命題及充分與必要條件

1、第一章 常用邏輯用語知識點網(wǎng)絡(luò) 第1講 命題、充分條件與必要條件 考點1：命題1. 定義：一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的語句叫做命題.（1）命題由題 設(shè)和結(jié) 論兩部分構(gòu)成. 命題通常用小寫英文字母表示，如p,q,r,m,n等.（2）命題有真假之分，正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題. 數(shù)學中的定義、公理、定理等都是真命題（3）命題“”的真假判定方式： 若要判斷命題“”是一個真命題，需要嚴格的邏輯推理；有時在推導時加上語氣詞“一定”能幫助判斷。如：一定推出. 若要判斷命題“”是一個假命題，只需要找到一個反例即可.注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命題.例1

2、 已知命題,;命題,則下列命題中為真命題的是:（）ABCD例2.下列命題中的假命題是A. B. C. D. 【解析】對于C選項x1時，故選C變式1.下列命題是真命題的為 A若,則 B若,則 C若,則 D若,則 解析 由得,而由得,由,不一定有意義,而得不到 故選A.例3.下列4個命題 1/2x>1/3x 1/2x 1/3x 其中的真命題是 （ ）A. B . C. D. 解析 取x,則1/2x1,1/3xlog321,p2正確 當x(0,)時,()x1,而1/3x1.p4正確答案 D考點2：四種命題1. 四種命題的形式：用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用p和q分別表示p和q的否定，則

3、四種命題的形式為：原命題：若p則q； 逆命題：若q則p；否命題：若p則q； 逆否命題：若q則p.2. 四種命題的關(guān)系原命題逆否命題.它們具有相同的真假性，是命題轉(zhuǎn)化的依據(jù)和途徑之一.逆命題否命題，它們之間互為逆否關(guān)系，具有相同的真假性，是命題轉(zhuǎn)化的另一依據(jù)和途徑.除、之外，四種命題中其它兩個命題的真?zhèn)螣o必然聯(lián)系.例4. 分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假: (1) 若q<1，則方程x22xq0有實根； (2) 若ab0，則a0或b0； (3) 若x2y20，則x、y全為零.解：(1)逆命題：若方程x22xq0有實根，則q1，為假命題否命題：若q1，則方程x22x

4、q0無實根，為假命題逆否命題：若方程x22xq0無實根，則q1，為真命題(2)逆命題：若a0或b0，則ab0，為真命題否命題：若ab0，則a0且b0，為真命題逆否命題：若a0且b0，則ab0，為真命題(3)逆命題：若x、y全為零，則x2y20，為真命題否命題：若x2y20，則x、y不全為零，為真命題逆否命題：若x、y不全為零，則x2y20，為真命題例5. “ABC中,若C=90°,則A.B都是銳角”的否命題為: _，否定形式是_-解：否定形式：ABC中,若C=90°,則A.B不都是銳角” 否命題：ABC中,若C90°,則A.B不都是銳角”例3.下列四個命題中屬于真

5、命題的是_，“若x+y=0，則x、y互為相反數(shù)”的逆命題；“兩個全等三角形的面積相等”的否命題；“若q1，則x2+x+q=0有實根”的逆否命題；“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆否命題。解：顯然正確；不正確；不正確，因=1-4q未必大于0；不對。變式2.命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的逆命題是_.解：如果兩條直線平行，那么它們同時與另一條直線垂直。例6. 已知p：有兩個不等的負根，q：無實根若p或q為真，p且q為假，求m的取值范圍分析：由p或q為真，知p、q必有其一為真，由p且q為假，知p、q必有一個為假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命題p及命題q為真的條件，再分

6、類討論解：p：有兩個不等的負根q：無實根因為p或q為真，p且q為假，所以p與q的真值相反() 當p真且q假時，有；() 當p假且q真時，有綜合，得的取值范圍是或例7.命題“存在，使得”的否定是 變式3 命題“存在R，0”的否定是 A. 不存在R, >0 B. 存在R, 0 C. 對任意的R, 0 D. 對任意的R, >0解析：由題否定即“不存在，使”，故選擇D。變式4 .命題“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是（ ）A“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” B“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)” C“若一個數(shù)不是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” D“若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它

7、不是負數(shù)”答案 B解析 因為一個命題的逆命題是將原命題的條件與結(jié)論進行交換，因此逆命題為“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)”?？键c3：充分條件與必要條件1. 定義：對于“若p則q”形式的命題：若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若pq，但qp，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；若既有pq，又有qp，記作pq，則p 是q的充分必要條件（充要條件）.2. 理解認知：（1）在判斷充分條件與必要條件時，首先要分清哪是條件，哪是結(jié)論；然后用條件推結(jié)論，再用結(jié)論 推條件，最后進行判斷.（2）充要條件即等價條件，也是完成命題轉(zhuǎn)化的理論依據(jù).“當且僅當”.“有且僅有”.“必須且只須”

