數(shù)學建模人口增長模型

1、人口增長預測模型摘要本文建立了我國人口增長的預測模型，對各年份全國人口總量增長的中短期和長期趨勢作出了預測，并對人口老齡化、人口撫養(yǎng)比等一系列評價指標進行了預測。最后提出了有關人口控制與管理的措施。模型：建立了Logistic人口阻滯增長模型，利用附件2中數(shù)據(jù)，結合網(wǎng)上查找補充的數(shù)據(jù)，分別根據(jù)從1954年、1963年、1980年到2005年三組總人口數(shù)據(jù)建立模型，進行預測，把預測結果與附件1國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告中提供的預測值進行分析比較。得出運用1980年到2005年的總人口數(shù)建立模型預測效果好，擬合的曲線的可決系數(shù)為0.9987。運用1980年到2005年總人口數(shù)據(jù)預測得到2010年、2

2、020年、2033年我國的總人口數(shù)分別為13.55357億、14.18440億、14.70172億。模型：考慮到人口年齡結構對人口增長的影響，建立了按年齡分布的女性模型（Leslie模型）： 以附件2中提供的2001年的有關數(shù)據(jù)，構造Leslie矩陣，建立相應 Leslie模型；然后，根據(jù)中外專家給出的人口更替率1.8，構造Leslie矩陣，建立相應的 Leslie模型。首先，分別預測2002年到2050年我國總人口數(shù)、勞動年齡人口數(shù)、老年人口數(shù)（見附錄8），然后再用預測求得的數(shù)據(jù)分別對全國總人口數(shù)、勞動年齡人口數(shù)的發(fā)展情況進行分析，得出：我國總人口在2010年達到14.2609億人，在202

3、0年達到14.9513億人，在2023年達到峰值14.985億人；預測我國在短期內(nèi)勞動力不缺，但須加強勞動力結構方面的調(diào)整。其次，對人口老齡化問題、人口撫養(yǎng)比進行分析。得到我國老齡化在加速，預計本世紀40年代中后期形成老齡人口高峰平臺，60歲以上老年人口達4.45億人，比重達33.277%；65歲以上老年人口達3.51億人，比重達25.53%；人口撫養(yǎng)呈現(xiàn)增加的趨勢。再次，討論我國人口的控制，預測出將來我國育齡婦女人數(shù)與生育旺盛期育齡婦女人數(shù)，得到育齡婦女人數(shù)在短期內(nèi)將達到高峰，隨后又下降的趨勢的結論。最后，分別對模型與模型進行殘差分析、優(yōu)缺點評價與推廣。關鍵詞 Logistic人口模型 Le

4、slie人口模型 人口增長預測 MATLAB軟件§1、問題重述一、背景知識：中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關鍵因素之一。我國人口發(fā)展經(jīng)歷了多個階段，近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點，例如，老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國人口的增長。全面建設小康社會時期是我國社會快速轉型期，人口發(fā)展面臨著前所未有的復雜局面，人口安全面臨的風險依然存在二、相關數(shù)據(jù)：附件1 國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告附件2 人口數(shù)據(jù)（中國人口統(tǒng)計年鑒中的部分數(shù)據(jù)）及其說明根據(jù)已有數(shù)據(jù)三、要解決的問題：1、試從中國的實際情況和人口增長的上述特點出發(fā)，參

5、考附件2中的相關數(shù)據(jù)（也可以搜索相關文獻和補充新的數(shù)據(jù)），建立中國人口增長的數(shù)學模型，并由此對中國人口增長的中短期和長期趨勢做出預測；特別要指出你們模型中的優(yōu)點與不足之處。2、利用所建立模型的預測結果，參照附件1的相關敘述對反映中國人口增長特點的一系列指標如人口老齡化、人口撫養(yǎng)比等進行分析預測。3、根據(jù)模型的計算結果，對未來人口發(fā)展高峰進行預測并針對中國人口的調(diào)控和管理進行分析。§2、問題分析人口的變化受到眾多方面因素的影響，因此對人口的預測與控制也就十分復雜，很難在一個模型中綜合考慮到各個因素的影響。為了更好的解決此問題，我們分析了題目以及附錄1中所給的相關信息，考慮到可以根據(jù)對人

