概率論的基本概念

1、第一章 概率論的基本概念【內(nèi)容提要】一、隨機(jī)事件及其運(yùn)算關(guān)系1隨機(jī)現(xiàn)象 在一定條件下，可能出現(xiàn)不同結(jié)果(不可預(yù)先確知的)的現(xiàn)象。2隨機(jī)試驗(yàn) 在一定條件下，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀測(cè)或觀察的過(guò)程。隨機(jī)試驗(yàn)具有如下特點(diǎn):.可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；.每次試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；.進(jìn)行試驗(yàn)前不能確定到底會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果。3樣本空間 對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)，盡管在試驗(yàn)之前不能預(yù)知其結(jié)果，但其所有可能結(jié)果是已知的，我們將隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果組成的集合稱為其樣本空間，用表示，并稱為樣本點(diǎn)。4隨機(jī)事件 設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，而，且滿足:.；.,有；.,有。則稱是隨機(jī)試驗(yàn)的事件域，而稱為隨機(jī)事件

2、。注:設(shè)為隨機(jī)事件，則.發(fā)生包含于中的任一樣本點(diǎn)發(fā)生；.必然事件即樣本空間，而不可能事件即空集。5隨機(jī)事件的運(yùn)算關(guān)系 設(shè)為隨機(jī)事件，則事件的包含關(guān)系:；事件的相等關(guān)系:；事件的和運(yùn)算:， ；事件的積運(yùn)算:， ； 積事件還可將省略，直接表示為；事件的差運(yùn)算:；事件的互斥關(guān)系:；事件的對(duì)立關(guān)系:，這時(shí)記。若，有，則稱兩兩互斥，這時(shí)，它們的和事件可表為:。注:事件的運(yùn)算關(guān)系具有如下性質(zhì):交換律: ；結(jié)合律: ；分配律: ；德摩根律: 。二、隨機(jī)事件的頻率與概率1隨機(jī)事件的頻率 設(shè)在相同條件下，進(jìn)行了次試驗(yàn)，事件發(fā)生了次，則稱為這 次試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率。事件的頻率具有如下性質(zhì):非負(fù)性: ，有；規(guī)范性

3、: ；單調(diào)性: 若，則；可加性: 若兩兩互斥，則；穩(wěn)定性: 當(dāng)時(shí)，將穩(wěn)定到某一確定的值，稱這個(gè)數(shù)為事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率。事件的概率也具有類似的非負(fù)性、規(guī)范性、單調(diào)性及可加性。2概率的公理化定義 設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，而隨機(jī)試驗(yàn)的事件域，是定義于事件域上實(shí)值函數(shù)，且滿足以下條件:非負(fù)性: ，有；規(guī)范性: ；可列可加性: 對(duì)任意可列無(wú)窮多個(gè)兩兩互斥的事件，有。 則稱為事件的概率。事件的概率有如下性質(zhì):.不可能事件的概率為零，即；.有限可加性:若是兩兩互斥的事件，則；.單調(diào)性:若，則；.對(duì)立事件的概率:；.加法公式:對(duì)任意個(gè)事件，有:.三、概率的計(jì)算1古典概率 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間具有如下特

4、點(diǎn):是有限集合，即只包含(有限)個(gè)互異的樣本點(diǎn)；試驗(yàn)中每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性都相同；則稱其為古典概率模型，此時(shí)，如果事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)為，則事件的概率應(yīng)為:。2幾何概率 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間具有如下特點(diǎn):是無(wú)限集合，但其測(cè)度(長(zhǎng)度、面積、體積等)有限，即；任一事件發(fā)生的概率與其測(cè)度成正比；則稱其為幾何概率模型，事件的概率應(yīng)為。3條件概率 設(shè)為兩個(gè)事件，則規(guī)定在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率為: 。條件概率也滿足概率的性質(zhì):非負(fù)性: ，有；規(guī)范性: ；可列可加性: 若兩兩互斥，則。4概率論基本公式乘法公式:設(shè)為個(gè)事件，則。全概率公式與公式:設(shè)兩兩互斥，且，則 ，且。5事件的獨(dú)立性:設(shè)為個(gè)事件，且