8、.“等價于”“反過來也成立”等均為充要條件的同義詞語.3. 判斷命題充要條件的三種方法（1）定義法：（2）等價法：由于原命題與它的逆否命題等價，否命題與逆命題等價，因此，如果原命題與逆命題真假不好判斷時，還可以轉(zhuǎn)化為逆否命題與否命題來判斷即利用與；與；與的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，一般運用等價法.(3) 利用集合間的包含關(guān)系判斷，比如AB可判斷為AB；A=B可判斷為AB，且BA，即AB.如圖：“”“，且”是的充分不必要條件.“”“”是的充分必要條件. 例8在下列各題中，判斷A是B的什么條件，并說明理由(1) A：，B：方程有實根；(2)A：；B：；解：(1) 當，取

9、，則方程無實根；若方程有實根，則由推出或6，由此可推出所以A是B的必要非充分條件(2) 由，由解得，所以A推不出B，但B可以推出A，故A是B的必要非充分條件變式5：指出下列命題中，p是q的什么條件（在“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分也不必要條件”中選出一種作答）.（1）對于實數(shù)x、y，p：x+y8,q:x2或y6;（2）非空集合A、B中，p：xAB，q：xB；解： (1)易知: p:x+y=8, q:x=2且y=6,顯然qp.但pq,即q 是p 的充分不必要條件,根據(jù)原命題和逆否命題的等價性知,p是q的充分不必要條件.(2)顯然xAB不一定有xB,但xB一定有x

10、AB,所以p是q的必要不充分條件.例9. 已知p：2m0，0n1；q：關(guān)于x的方程x2mxn0有兩個小于1的正根，試分析p是q的什么條件.解：若方程x2mxn0有兩個小于1的正根，設(shè)為x1、x2則0x11、0x21，x1x2m，x1x2n0m2，0n1 2m0，0n1p是q的必要條件又若2m0，0n1，不妨設(shè)m1，n則方程為x2x0，(1)24×10 方程無實根 p是q的非充分條件綜上所述，p是q的必要非充分條件例10.“”是“”成立的 （ ）（A）充分不必要條件. （B）必要不充分條件.（C）充分條件. （D）既不充分也不必要條件.解析：，所以充分；但反之不成立，如例11. “a0

11、”是“0”的A(A)充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件解析：本題考查充要條件的判斷， a0”是“0”的充分不必要條件變式6.已知a>0，則x0滿足關(guān)于x的方程ax=6的充要條件是(A) (B) (C) (D) 【解析】由于a>0,令函數(shù)，此時函數(shù)對應(yīng)的開口向上，當x=時，取得最小值，而x0滿足關(guān)于x的方程ax=b,那么x0=,ymin=，那么對于任意的xR,都有=變式7 設(shè)0x，則“x sin2x1”是“x sinx1”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件解析：因為0x，所以sinx1

12、，故xsin2xxsinx，結(jié)合xsin2x與xsinx的取值范圍相同，可知答案選B，本題主要考察了必要條件、充分條件與充要條件的意義，以及轉(zhuǎn)化思想和處理不等關(guān)系的能力，屬中檔題例11. “”是“一元二次方程”有實數(shù)解的A充分非必要條件 B.充分必要條件C必要非充分條件 D.非充分必要條件【解析】由知，例12.已知是實數(shù)，則“且”是“且”的 ( ) A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 解析 對于“且”可以推出“且”，反之也是成立的變式8. “”是“且”的 A. 必要不充分條件 B.充分不必要條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件解析 易

13、得時必有.若時，則可能有，選A。變式9 .設(shè)的 A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件解析 因為，顯然條件的集合小，結(jié)論表示的集合大，由集合的包含關(guān)系，我們不難得到結(jié)論。例13.已知，為實數(shù)，且.則“”是“”的 A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件解析 顯然，充分性不成立.又，若和都成立，則同向不等式相加得,即由“”“” 例14.已知：， ：若“”是“”的必要而不充分條件，求實數(shù)的取值范圍 【解法一】由：，解得，“”： 3分由：解得：“”： 6分由“”是“”的必要而不充分條件可知： 8分 解得 滿足條件的

