工程數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)(簡版)

1、工程數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一篇線性代數(shù)第章行列式1 二階、三階行列式 的計(jì)算 22 行列式的性質(zhì)（轉(zhuǎn)置， 換行，數(shù)乘，求和，數(shù)乘求和） 3， 4，P52 3（ 2）3 行列式展開（ 代數(shù)余子式 ） 74 利用性質(zhì)及行列式展開法則計(jì)算行列式（造零降階法）5 字母型行列式計(jì)算（爪型）53 5（ 2）6矩陣的定義、矩陣的行列式的定義及矩陣與行列式的區(qū)別7矩陣的運(yùn)算（ 加減 20、數(shù)乘 21、乘法 22、轉(zhuǎn)置 26、方陣的冪 、乘法不滿足交換律 和消去律）n（ kD nkD ）8特殊的矩陣（對(duì)角、數(shù)量、單位矩陣（ E）、三角形矩陣）9 矩陣的初等變換（三種） 、行階梯形、行最簡形10逆矩陣的定義、運(yùn)算性質(zhì)11伴

2、隨矩陣 3812利用初等變換求逆矩陣P44 例 31（兩階更簡單）13矩陣的秩的概念及利用初等變換求矩陣的秩第章線性方程組1線性方程組的求解 （分非齊次的和齊次的） P65 例 3、例 4第章特征值的求解（特征向量不作要求）89例 1第二篇概率論第 4章概率的基本概念及計(jì)算、基本概念：必然現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、樣本點(diǎn)、隨機(jī)事件（事件）、基本事件（樣本點(diǎn)）、不可能事件、必然事件、事件的包含與相等、和（并）事件、積（交）事件、互不相容（互斥）的事件、逆事件、古典（等頻率、概率、概率的可加性 （互不相容）、概率的加法公式 （相容）、可能）概型 P130、放回抽樣方式、 不放回抽樣方式

3、P132例 13、事件相互獨(dú)立、 條件概率 135 引例、基本公式：n概率的可加性（互不相容） P A1 A2AnP Aii1概率的加法公式（相容）PABPAPBPAB擊落飛機(jī)問題概率的乘法公式 PABPBPAB逆事件的概率PA1PA事件A和B獨(dú)立，則有 P ABP A P B、基本結(jié)論：當(dāng)事件 A 和 B 相互獨(dú)立時(shí)，我們可以證明，事件A, B; A, B; A, B 亦相互獨(dú)立。第 5章隨機(jī)變量、基本概念： 隨機(jī)變量、 離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量、 離散型隨機(jī)變量的概率分布律、概率分布函數(shù)（ F ( x) PXx ,x）、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)（密度函數(shù)或密度）、分布函數(shù)（(x(),，P

4、 xXx1）xP Xx)F xft d tP X158、 161例 20、隨機(jī)變量的獨(dú)立、隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布（ P192定理）、基本公式：六種分布的分布律或概率密度函數(shù)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率計(jì)算例、例2516523、基本結(jié)論：連續(xù)型隨機(jī)變量在某一點(diǎn)的概率為0，即 P X x0第 6章隨機(jī)變量的數(shù)字特征、幾個(gè)極限定理、基本概念： 離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的 數(shù)學(xué)期望 190、方差 198 及其性質(zhì)、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 195例 12、k 階（原點(diǎn)）矩、 k 階中心矩、基本公式：（ 1） 數(shù)學(xué)期望（平均值、期望值、均值） ：） E(X)xi P X xixi pi ， E (X )xf

5、 (x)dxi 1i 1）Yg ( X ), E(Y )E (g( X )g(xi ) pi , E(Y)E( g ( X )g ( x) f (x)dxi 1E(C)C, E(CX )CE(X ), E(XY)E(X)E(Y ), E( XY)E( X ) E(Y（)X , Y獨(dú)立）（ 2） 方差：）D(X)E XE( X )2xiE( X ) 2 pi xE (X )2f ( x)dxi1）D(X)E(X2)E(X)2D(C)0, D(CX )C2D( X ), D(XY)D( X )D(Y（) X , Y獨(dú)立）（ 3） 標(biāo)準(zhǔn)差（均方差）： （X）D( X ) （與隨機(jī)變量有相同的量綱）、

