直角三角形，卻恰當(dāng)?shù)卦斐霾⒂弥苯侨切巍?，表面上不是某個模式，卻恰當(dāng)?shù)貧w入并運用這一模式，達(dá)到這樣的程度，就標(biāo)志著對知識的掌握上升到了本質(zhì)和原理的水平。這正是每一個學(xué)習(xí)者應(yīng)當(dāng)追求的目標(biāo)。2、把“特殊與一般的關(guān)系”用活，用足特殊與一般的關(guān)系是人們認(rèn)識事物、解決問題最常用的思維方法。在我們探究數(shù)學(xué)問題的解法時，它同樣發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。（1）注意從背景中的“特殊點”切入 我們知道，在平行四邊形的背景下若附加“對角線互相垂直”，

17、它就成了菱形，若附加更特殊的條件“對角線互相垂直且相等”。它就成了正方形，可知，越是特殊的條件，越體現(xiàn)著事物的特殊性，而越是特殊的東西范圍越小，相對的就越好解決。ABCDFGE例6 已知：如圖，在梯形中，點分別在邊上，。（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)時，求證：四邊形是矩形?！居^察與思考】在四邊形是等腰梯形的大背景下，對于（1），就要從“”這個附加的特殊條件切入，去推得且。ABCDFGEH對于（2），就要從更特殊的附加條件“”切入，而為了應(yīng)用“2倍角”這個關(guān)系，想到作于H（如圖（1），目的是將平分，構(gòu)造出等角和直角三角形。證明：（1）在梯形中，。（1）即又四邊形是平行四邊形。（2）過點

18、G作，垂足為H，（如圖（1）。平行四邊形是矩形?！菊f明】由本例可以看出，最特殊的條件，常常正好是解法探尋的入口處。（2）善于借特殊窺測一般，解決一般BCAMN（D）E）O）ACMNDEB例7 如圖，在中，分別是的中點，為上的點，連結(jié)，若則圖中陰影部分的面積為 。（1）（1）【觀察與思考】在本題，的三邊是確定的，點的位置是確定的，而在上且，但兩點的位置不確定，它們在滿足上述條件下是可以在上移動的，這個移動不影響陰影部分面積的大小?，F(xiàn)考慮將原圖換成圖（1）那樣的特殊情況，即E為的中點，D重合于點B，此時立刻看出，即。解：應(yīng)填30 。例8 現(xiàn)有若干張邊長不相等但都大于4的正方形紙片，從中任選一張，如

19、圖（1），從距離正方形的四個頂點2處，沿角畫線，將正方形紙片分成5部分，則中間陰影部分的面積是 ；若在上述正方形紙片中再任選一張重復(fù)上述過程，并計算陰影部分的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 。（1）（1）【觀察與思考】若將陰影部分的正方形沿原正方形紙片的對角線平移，使兩頂點到正方形紙片兩鄰邊上，如圖（1），立刻看到陰影正方形的邊長為，所有有：解：陰影部分正方形面積為 ；所得陰影正方形是定值：都等于。（3）正向思考與逆向思考的轉(zhuǎn)化例 12如圖，在中，分別以為邊在BC的同側(cè)作等邊三角形，等邊三角形，等邊三角形。（1）求證：四邊形DAEF是平行四邊形；（2）探究下列問題：（只填滿足的條件，不需證明）當(dāng)滿足

20、 條件時，四邊形DAEF是矩形；當(dāng)滿足 條件時，四邊形DAEF是菱形；DBAEFC當(dāng)滿足 條件時，以D，A，E，F(xiàn)為頂點的四邊形不存在?！居^察與思考】對于（1），通過證明可推得解：（1）和都是等邊三角形又，同理四邊形ADFE是平行四邊形【觀察與思考】對于（2），應(yīng)逆過來思考，即從結(jié)論出發(fā)尋找條件。若，則需若則需，但又不等于BC。因當(dāng)時，DAEF在一條直線上，已不構(gòu)成四邊形 這正是（3）的情況。解：（2）；，且；【說明】象本題中對（2）的思考，就是運用了“逆向”的形式，當(dāng)由結(jié)論探尋其成立的條件時，常常用這種方法。不過在運用逆向思考得到結(jié)果后，還需正過來進(jìn)行驗證。以上列舉的事實可以看到： 獲得問題

21、解法的主要思考策略是：、化歸到基本模型或基本模式；、用活，用足特殊與一般的關(guān)系；、從等價、數(shù)與形、正向逆向三個角度考慮將問題轉(zhuǎn)化。 練習(xí)題ADCBEGFH1、如圖，等腰梯形中，點E是線段AD上的一個動點（E與A，D不重合），G，F(xiàn)，H分別是BE，BC，CE的中點。（1）試探索四邊形EGFH的形狀，并說明理由。（2）當(dāng)點E運動到什么位置時，四邊形EGFH是菱形？并加以證明。（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，請?zhí)剿骶€段EF與線段BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。ABCD2、如圖，在等腰直角三角形ABC中，AD為的平分線。求。 3、如圖（1），在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點E，AF平分交BD于點F。（1）求證：（2）點從點C出發(fā)，沿著線段CB向點B運動（不與點B重合），同時點從點A出發(fā)，沿著BA的延長線運動，點與點的運動速度相同，當(dāng)動點停止動動時，另一動點也隨之停止運動，如圖（2），平分，交BD于點，過點作，垂足為，請猜想，與AB三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；ABCDCA（3）在（2）的條件下，當(dāng)時，求BD的長。ABCDEF（2）（1）4、如圖，正方形ABCD的邊長是，一個邊長為的小正方形沿著正方形ABCD的邊ABCDAABBCCDDAAB連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，那么這個小正方形第一次回到起始位置時，它