14、m的取值范圍為 12分【解法二】由：， 解得由：, 解得： 由“”是“”的必要而不充分條件可知： ， 即：（等號不同時成立）， 解得：滿足條件的m的取值范圍為課堂過關(guān)檢測一、選擇題1對命題p：A，命題q：AA，下列說法正確的是（ ）Ap且q為假 Bp或q為假 C非p為真 D非p為假2已知下列三個命題方程x2-x+2=0的判別式小于或等于零；矩形的對角線互相垂直且平分；2是質(zhì)數(shù)，其中真命題是（ ）（A）和 （B）和 （C）和 （D）只有3下列結(jié)論中正確的是（ ）（A）命題p是真命題時，命題“P且q”一定是真命題。（B）命題“P且q”是真命題時，命題P一定是真命題（C）命題“P且q”是假命題時，命

15、題P一定是假命題（D）命題P是假命題時，命題“P且q”不一定是假命題4使四邊形為菱形的充分條件是（ ）（A）對角線相等 （B）對角線互相垂直 （C）對角線互相平分 （D）對角線垂直平分5如果命題“非P為真”，命題“P且q”為假，那么則有（ ）（A）q為真 （B）q為假 （C）p或q為真 （D）p或q不一定為真6如果命題“p或q”和命題“p且q”都為真，那么則有（ ）（A）p真q假 （B）p假q真 （C）p真q真 （D）p假q假7給出4個命題：若，則x=1或x=2；若，則；若x=y=0，則；若，xy是奇數(shù)，則x，y中一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)那么： （ ）A的逆命題為真 B的否命題為真C的逆否命題為

16、假D的逆命題為假8一個整數(shù)的末位數(shù)字是2，是這個數(shù)能被2整除的（ ）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件9“ABC中，若C=90°，則A、B都是銳角”的否命題為（ ） AABC中，若C90°，則A、B都不是銳角 BABC中，若C90°，則A、B不都是銳角 CABC中，若C90°，則A、B都不一定是銳角 D以上都不對10“”的含義是 （ ）A不全為0 B 全不為0 C至少有一個為0 D不為0且為0，或不為0且為011下列說法正確的是（ ）（A）x3是x>5的充分不必要條件 （B）x±1是1的充要

17、條件（C）若pq，則p是q的充分條件（D）一個四邊形是矩形的充分條件是它是平行四邊形12如果命題“P或Q”是真命題，命題“P且Q”是假命題，那么（ ） (A) 命題P和命題Q都是假命題 (B) 命題P和命題Q都是真命題（C）命題P和命題“非Q”真值不同 (D) 命題Q和命題“非P”真值相同13.下列有關(guān)命題的說法正確的是 ( )A命題“若，則”的否命題為：“若，則”B“”是“”的必要不充分條件C命題“使得”的否定是：“ 均有”D命題“若，則”的逆否命題為真命題14 若是兩個簡單命題，且“或”的否定是真命題，則必有（）A真真B假假C真假 D假真15 已知A與B是兩個命題，如果A是B的充分不必要條

18、件，那么是的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件16 已知全集U且，則集合A的真子集共有（ ）A3個B4個C5個D6個17 二次函數(shù)中，若，則其圖象與軸交點個數(shù)是（ ）A1個B2個C沒有交點D無法確定18 設(shè)集合A，那么下列關(guān)系正確的是（ ）ABCD19.如果命題“p或q”與命題“非p”都是真命題，那么（ ）（A）命題p不一定是假命題 （B）不一定是真命題（C）命題q一定是真命題 （D）命題p與命題q真值相同20.x2+2x-8=0”是“x-2=”的 （）(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件21.命題“P或Q”是真命

19、題，命題“P且Q”是假命題，那么（ ） (A) 命題P和命題Q都是假命題 (B) 命題P和命題Q都是真命題（C）命題P和命題“非Q”真值不同 (D) 命題Q和命題“非P”真值相同22設(shè)是首項大于零的等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（A）充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件23.在實數(shù)m，使方程x2mx10有實數(shù)根，則“非p”形式的命題是A.存在實數(shù)m，使得方程x2mx10無實根 B.不存在實數(shù)m，使得方程x2mx10有實根C.對任意的實數(shù)m，使得方程x2mx10有實根D.至多有一個實數(shù)m，使得方程x2mx10有實根24.若函數(shù)在其定義域內(nèi)

20、是減函數(shù)，則”的逆否命題是A.若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)B.若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)C.若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)D.若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)25.如果命題“”為假命題，則A.p，q均為真命題 B.p，q均為假命題 C.p，q中至少有一個為真命題 D.p，q中至多有一個為真命題26.已知命題所有有理數(shù)都是實數(shù)，命題正數(shù)的對數(shù)都是負數(shù)，則下列命題中為真命題的是A.B.C.D.27. “”是“”的（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 28. “成立”是“成立”的( )A充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件29 “x>1”是“”成立的（ ）A充要條件B必要不充分條件C充分不必要條件D既不充分又不必要條件30.命題：“若，則”的逆否命題是（ ）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則 31.若集合，則“”是“”的 （