6、基本結(jié)論：（ 1） （ ）分布：（151表格形式）PX kk(1 p)1 k, k 0,101 ppE(X)p ， D ( X )pqp(1p)（ ）n重貝努里試驗(yàn)、二項(xiàng)分布（）：2b(n,p)P XkCnk pk (1p)nk , k0,1,2, n 153例 10E(X)np ， D ( X )npqnp (1 p)（ 3）泊松公布（ Poissonek, k0,1,2,( )）：PX kk !E(X)，D(X)* 在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng) n10, p0.1時(shí)，我們有如下的泊松近似公式Cnk pk (1 p) n k ek,npk !（ 4）指數(shù)分布（ E(),0 ）： f ( x)exx0 ，

7、 F ( x)1exx00x00x0E(X)11， D(X)210xaaxb ， F ( x)xa（ 5）均勻分布（ U ( a, b) ）： f ( x) baaxb0其它ba1xbE(X)a b ， D ( X )(b a)22121( x)2（ 6）正態(tài)分布（ N (,2 ) ）： f ( x)e22,x2E(X)，D(X)2, (X)1x2（ 7）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（N (0,1) ）： (x)e 2,x，( x)(x) 12（ 8） n 個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)還是服從正態(tài)分布（202）第三篇數(shù)理統(tǒng)計(jì)第 7章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、基本概念：總體（母體） 、個(gè)體、樣本（子樣）、樣本觀

8、測值（實(shí)現(xiàn)）、簡單隨機(jī)樣本（隨機(jī)性、獨(dú)立同分布性）、統(tǒng)計(jì)量的判斷 218、統(tǒng)計(jì)量的觀測值、抽樣分布、基本公式：（ 1） 樣本平均值： X1nX in i1（ 2） 樣本方差： S21nX )21 (n22( XiX inX)n 1 i1n1i 1（ 3） 樣本標(biāo)準(zhǔn)差： SS2（ 4） 樣本 k 階原點(diǎn)矩： Ak1nX ik ,k1,2,n i1（ 5） 樣本 k 階中心矩： B1n( XiX ) k, k1,2,kn i1、基本結(jié)論：（1） 定理 2：設(shè) XN(0,1),X1, X2 ,X n ,為X的一個(gè)樣本，它們的平方各也是一個(gè)隨機(jī)變量，記2X12X22,X n2 , 則 22 (n)設(shè)X

9、 N(,2 ),和2已知， X1, X2 ,X n , 為 X的一個(gè)樣本，例（ ）22n2211于是 XiXi2 ( n).N (0,1), i1,2,n,則有()i1（3）若22 (n)，則 E( 2 ) n, D ( 2 ) 2n2 分布的可加性：若Y12，2，且與獨(dú)立，（ 4）(n1 ) Y2( n2 )Y1Y22 (n1則Y1 Y2n2 )（5） 定理 3：若XN (0,1), Y2 (n), 且 X 與 Y獨(dú)立，則Xt(n)Y / n（6） 定理 4：若X2(m),Y2( n),且X與 獨(dú)立，則FX / MF (m, n)YY / n（7） 定理 5：若X1, X2,X n為總體 N

10、 ( ,2 )的一個(gè)樣本 ,則樣本均值 XN(,2n)若 X1 , X 2 , X n為正態(tài)總體 N ( , 2 )的一個(gè)樣本 ,則對(duì)于樣本均值 X和樣本方差 S2 有（ 8） 定理 6：（1）X和 S2相互獨(dú)立(n 1)S22(n1)（ 2）2（3）E(S2 )2,D(S2)2 2n1若X1,X2,X n為正態(tài)總體 N ( ,2 )的一個(gè)樣本 ,則（9） 定理 7：Xt (n1)Sn若X1,X2,X n 和 Y1 ,Y2 ,Yn 分別為總體 N (1, 12)和N(2 ,22 )的12（ 10）定理 8： 相互獨(dú)立的樣本,樣本均值分別為X和 ，樣本方差分別為2和2YS1S222XY12則 (

