柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面

1、第4章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.1柱面1、已知柱面的準線為：且（1）母線平行于軸；（2）母線平行于直線，試求這些柱面的方程。解：（1）從方程中消去，得到：即：此即為要求的柱面方程。（2）取準線上一點，過且平行于直線的直線方程為：而在準線上，所以上式中消去后得到：此即為要求的柱面方程。2、設(shè)柱面的準線為，母線垂直于準線所在的平面，求這柱面的方程。解：由題意知：母線平行于矢量任取準線上一點，過的母線方程為：而在準線上，所以：消去，得到：此即為所求的方程。3、求過三條平行直線的圓柱面方程。解：過原點且垂直于已知三直線的平面為：它與已知直線的交點為，這三點所定的在平面上的圓的圓心為，圓的方

2、程為：此即為欲求的圓柱面的準線。又過準線上一點，且方向為的直線方程為：將此式代入準線方程，并消去得到：此即為所求的圓柱面的方程。4、已知柱面的準線為，母線的方向平行于矢量，試證明柱面的矢量式參數(shù)方程與坐標式參數(shù)方程分別為：與式中的為參數(shù)。證明：對柱面上任一點，過的母線與準線交于點，則，即亦即，此即為柱面的矢量式參數(shù)方程。又若將上述方程用分量表達，即：此即為柱面的坐標式參數(shù)方程。 4.2錐面1、求頂點在原點，準線為的錐面方程。解：設(shè)為錐面上任一點，過與的直線為：設(shè)其與準線交于，即存在，使，將它們代入準線方程，并消去參數(shù)，得：即：此為所要求的錐面方程。2、已知錐面的頂點為，準線為，試求它的方程。解

3、：設(shè)為要求的錐面上任一點，它與頂點的連線為：令它與準線交于，即存在，使將它們代入準線方程，并消去得：此為要求的錐面方程。3、求以三坐標軸為母線的圓錐面的方程。解：（這里僅求、卦限內(nèi)的圓錐面，其余類推）圓錐的軸與等角，故的方向數(shù)為與垂直的平面之一令為平面在所求的錐面的交線為一圓，該圓上已知三點，該圓的圓心為，故該圓的方程為：它即為要求圓錐面的準線。對錐面上任一點，過與頂點的母線為：令它與準線的交點為，即存在，使，將它們代入準線方程，并消去得：此即為要求的圓錐面的方程。4、求頂點為，軸與平面垂直，且經(jīng)過點的圓錐面的方程。解：軸線的方程為：過點且垂直于軸的平面為：即： 該平面與軸的交點為，它與的距離

4、為：要求圓錐面的準線為： 對錐面上任一點，過該點與頂點的母線為：令它與準線的交點為，即存在，使將它們代入準線方程，并消去得：5、已知錐面的準線為，頂點決定的徑矢為，試證明錐面的矢量式參數(shù)方程與坐標式參數(shù)方程分別為：與式中，為參數(shù)。證明：對錐面上任一點，令，它與頂點的連線交準線于，即。，且（頂點不在準線上）即亦即此為錐面的矢量式參數(shù)方程。若將矢量式參數(shù)方程用分量表示，即：此為錐面的坐標式參數(shù)方程，為參數(shù)。 4.3旋轉(zhuǎn)曲面1、求下列旋轉(zhuǎn)曲面的方程：（1）；繞旋轉(zhuǎn)（2）；繞旋轉(zhuǎn)（3）繞軸旋轉(zhuǎn)；（4）空間曲線繞軸旋轉(zhuǎn)。解：（1）設(shè)是母線上任一點，過的緯圓為：又在母線上。從（1）（3）消去，得到：此為所

5、求的旋轉(zhuǎn)面方程。（2）對母線上任一點，過的緯圓為：因在母線上， (3)從（1）（3）消去，得到：此為所求的旋轉(zhuǎn)面的方程。（3）對母線上任一點，過該點的緯圓為：又在母線上，所以： （3）從（1）（3）消去，得到：此為所求的旋轉(zhuǎn)面方程。（4）對母線上任一點，過的緯圓為：又在母線上，所以從（1）（3）消去，得到：即旋轉(zhuǎn)面的方程為： 2、將直線繞軸旋轉(zhuǎn)，求這旋轉(zhuǎn)面的方程，并就可能的值討論這是什么曲面？解：先求旋轉(zhuǎn)面的方程式：任取母線上一點，過的緯圓為：又 （3）從（1）（3）消去，得到：此即為所求旋轉(zhuǎn)面的方程。當時，旋轉(zhuǎn)面為圓柱面（以軸為軸）；當時，旋轉(zhuǎn)面為圓錐面（以軸為軸，頂點在原點）；當時，旋轉(zhuǎn)面