5、其中任意個(gè)事件的積事件之概率都等于這個(gè)事件的概率之乘積，則稱相互獨(dú)立?！径ɡ怼吭O(shè)相互獨(dú)立，則兩兩獨(dú)立，且；相互獨(dú)立，且；?！镜谝徽伦鳂I(yè)】一、單項(xiàng)選擇題1、在下列四個(gè)條件中，能使一定成立的是()A； B獨(dú)立； C互斥； D。2、設(shè)隨機(jī)事件互斥，且，則()A； B； C； D。3、設(shè)為隨機(jī)事件，且，則必有()A； B； C； D。4、將兩封信隨機(jī)地投入四個(gè)郵筒中，則未向前面兩個(gè)郵筒中投信的概率為()A； B； C； D。5、某人向一目標(biāo)連續(xù)射擊，直到命中目標(biāo)為止，每次命中的概率為，則射擊次數(shù)為的概率為()A； B； C； D。二、填空題1、將一枚均勻的硬幣拋擲次，觀察正、反面出現(xiàn)的情況，則此隨機(jī)試

6、驗(yàn)的樣本空間為: ；2、設(shè)為隨機(jī)事件，用的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件:中至少發(fā)生一個(gè):；中至多發(fā)生一個(gè):；發(fā)生而不發(fā)生:。3、設(shè)為隨機(jī)事件，且，則的最大值為，最小值為；4、設(shè)為隨機(jī)事件，且，則中至少發(fā)生一個(gè)的概率為；5、設(shè)為隨機(jī)事件，且，則。三、計(jì)算題1、在件產(chǎn)品中有件次品、件正品，任取件產(chǎn)品，求恰好有件次品的概率及至少有件次品的概率。解:，。2、從雙不同的鞋子中任取只，求所取的只鞋子中至少有只能配成一雙的概率。解:。3、根據(jù)以往資料表明，某地區(qū)的三口之家中患某種傳染病的情況有如下規(guī)律: ,求某三口之家中孩子及母親得病而父親未得病的概率。解:。4、某種商品的商標(biāo)應(yīng)為“”,其中兩個(gè)字母脫落,有人撿起來(lái)

7、后隨意放回，求放回后仍為“”的概率。解:用表示脫落的字母為商標(biāo)“”中第個(gè)字母(從左數(shù)起)，用表示將脫落的字母放回后仍為“”,則，故。5、在件產(chǎn)品中有件次品、件正品，從中不放回地任取件產(chǎn)品，求下列事件的概率:.兩件都是正品:；.兩件都是次品:；.一件是正品、另一件是次品:；.第二件是次品:。6、高射炮向敵機(jī)發(fā)射三枚炮彈，設(shè)每發(fā)炮彈擊中敵機(jī)的概率為(每發(fā)擊中與否相互獨(dú)立)，而敵機(jī)中一彈時(shí)墜落的概率為，中兩彈時(shí)墜落的概率為，中三彈時(shí)墜落的概率為。.求敵機(jī)被擊落的概率；.若敵機(jī)被擊落，求它只中一彈的概率。解:用表示敵機(jī)中彈，用表示敵機(jī)被擊落,則，故，。7、已知男子中有是色盲患者，女子中有是色盲患者，現(xiàn)從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地選一人，問(wèn)此人是色盲患者的概率為多少?若已知此人是色盲患者，求此人是男性的概率。解:用表示所選人為男性，表示所選人為色盲患者，則，故，。8、甲、乙、丙三人獨(dú)立地去破譯密碼，已知甲、乙、丙各自能譯出密碼的概率分別為，問(wèn)三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率為多少?解:用分別表示甲、乙、丙三人能將此密碼譯出，則。9、三人同在一間辦公室工作，房間內(nèi)有一部電話，據(jù)統(tǒng)計(jì)知，來(lái)電是打給的概率分別為，他們?nèi)顺Ｒ蚬獬?，三人外出的概率分別為，且三人的行動(dòng)相互獨(dú)立，求.無(wú)人接電話的概