11、1)XYN (,12或12n1n2) U12 n122 n2(2) 當(dāng)2,222XY12未知，但12時(shí), T1 n1Sw其中Sw2( n1 1)S12(n2 1)S22n1n2 2設(shè) X1 , X 2 , X n1和 Y1 ,Y2 , Yn2 分別為總體 N (（ 11）定理 9：相互獨(dú)立的樣本 , 樣本方差分別為 S12和 S22 ,22則S12F (n11,n21)22S211x2（ 12） Z 分布： ( x)e 2x2Z 的上側(cè)分位點(diǎn) Z： P Ybf ( y)dy, bbZ 的下側(cè)分位點(diǎn) Z1：P Y aa, 或 P Y af ( y)dy 1f ( y)dya0Z 的雙側(cè)分位點(diǎn) Z

12、/2， Z1/ 2 ：b,a Z1 /2Z / 2 , bP a Y bf ( y)dy 1a12t( n1n22)1 n21, 12 )和N( 2,22)的Z, aZ1Z/2（ 13）2 (n) 分布：2 (n) 的上側(cè)分位點(diǎn)2 (n) ： P Ybbf ( y)dy, b2 ( n)2 (n) 的下側(cè)分位點(diǎn)21 (n) ：a12 ( n)P Y af ( y)dy, 或 P Y aaf ( y)dy 1, a02 (n) 的雙側(cè)分位點(diǎn)2(n) ，2：1 / 2/ 2 (n)b22P a Y bf ( y)dy 1,a/2 (n), b/2 (n)1a當(dāng) n 充分大（ >45）時(shí)，有2

13、 (n)1(Z2n 1)2 （費(fèi)歇）2（ 14） t (n) 分布：t( n) 的上側(cè)分位點(diǎn) t(n) ： P Tbbf (t )dt, bt(n)t( n) 的下側(cè)分位點(diǎn) t1( n) ： PTaf (t)dt1,at1 (n)at( n) 的雙側(cè)分位點(diǎn) t1/ 2 (n) ， t/ 2 (n) ：b, a t1/ 2 (n)t / 2 (n), b t / 2 (n)P a T bf (t)dt 1a當(dāng) n>30 時(shí)， t( n) 分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布就很接近了，由此當(dāng)n 較大時(shí)，就可以用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點(diǎn)取代t (n) 分布的分位點(diǎn)。（ 15） F (n1 , n2 ) 分布：F

14、(n1, n2 ) 的上側(cè)分位點(diǎn) F ( n1 , n2 ) ：P Fbbf ( x)dx,bF (n1 ,n2 )F (n1, n2 ) 的下側(cè)分位點(diǎn) F1( n1 , n2 ) ：P F af ( x)dx 1, a F1 (n1, n2 )aF (n1, n2 ) 的雙側(cè)分位點(diǎn) F1 /2 (n1, n2 ) ， F/2 (n1 ,n2 ) ：b1P a F bf (x)dx 1, a F1 / 2 (n1, n2 ),b F / 2 (n1 ,n2 )aF / 2 ( n2 , n1 )第 8章參數(shù)估計(jì)、基本概念：矩估計(jì)法、無偏估計(jì)（E( )）、有效性（方差較小）、置信區(qū)間（置信度）、

15、基本公式：（ 1） 矩估計(jì)法：01（p）分布 PXk pk (1p)1 k , k0,1 ： pX (無偏估計(jì) )二項(xiàng)分布（ b(m,p)）：p 1 X A2 / X 1 X1 nX i2 / X ,m X 2 /( X S* 2 )n i 1均勻分布（ U (0,) ）：2 X（無偏估計(jì)）指數(shù)分布（ E( ),0） f ( x)exx0 ：1/ X0x01( x)2正態(tài)分布（ N ( ,2 ) ） f (x)e22,x：221nX )2X (無偏估計(jì) )( X in i 1、基本結(jié)論：（ 1） 矩估計(jì)法：樣本矩作為總體矩的估計(jì)； 總體未知參數(shù)的估計(jì)由矩的估計(jì)得到；同一參數(shù)利用不同的矩，得到的