6、變?yōu)檩S；當時，旋轉(zhuǎn)面為單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面。3、已知曲線的參數(shù)方程為，將曲線繞軸旋轉(zhuǎn)，求旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程。解：如圖，設(shè)為上任一點，則對經(jīng)過的緯圓上任一點，令在面上的射影為令，則，而而此即為旋轉(zhuǎn)面的矢量式參數(shù)方程，為參數(shù)。其坐標式參數(shù)方程為：4.4橢圓面1、做出平面與橢球面的交線的圖形。解：平面與橢球面的交線為： ，即 橢圖形為2、設(shè)動點與點的距離等于從這點到平面的距離的一半，試求此動點的軌跡。解：設(shè)動點，要求的軌跡為，則即：此即為的方程。3、由橢球面的中心（即原點），沿某一定方向到曲面上的一點的距離為，設(shè)定方向的方向余弦分別為，試證：證明：沿定方向到曲面上一點，該點的坐標為該點在曲面上即4、由橢球

7、面的中心，引三條兩兩相互垂直的射線，分別交曲面，設(shè)，試證：證明：利用上題結(jié)果，有其中是的方向余弦。若將所在的直線看成新的坐標系的三個坐標軸，則是坐標矢量關(guān)于新坐標系的方向余弦，從而，同理，所以，即：5、一直線分別交坐標面于三點，當直線變動時，直線上的三定點也分別在三個坐標面上變動，另外，直線上有第四點，它與三點的距離分別為，當直線按照這樣的規(guī)定（即保持分別在三坐標面上）變動，試求點的軌跡。解：設(shè)，則知：又設(shè)，又在的連線上，（4）從（1）（4）消去，得到此為點的軌跡方程。6、已知橢球面，試求過軸并與曲面的交線是圓的平面。解：設(shè)要求的平面為：它與橢球面的交線為：（*） 若（*）為圓，因（*）以原點

8、為對稱，故圓心在原點，所以圓的半徑為，從而交線上的點都在球面：上即有：亦即：即：滿足要求的平面方程為： 4.5雙曲面1、畫出以下雙曲面的圖形：（1）； （2）解：圖形如下：2、給定方程試問當取異于的各種數(shù)值時，它表示怎樣的曲面？解：對方程 （*）1、當時，（*）不表示任何實圖形；2、當時，（*）表示雙葉雙曲面；3、當時，（*）表示單葉雙曲面；4、當時，（*）表示橢球面。3、已知單葉雙曲面，試求平面的方程，使這平面平行于面（或面）且與曲面的交線是一對相交直線。解：設(shè)所求的平面為，則該平面與單葉雙曲面的交線為：（*） 亦即 為使交線（*）為二相交直線，則須：，即所以，要求的平面方程為：同理，平行于

9、的平面要滿足它與單葉雙曲面的交線為二相交直線，則該平面為：4、設(shè)動點與的距離等于這點到平面的距離的兩倍，試求這動點的軌跡。解：設(shè)動點，所求軌跡為，則亦即：此為的軌跡方程。5、試求單葉雙曲面與平面的交線對平面的射影柱面。解：題中所設(shè)的交線為：從此方程中消去，得到：此即為要求的射影柱面方程。6、設(shè)直線與為互不垂直的兩條異面直線，是與的公垂線的中點，兩點分別在直線，上滑動，且，試證直線的軌跡是一個單葉雙曲面。證明：以，的公垂線作為軸，作為坐標原點，再令軸與，的夾角均為，公垂線的長為，若設(shè)，則，的方程分別為：令，則有：又，所以：亦即 （2）又設(shè)為上任一點，則 (3)從（1）（3）中消去，得：即： (4

10、)不垂直，（4）表示單葉雙曲面，即的軌跡是一單葉雙曲面。7、試驗證單葉雙曲面與雙葉雙曲面的參數(shù)方程分別為： 與 解：對方程：消去參數(shù)，有：此即為單葉雙曲面；又對方程：消去參數(shù)，有：此即為雙葉雙曲面方程。 4.6拋物面1、已知橢圓拋物面的頂點在原點，對稱面為面與面，且過點和，求這個橢圓拋物面的方程。解：據(jù)題意可設(shè)，要求的橢圓拋物面的方程為：令確定與和均在該曲面上。有：從而所以要求的橢圓拋物面的方程為：即：2、適當選取坐標系，求下列軌跡的方程：（1）到一定點和一定平面距離之比為定常數(shù)的點的軌跡；（2）與兩給定的異面直線等距離的點的軌跡，已知兩異面直線間的距離為，夾角為。解：（1）取定平面為面，過定