6、口增長不同的評價指標及不同的時期建立多個模型分別加以討論。一、從附件1中，我們看到過去一些專家對中國的總人口數(shù)做出了2010年、2020年分別達到13.6億人和14.5億人，2033年前后達到峰值15億人左右的預測。因而，我們也可以先對總人口的增長趨勢做出自己的預測與專家預測數(shù)據(jù)進行比較，對于預測所要用到的一些相關數(shù)據(jù)，我們作了相應的補充，由此我們建立了模型：阻滯增長模型。二、模型只考慮了人口總數(shù)，對人口總數(shù)進行了預測分析。但實際中在對人口進行分析時，按年齡段分布的人口結構是非常重要的。在人口總數(shù)一定時，不同年齡段的人的生育率和死亡率是不同的，它們對人口未來發(fā)展的影響也是很不一樣的。為了討論不

7、同年齡段的人口分布對人口增長的影響，我們依據(jù)附件2建立了模型：按年齡分布的Leslie模型。三、由模型和模型的結果我們預測了人口總數(shù)的發(fā)展趨勢，由模型的計算結果我們還能夠得到各年份處在各年齡段的人口數(shù)量、男女比率的預測值。根據(jù)這些預測值我們可以計算出反映人口增長特點的其他指標，由此我們可以對模型的計算結果進行進一步的分析。§3、合理的假設1、社會穩(wěn)定，不會發(fā)生重大自然災害和戰(zhàn)爭不隨時間而變化2、超過90歲的婦女（老壽星）都按90歲年齡計算3、在較短的時間內(nèi)，平均年齡變化較小，可以認為不變4、不考慮移民對人口總數(shù)的影響§4、名詞解釋與符號說明一、名詞解釋1、總和生育率指一定時

8、期（如某一年）各年齡組婦女生育率的合計數(shù)，說明每名婦女按照某一年的各年齡組生育率度過育齡期，平均可能生育的子女數(shù)，是衡量生育水平最常用的指標之一。2、更替水平指這樣一個生育水平，同一批婦女生育女兒的數(shù)量恰好能替代她們本身。一旦達到生育更替水平，出生和死亡將逐漸趨于均衡，在沒有國際遷入與遷出的情況下，人口將最終停止增長，保持穩(wěn)定狀態(tài)。3、人口撫養(yǎng)比指人口總體中非勞動年齡人口數(shù)與勞動年齡人口數(shù)之比。通常用百分比表示。說明每 100 名勞動年齡人口大致要負擔多少名非勞動年齡人口。用于從人口角度反映人口與經(jīng)濟發(fā)展的基本關系。根據(jù)勞動年齡人口的兩種不同定義（ 15-59 歲人口或 15-64 歲人口），

9、計算總撫養(yǎng)有兩種方式4、人口老齡化指人口中老年人比重日益上升的現(xiàn)象。 促使人口老齡化的直接原因是生育率和死亡率降低，主要是生育率降低。一般認為，如果人口中65歲及以上老年人口比重超過7%，或60歲及以上老年人口比重超過10%，那么該人口就屬于老年型。5、出生人口性別比是活產(chǎn)男嬰數(shù)與活產(chǎn)女嬰數(shù)的比值，通常用女嬰數(shù)量為100時所對應的男嬰數(shù)來表示。正常情況下，出生性別比是由生物學規(guī)律決定的，保持在103107之間。二、符號說明序號符號意義1：表示年份（選定初始年份的）2人口增長率3：人口數(shù)量4：自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量5：可決系數(shù)6：在時間段第年齡組的人口總數(shù)7：第年齡組的生育率8