16、估計(jì)量是不同的。（ 2） 對(duì)于任意一個(gè)總體， 樣本均值 X 和樣本方差 S2 是總體均值 E( X ) 和總體方差 D( X ) 的無偏估計(jì)， S*2是總體方差D ( X ) 的漸近無偏估計(jì)（ n 50）。（ 3） 若給定的 a1 , a2 , , an ,滿足nnai1,則ai Xi 是總體 E( X )期望的無偏估計(jì)，i 1i1即同一參數(shù)的無偏估計(jì)并不唯一。若總體 X N( , 2)，置信度 1,2已知，則未知參數(shù)的置信區(qū)間為 ( XZ /2n, XZ /2)n（ 4） CONFIDENCE ( , n) Z /2n2未知，則未知參數(shù)的置信區(qū)間為 ( XSt/ 2 ( n1), XS t

17、/ 2 (n1)nn未知，則未知參數(shù)2(n 1)S2,( n 1)S2)的置信區(qū)間為 (22/2 (n/2 (n1)11) 241例 18，例 20（ 5） 當(dāng) n 固定時(shí)，隨著置信度的降低， 區(qū)間長度隨之減小； 如果既要具有較小的區(qū)間長度，又要保持較高的置信度，必須增大樣本容量n。若兩個(gè)正態(tài)總體 XiN (i ,i2 )， i1,2, 置信度 1,i2已知，則未知參數(shù)12的置信區(qū)間為2222(X Y) Z /212,(X Y) Z /212 )n1n2n1n2（ 6）2未知，但22則未知參數(shù)1的置信區(qū)間為i122(X Y) S11 t(n n2),( X Y) S11 t(n n2)w n1

18、n2/212wn1n2/ 2 12i2未知，則未知參數(shù)12 /22的置信區(qū)間為(S121,S121)21,n22F1/ 2 ( n11,n21)S2 F / 2 ( n11)S2第 9章假設(shè)檢驗(yàn)、基本概念：參數(shù)檢驗(yàn)與非參數(shù)檢驗(yàn)、隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差、原（零）假設(shè)與備選假設(shè)、臨界值、接受域、拒絕域、顯著性水平、第一類錯(cuò)誤（棄真） 、第二類錯(cuò)誤（取偽）、雙邊假設(shè)檢驗(yàn)、單邊假設(shè)檢驗(yàn)（ >右邊； <左邊）、分布擬合檢驗(yàn)、基本公式：、基本結(jié)論：（ 1） 小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生（實(shí)際推斷原理） 。（ 2） 單個(gè)正態(tài)總體的參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)：若總體 XN (,2 )，顯著性水平,的雙邊假設(shè)

19、檢驗(yàn)，2已知，則 X的接受域?yàn)?( 0 Z/ 2,0Z/2)nn）或者UX0N (0,1)，則 U的接受域?yàn)?( Z / 2, Z / 2 ) U 檢驗(yàn)n若總體 XN (,2 )，顯著性水平,的單邊假設(shè)檢驗(yàn)，2已知，則0的接受域?yàn)?UZ ,則0的接受域?yàn)?UZ 251例 1,例 3若總體XN (,2，顯著性水平,的雙邊假設(shè)檢驗(yàn)，)2未知，則TX0t(n，Sn1)） H 0的接受域?yàn)?(t /2 (n 1),t/2 (n1) T檢驗(yàn)若總體XN (,2，顯著性水平,的單邊假設(shè)檢驗(yàn)，)2未知，則0的接受域?yàn)?Tt (n1),則0的接受域?yàn)?Tt ( n1).若總體 XN (,2 )，顯著性水平, 的

20、雙邊假設(shè)檢驗(yàn)，2(n1)S22未知，則2(n 1)，0H 0的接受域?yàn)?(12/2 (n1),2/ 2 (n1)2檢驗(yàn)） 若總體 XN (,2 )，顯著性水平, 的單邊假設(shè)檢驗(yàn)，n0 )22( X i2已知，i 12(n)，0則0的接受域?yàn)?T2 (n),則0的接受域 為 T12 (n).（ 3） 兩個(gè)獨(dú)立正態(tài)總體的參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)：若兩個(gè)正態(tài)總體XiN ( i ,2，i1,2,顯著性水平,i)1 2的雙邊假設(shè)檢驗(yàn)，2已知，X Y12XYU，i22 n212 n1N (0,1)12 n122 n2則U的接受域?yàn)?( Z /2,Z /2);12的右邊假設(shè)檢驗(yàn)，i2未知，但 1XY12X Y2，Tt

