泰勒定理及其應(yīng)用

1、畢 業(yè) 論 文 目 錄題目.2摘要.2關(guān)鍵詞.2一、 泰勒定理的證明.2二、 泰勒定理的推廣.7三、 泰勒定理的應(yīng)用.8參考文獻.17英文摘要.17 泰勒定理及其應(yīng)用 謝玉榮(200311533) (數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)03級蒙班)指導(dǎo)老師：斯欽摘要:本文介紹了泰勒定理的幾種不同的證明方法其中包括一個新的證明，并且討論了推廣和應(yīng)用.關(guān)鍵詞:Taylor公式 推廣 極限 近似值 等式 不等式本文介紹了泰勒定理的三個不同的證明和一些應(yīng)用, 泰勒定理在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中占有十分重要的地位,在微積分中很多不易解決的問題都可以通過Taylor公式與泰勒級數(shù)來解決, 本文著重介紹了Taylor公式的幾個

2、應(yīng)用從這個應(yīng)用可以看出他們的用處是很廣泛的.一、 定理的證明積分第一中值定理 設(shè)、都在上可積并且不變號， mM.則有常數(shù)滿足mM,=如果還是在上連續(xù)的,則至少有一點使: = , 積分中值定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在上至少存在一點使得下式成立: = （b-a） , 牛頓萊布尼茲公式 如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù)則 =F(b)-F(a)泰勒定理 如果函數(shù)在含有點的某區(qū)間內(nèi)具有一階直到n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)則當(dāng)時可以按的方冪展開為 =+ (1)其中=稱為余項公式(1)稱為n階Taylor公式. = ,介于與之間這時稱為拉格朗日型余項.=稱為皮亞諾型余項.證明一:利用上面幾個定理證

3、明泰勒定理在區(qū)間內(nèi)具有一階直到n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)所以, 則在上具有一階直到n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)（不妨設(shè)）,由積分中值定理與牛頓萊布尼茲公式可得:, 在 與之間,=即=+,在 與之間又由積分中值定理與牛頓萊布尼茲公式得: , 在 與之間 所以 =對不同的（）在上都有=由此可得=是的函數(shù),類似可得也是的函數(shù)將等式 = 兩邊取到的積分得:=而 =對因為是的函數(shù)且不變號由積分第一中值定理得 =其中mM(m與M分別是在上的最小值與最大值)于是 =在上連續(xù)由連續(xù)函數(shù)的介值定理和最小值與最大值定理知至少存在一點使得=.即=從而 = 即=+ ,在 與之間同理有 , 在 與之間 所以 = , 在 與之間，將等式兩

4、邊取到的積分得:= 在與之間 , 上式兩邊再取到的積分得：= ,在 與之間，重復(fù)上述過程最后得:=+其中 = , 在 與之間,未必相同，但他們都在與之間記= 所以= , 在 與之間.證明二:利用柯西中值定理證明泰勒定理作輔助函數(shù): =+ 與 , 無 妨 設(shè)則函數(shù) 在上具有一階直到n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)并且在上的各階導(dǎo)數(shù)均不為零我們可以在上逐次應(yīng)用柯西中值定理得到定理的證明，上面作輔助函數(shù)時把換成變量然后n+1次應(yīng)用柯西中值定理,若作輔助函數(shù)時把換成變量只應(yīng)用一次柯西中值定理即可.即=+與=顯然函數(shù)在上連續(xù)可導(dǎo)且 及于是有所以證明三：證明前我們先看一個引理引理 設(shè)函數(shù)滿足：() 在 上存在直到n階的

5、連續(xù)導(dǎo)數(shù)；()在內(nèi)n+1階可導(dǎo)；()，且=（或者，且=0）那么在內(nèi)至少存在一點使得=0.下面我們將給出泰勒定理的一個新證明由條件 , 在與之間 不妨設(shè) =+(2)那么在上存在直到n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)且注意到(2)有，從而由引理可知存在使得，這里在 與之間,而 故 有，所以 帶入(2)得=+,在 與之間 , 即定理成立.說明：在公式(1)中當(dāng)n=0時有=+這正是拉格朗日中值定理，所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣. 當(dāng)=0時記=則公式(1)為=+(3)其中= 公式(2)稱為麥克勞林公式.二、 泰勒定理的推廣定理 設(shè)、在()內(nèi)存在直到n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 0， (),那么對()有 =+ (4

