圓心角弧弦弦心距之間的關(guān)系

1、圓心 弧 弦 弦心距之間的關(guān)系知識(shí)要點(diǎn)歸納 1. 圓不但是軸對(duì)稱(chēng)圖形，而且也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，實(shí)際上圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，都能夠與原來(lái)的圖形重合。 2. 圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。從圓心到弦的距離叫做弦心距。 3. 定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。 4. 推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。 注意：要正確理解和使用圓心角定理及推論。 （1）不能忽略“在同圓或等圓中”這個(gè)前提條件，若沒(méi)有這一條件雖然圓心角相等，但所對(duì)的弧、弦、弦心距不一定相等。 距也不

2、相切。 （2）要結(jié)合圖形深刻理解圓心角、弧、弦、弦心距這四個(gè)概念與“所對(duì)”一詞的含義，從而正確運(yùn)用上述關(guān)系。 下面舉四個(gè)錯(cuò)例： 這兩個(gè)結(jié)論都是錯(cuò)誤，首先CE、FD不是弦，CEA、BFD不是圓心角，就不可以用圓心角定理推論證明。 （3）同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，同時(shí)在本定理和推論中的“弧”是指同為劣弧或優(yōu)弧，一般選擇劣弧。 （4）在具體運(yùn)用定理或推論解決問(wèn)題時(shí)可根據(jù)需要，選擇有關(guān)部分，比如“等弧所對(duì)的圓心角相等”，在“同圓中，相等的弦所對(duì)的劣弧相等”等。 5. 1°的?。阂?yàn)橥瑘A中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所以整個(gè)圓也被等分成360份，我們把每一份這樣的弧叫做1&

3、#176;的弧。 一般地，n°的圓心角對(duì)著n°的弧，n°的弧對(duì)著n°的圓心角，也就是說(shuō)，圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等。 注意：這里說(shuō)的相等是指角的度數(shù)與弧的度數(shù)相等。而不是角與弧相等，在書(shū)寫(xiě)時(shí)要防止出現(xiàn)“”之類(lèi)的錯(cuò)誤。因?yàn)榻桥c弧是兩個(gè)不能比較變量的概念。相等的弧一定是相同度數(shù)的弧，但相同度數(shù)的弧卻不一定是相等的弧。 6. 圓中弧、圓心角、弦、弦心距的不等關(guān)系 （1）在同圓或等圓中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距較小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距較小時(shí)，則弦較大。 當(dāng)弦為圓中的最大弦（直徑）時(shí)，弦心距縮小為零；當(dāng)弦逐步縮小時(shí)，趨近于零

4、時(shí)，弦心距逐步增大，趨近于半徑。 （2）在同圓或等圓中，如果弧不等，那么弧所對(duì)的弦、圓心角也不等，且大弧所對(duì)的圓心角較大，反之也成立。 注意：不能認(rèn)為大弧所對(duì)的弦也較大，只有當(dāng)弧是劣弧時(shí)，這一命題才能成立，半圓對(duì)的弦最大，當(dāng)弧為優(yōu)弧時(shí)，弧越大，對(duì)的弦越短。 7. 輔助線(xiàn)方法小結(jié)： （1）有弦的中點(diǎn)時(shí)，常連弦心距，進(jìn)而可利用垂徑定理或圓心角、弦、弧、弦心距關(guān)系定理；另外，證明兩弦相等也常作弦心距。 （2）在計(jì)算弧的度數(shù)時(shí)，或有等弧的條件時(shí)，或證等弧時(shí)，常作弧所對(duì)的圓心角。 （3）有弧的中點(diǎn)或證弧的中點(diǎn)時(shí)，常有以下幾種引輔助線(xiàn)的方法： （I）連過(guò)弧中點(diǎn)的半徑；（II）連等弧對(duì)的弦；（III）作等弧

5、所對(duì)的圓心角?！镜湫屠}】 例1. 已知：如圖，在O中，弦AB、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于P點(diǎn)，PO平分APC。 求證：（1）ABCD；（2）PAPC 分析：要證明兩弦相等，可利用弧、圓心角、弦心距之中的一種相等來(lái)證，由于已知角平分線(xiàn)PO過(guò)圓心，利用弦心距相等可以解決。 證明：（1）過(guò)O點(diǎn)作OMAB于M，ONCD于N PO平分APC OMON ABCD（在同圓中，相等的弦心距所對(duì)的弦相等） 此題還有幾種變式圖形，道理是一樣的。 弦AB、DC的交點(diǎn)在圓上，即B、P、D三點(diǎn)重合。 若PO平分APC，求證：PAPC。 弦AB、CD交于P點(diǎn)（P點(diǎn)在圓內(nèi)） PO平分APC，求證：ABCD。 此題還可將題設(shè)與結(jié)論交