21、(n1 n2 2)，Sw 1 n1 1 n2Sw 1 n1 1 n2則 T的接受域?yàn)?Tt (n1 n22);1 2的雙邊假設(shè)檢驗(yàn)，222i未知，F(xiàn)S12S1F (n1，2221,n2 1)S21S2則 F的接受域?yàn)?( F1/2 (n1 1,n21),F / 2 (n1 1,n2 1).（ 4） 基于成對(duì)數(shù)據(jù)的假設(shè)檢驗(yàn)：作數(shù)據(jù)對(duì)的差di xi yi ,i 1,2 n若正態(tài)總體 di N (0, 2 )， i 1,2, , n, 顯著性水平,0 0的雙邊假設(shè)檢驗(yàn)， d和 S2分別表示樣本均值和方差，2未知， Td0dt (n1)，SnSn則 T的接受域?yàn)?( t/ 2 (n1), t / 2

22、( n1).（ 5） 大樣本下總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)（非正態(tài)總體或未知總體分布）：由中心極限定理，總體方差已知：X E(X) X E(X)（ ，）UN 0 1D ( X )D( X ) / n總體方差未知， S2為樣本方差：XE(X)UN（01，）S2 / n（ 6） 分布擬合檢驗(yàn)：顯著性水平， n50, npi5, F0 ( x)的形式和參數(shù)已知，2k(ninpi )22(k1),npii1當(dāng) 22 (k 1)時(shí)，接受假設(shè)，即總體分布可以認(rèn)為是F0 ( x)顯著性水平， n50, npi5, F0 ( x)中有 r 個(gè)未知參數(shù)，2k(ninpi )22(kr 1),npii 1當(dāng) 22 (kr

23、1)時(shí)，接受假設(shè)，即總體分布可以認(rèn)為是F0 ( x)第 10章方差分析和回歸分析、基本概念： 方差分析、試驗(yàn)指標(biāo)、 因素、水平、單因素不等（等）重復(fù)試驗(yàn)、雙因素?zé)o（有）重復(fù)實(shí)驗(yàn)、方差分析及基本假定（正態(tài)性方差齊性線性性）、隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、均方（ 271、275）相關(guān)關(guān)系、理論回歸方程、回歸函數(shù)（一元（多元）線性（非線性）回歸） 、相關(guān)分析、樣本回歸方程、散點(diǎn)圖、回歸值、最小二乘法、最小二乘估計(jì)、正規(guī)方程、樣本相關(guān)系數(shù)、基本公式：（ 1） 單因素方差分析：1 rnj1 rn j1 r）總均值：E( X ij )n j 1 i 1jn j jn j 1 i 1n j 1）樣本總平均：x1nrn

24、jxijj1 i 11n j）水平 Aj 下樣本均值： x jxijn i 1）單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型：Xijjij , ijN (0,2 )ij 相互獨(dú)立， i 1,2,nj， j1,2,r，其中 ,j 及2都是未知參數(shù) ,H0： 12r05）單因素樣本總偏差平方和：r njrnjr n jST( xij x)2( xij x j ) 2( x j x) 2j 1 i 1j 1 i 1j 1 i 1r n jr(xij x j )2n j ( x j x) 2SESAj 1 i 1j 1rnj1rnj2實(shí)際應(yīng)用中，為方便計(jì)算： STxij2j 1 i 1nxij，j1 i 16）n j2r

25、11SAn j i 1xijj 1nr2n jxij ， SE ST SAj 1i 1（ 2） 雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)的方差分析：）雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型：xijijij , ijN(0, 2)，ij相互獨(dú)立，i1,2,r，j 1,2,，srs其中 ,i ,j 及2都是未知參數(shù) , 并且有i 0，j0i1j 1H01： 12rH02： 12s00）雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)樣本總偏差平方和：ST( xijx)2( xijxi x jx)2(xix) 2( x jx)2ijijijijSESASBST( xijx)2xij2 ( xix jx) 21 T 2ijijrsSA( xix)2s ( xix)21Ti 21 T 2ijisirs3） SB( xx)2r ( xx)21212jjT jTrrsijjjSESTSASB其中Tixij (行總和 ，xij (列總和 ，T jTi總和) T j) T(jijixiTi/