11、點且垂直于面的直線作為軸，則定點的坐標設(shè)為，而定平面即為，設(shè)比值常數(shù)為，并令所求的軌跡為，則點即此為的方程。（2）取二異面直線的公垂線為軸，中點的坐標為原點；再取軸，使其與二異面直線的夾角相等，則二異面直線的方程為： 與 設(shè)所求的軌跡為，則即：經(jīng)同解化簡得：此即所要求的軌跡方程。3、畫出下列方程所代表的圖形：（1）；（2）；（3）4、畫出下列各組曲面所圍成的立體的圖形：（1）（2）（3）（4）解：略。5、試驗證橢圓拋物面與雙曲拋物面的參數(shù)方程可分別寫成： 與 式中的為參數(shù)。解：對方程消去參數(shù)得：這正是橢圓拋物面的方程。對方程消去參數(shù)得：這正是雙曲拋物面的方程。 4.7單葉雙曲面與雙葉雙曲面的直

12、母線1、 求下列直紋面的直母線族方程：（1） （2）解：（1）從原方程得：即：亦即：為了避免取極限，將上方程寫成： （1）若將原方程變形為：，則可得到： （2）若令，則（2）便是（1）原曲面的直母線族是（1），其中不全為零。（2）原方程變形為：亦即： （1）由 得： （2）（1）（2）即這原曲面的兩組直母線族方程。2、 求下列直線族所成的曲面（式中的為參數(shù)）（1）； （2）解：（1）原方程等價于從此式中消去，得：此即為直母線（1）所形成的曲面。（2）從原方程中消去得：此即為（2）的直母線族所形成的曲面。3、在雙曲拋物面上，求平行于平面的直母線。解：雙曲拋物面的兩族直母線為： 及 第一族直母線的

13、方向矢量為：第二族直母線的方向矢量為：據(jù)題意，要求的直母線應(yīng)滿足：要求的直母線方程為： 及 4、試證單葉雙曲面的任意一條直母線在面上的射影，一定是其腰圓的比線。證明：單葉雙曲面的腰圓為兩直母線為：它在面內(nèi)的射影為 ： （2）將（2）的第一式代入（1）的第一式得：即：上述方程的判別式為：（2）與（1）相比，證畢。5、求與兩直線與相交，而且與平面平行的直線的軌跡。解：設(shè)動直線與二已知直線分別交于，則，又動直線與平面平行，所以，對動直線上任一點，有：從（1）（4）消去，得到： 6、求與下列三條直線， 與都共面的直線所構(gòu)成的曲面。解：動直線不可能同時平行于直線及直線不妨設(shè)其與第一條直線交于注與第二條直

14、線的平面為：過與直線的平面為動直線的方程為：從上式中消去參數(shù)，得：此為所要求的軌跡方程。7、試證明經(jīng)過單葉雙曲面的一 直母線的每個平面一定經(jīng)過屬于另一族直母線的一條直母線，并舉一反例，說明這個命題與雙曲拋物面的情況下不一定成立。證明：單葉雙曲面的一族直母線為：過該族中一條直母線的平面為： 即： （1）另一族直母線為：過該族中一條直母線的平面為：即 （2）對照（1）、（2）得，只要令，得（2）便是（1）了亦即過族每一直母線的任一平面都經(jīng)過族中的一條直母線，同理，對族的直母線也有類似性質(zhì)。對雙曲拋物面：其族直母線為： （*）取其中的一條（即取定），顯然平面通過直母線（*），但該平面不通過族直母線中

15、的任何一條，這是因為：族直母線的方向矢量為而 平面不能通過族中的任何直母線。8、試求單葉雙曲面上互相垂直的兩條直母線交點的軌跡方程。解：由于過單葉雙曲面上每點僅有一條母線和一條母線，所以它的同族直母線不能相交，設(shè)單葉雙曲面的二垂直相交的直母線為：將兩方程化為標準式，得：由此求出二直線的交點坐標為：又二直線垂直，即又交點在單葉雙曲面上，所以：故交點的軌跡為9、試證明雙曲拋物面上的一兩條直母線直交時，其交點必在一雙曲線上。證明：由于過雙曲拋物面上一點僅有一條族直母線，也僅有一條族直母線，所以同族的直母線不能相交。設(shè)兩相交的直母線為： 其方向矢量為與 其方向矢量為由二直線直交，所以： （*）二直母線的交點坐標為：但由（*）式有： （* *）（* *）為一雙曲線方程，交點在一雙曲線上。10、已知空間兩異面直線間的距