6、換一下，即已知ABCD，求證：PO平分APC，證法與上面一樣，利用弦心距等。 （2）在RtPOM和RtPON中， 即PAPC 例2. 如圖，在O中，AB2CD，那么（ ） 分析： 解法一： 故選A。 解法二： 例3. 求證：OEOF 證法一：連結(jié)OC、OD 證法二：過(guò)O點(diǎn)作OMCD于N交O于M 例4. 如圖，O中AB是直徑，COAB，D是CD的中點(diǎn)，DEAB。 分析：度數(shù)又等于它們所對(duì)的圓心角的度數(shù)，則關(guān)鍵是求出COE、AOE的度數(shù)。 證明：連結(jié)OE 例5. 交AB于M、N。 求證：AMMNNB 解析一： 證法一：連結(jié)OE、AE，設(shè)等邊ABC的邊長(zhǎng)為2a 解析二： 證法二： 如圖，連結(jié)OE，設(shè)

7、AC2a，則ACAB2OE2a 解析三： 要證AMMNNB，即證AM：MO2：1，故聯(lián)想到三角形的重心性質(zhì)，若能證明M是ACG的重心，問(wèn)題得證。（三角形的重心即為三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離等于交點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍） 證明三： 連結(jié)AE，并延長(zhǎng)交CO的延長(zhǎng)線(xiàn)于G 設(shè)AC2a，則有AEOAa（證法一中已證明AOE為等邊三角形） ACBC，AOOB AOCG，CABGAO60°，AOAO AOCAOG OCOG，且AGAC2a AEa，AEEGa 即E為AG中點(diǎn)，O為CG中點(diǎn) M為ACG的重心 【模擬試題】一. 選擇題。 1. 在O與O'中，若中，則有（ ） A. B.

8、C. D. 的大小無(wú)法比較 2. 半徑為4cm，120°的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為（ ） A. B. C. D. 3. 在同圓或等圓中，如果圓心角BOA等于另一個(gè)圓心角COD的2倍，則下列式子中能成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 在O中，圓心角AOB90°，點(diǎn)O到弦AB的距離為4，則O的直徑的長(zhǎng)為（ ） A. B. C. 24D. 16 5. 在O中，兩弦ABCD，OM、ON分別為這兩條弦的弦心距，則OM、ON的關(guān)系是（ ） A. B. C. D. 無(wú)法確定 6. 如圖，AB為O的直徑，C、D是O上的兩點(diǎn)，則DAC的度數(shù)是（ ） A. 70°B. 45

9、76;C. 35°D. 30°二. 填空題。 1. 一條弦把圓分成1：3兩部分，則劣弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為_(kāi)。 2. 一條弦等于其圓的半徑，則弦所對(duì)的優(yōu)弧的度數(shù)為_(kāi)。 3. 在半徑為R的圓中，垂直平分半徑的弦長(zhǎng)等于_。 4. 在O中，弦CD與直徑AB相交于E，且AEC30°，AE1cm，BE5cm，那么弦CD的弦心距OF_cm，弦CD的長(zhǎng)為_(kāi)cm。 5. 已知O的半徑為5cm，過(guò)O內(nèi)一已知點(diǎn)P的最短的弦長(zhǎng)為8cm，則OP_。 6. 已知A、B、C為O上三點(diǎn)，若度數(shù)之比為1：2：3，則AOB_，BOC_，COA_。 7. 已知O中，直徑為10cm，是O的，則弦AB_

10、，AB的弦心距_。三. 解答題。 1. 如圖：已知，OA為O的半徑，AC是弦，OBOA并交AC延長(zhǎng)線(xiàn)于B點(diǎn)，OA6，OB8，求AC的長(zhǎng)。 2. 如圖，中，O在的三邊上所截得的弦長(zhǎng)都相等，求BOC的度數(shù)。 3. 已知：如圖，在O中，弦ABCD，且ABCD于E，BE7，AE3，OGAB于G，求：OG的長(zhǎng)？ 4. 已知：如圖，求OFE的度數(shù)。 5. 如圖，C是O的直徑AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作弦DE，使CDCO，使的度數(shù)為40°，求的度數(shù)。 6. 如圖：已知，O中，OB、OC分別交AC、DB于M、N。 求證：是等腰三角形。 7. 如圖，O中弦ABCD，且AB與CD交于E。求證：DEAE。【試題答案】一. 選擇題。 1. D2. B3. D4. B5. A6. C二. 填空題。 1. 90°2. 300°3. 4. 5. 3cm6. 60°，120°，180°7. 三. 解答題。 1. 過(guò)O點(diǎn)作ODAB于D 根據(jù)射