6、), 其中= ,在 與之間. (其中()是的去心鄰域).證：首先假設(shè)()有0,(=0,1,2, ,n)否則將于引理矛盾，故先設(shè)(5),那么由題設(shè)知在上存在直到n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)且，依引理知存在使得，這里在 與之間而注意到 故有 結(jié)合0，就有,帶入(5)得即知定理成立.三、 定理的應(yīng)用1. 計算極限例1. 求下列極限.解：因分子關(guān)于的次數(shù)為2 ，所以 例2.求 分析：本題是“”型，可以利用洛比達法則求極限，但比較復(fù)雜，現(xiàn)在利用公式求解. 解：所以 從而有 又當(dāng)時 故 例3.證明 證：已知 兩式相減有 即 令得 即又 其中 , 則于是有 .例4.設(shè)函數(shù)在上二次連續(xù)可微，如果存在且在上有界，試證。

7、證：要證即要證明當(dāng)時，利用公式， 即 （6） 設(shè)因有界，所以故由（6）則 ，首先可取充分小，使得 然后將固定，因所以當(dāng)時 , 從而 所以.2.近似計算例1.計算使誤差不超過解：由麥克勞林公式有=（0）欲使只需取n4于是 =1.3956例2.求的近似值，精確到解：因為中的被積函數(shù)是不可積的（即不能用初等函數(shù)表示），現(xiàn)用公式的方法求的近似值. 在的展開式中以 代 得 逐項積分得= = =上式右端為一個收斂的交錯級數(shù)，由其余項的估計 .所以=0.746836例3.求的近似值，精確到0.0001.解：因為 =,() 所以 = , ()對上式兩邊從0到逐項積分得=,(),令=1則有=又交錯級數(shù)的誤差估計

8、取前三項之和作為近似值就可達到要求誤差不超過所以=0.94613.證明不等式和等式例1. 設(shè)在上有界導(dǎo)數(shù)，時試證時.證: 所以例2.設(shè)在上二次可微且，證明不等式。 證：不妨設(shè)位非常值函數(shù)，于是由題設(shè)知對于任意及任意據(jù)公式得 兩式相減得 因此特別取 得即例3.設(shè)二次可導(dǎo)函數(shù)且，而為上連續(xù)函數(shù)證明 . 證：設(shè)由于為二次可導(dǎo)且，所以有 于是 兩邊取0到的積分得即 例4. 設(shè)在上二次可微，試證， 有 . 證：取，將在展開 以乘此式兩端然后n個不等式相加注意 得 例5.設(shè)區(qū)間，任給，有，則任給時有. 分析：本題中有條件，說明具有二階導(dǎo)數(shù)，所以可用的一階公式證之。 證：在區(qū)間上任取一點，已知在區(qū)間上存在二

9、階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)公式，任給，在的一階公式為 , （介于與之間）.已知，即任給，有 令 有.例6.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可微，且滿足，證明：在內(nèi)至少有一點使. 證:令 ，由(1)得 注意到，而又因此，由上述泰勒展開式得 , . 例7.設(shè)在上三階可導(dǎo)，試證：存在使得 .證： 設(shè)為使下式成立的實數(shù) 令，則根據(jù)羅爾定理存在使得， 即而將在泰勒展開有:其中,比較得其中得證. 例8.已知函數(shù) 在 區(qū)間 內(nèi) 有二階 導(dǎo)數(shù) 且證：使得內(nèi)0(7) 證明：為了 在的鄰域內(nèi)恒等于零我們將(7)式右端的 在處按公式展開注意到我們有： = 從而=(8) 今限制 則在上連續(xù)有界，使得M我們只證M0即可M=()()*2M M即0

10、M M矛盾,所以M0,在上0.參考文獻：1:方企勤.數(shù)學(xué)分析（第一冊）,第一版M ,北京;高等教育出版社19862:江林.數(shù)學(xué)分析中的問題和反例,第一版M ,云南; 云南科學(xué)出版社 19903:子壽.數(shù)學(xué)分析經(jīng)典習(xí)題解析第一版M,北京; 高等教育出版社 19934:唐仁獻.泰勒公式的新證明及其推廣J,湖南;湖南科技學(xué)院學(xué)報2005,115:齊成輝.泰勒公式的應(yīng)用J ,陜西;陜西師范大學(xué)學(xué)報2003,46:李福興.泰勒公式的若干應(yīng)用J, 梧州;梧州師專學(xué)報1997,3TAYLOR THEOREM AND APPLICATION OF THAT Xieyurong(200311533)Mathematics and Science Academy Mathematics and Applied Mathematics 03classes Mongolia Directed by Siqin Abstract This article introduce several kinds of methods of proving Taylor th