10、：第年齡組的死亡率9：第年齡組的存活率10：Leslie矩陣11：2001年全國人口總數(shù)12：2001年城市總人口13：2001年鎮(zhèn)總人口14：2001年鄉(xiāng)總人口15：2001年第年齡段的人口總數(shù)16：時分別表示市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)的女孩出生率17：時段具有勞動能力的人口18：社會的撫養(yǎng)比指數(shù)19:總和生育率20：時段年齡組中女性所占的百分比§5、模型的建立與求解模型：阻滯增長模型（Logistic模型）1一、模型的準備阻滯增長模型的原理：阻滯增長模型是考慮到自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增長的阻滯作用，對指數(shù)增長模型的基本假設進行修改后得到的。阻滯作用體現(xiàn)在對人口增長率的影響上，使得隨著人口

11、數(shù)量的增加而下降。若將表示為的函數(shù)。則它應是減函數(shù)。于是有： （1）對的一個最簡單的假定是，設為的線性函數(shù)，即 （2）設自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量，當時人口不再增長，即增長率，代入（2）式得，于是（2）式為               （3）將（3）代入方程（1）得：             （4）解方程（4）可得： （5）二、模型的建立為了對以后一定時

12、期內(nèi)的人口數(shù)做出預測，我們首先從中國經(jīng)濟統(tǒng)計數(shù)據(jù)庫（）上查到我國從1954年到2005年全國總人口的數(shù)據(jù)如表1。表1 各年份全國總人口數(shù)（單位：千萬）年份195419551956195719581959196019611962總人口60.261.562.864.666.067.266.265.967.3年份196319641965196619671968196919701971總人口69.170.472.574.576.378.580.783.085.2年份197219731974197519761977197819791980總人口87.189.290.992.493.795.096.259

13、97.598.705年份198119821983198419851986198719881989總人口100.1101.654103.008104.357105.851107.5109.3111.026112.704年份199019911992199319941995199619971998總人口114.333115.823117.171118.517119.850121.121122.389123.626124.761年份1999200020012002200320042005總人口125.786126.743127.627128.453129.227129.988130.7561、將195

14、4年看成初始時刻即，則1955為，以次類推，以2005年為作為終時刻。用函數(shù)（5）對表1中的數(shù)據(jù)進行非線性擬合，運用Matlab編程（程序見附錄1）得到相關的參數(shù)，可以算出可決系數(shù)（可決系數(shù)是判別曲線擬合效果的一個指標）：由可決系數(shù)來看擬合的效果比較理想。所以得到中國各年份人口變化趨勢的擬合曲線： （6）根據(jù)曲線（6）我們可以對2010年（）、2020年（）、及2033年（）進行預測得（單位：千萬）：結果分析：從附錄1所給信息可知從1951年至1958年為我國第一次出生人口高峰，形成了中國人口規(guī)?！坝删彽娇臁钡脑鲩L基礎；因此這段時期人口波動較大，可能影響模型結果的準確性。1959、1960、1

15、961年為三年自然災害時期，這段時期人口的增長受到很大影響，1962年處于這種影響的滯后期，人口的增長也受到很大影響?？偟膩碚f1951-1962年的人口增長的隨機誤差不是服從正態(tài)分布，由于上面的曲線擬合是用最小二乘法，所以很難保證擬合的準確性。因此我們再選擇1963年作為初始年份對表1中的數(shù)據(jù)進行擬合。2、 將1963年看成初始時刻即，以2005年為作為終時刻。運用Matlab編程（程序見附錄2）得到相關的參數(shù)，可以算出可決系數(shù)得到中國各年份人口變化趨勢的另一擬合曲線： （7）根據(jù)曲線（7）我們可以對2010年（）、2020年（）、及2033年（）進行預測得（單位：千萬）：結果分析：1963年

16、-1979年其間，人口的增長基本上是按照自然的規(guī)律增長，特別是在農(nóng)村是這樣，城市受到收入的影響，生育率較低，但都有規(guī)律可尋?？偟膩碚f，人口增長的外界大的干擾因素基本上沒有，可以認為這一階段隨機誤差服從正態(tài)分布；1980-2005年這一時間段，雖然人口的增長受到國家計劃生育政策的控制，但計劃生育的政策是基本穩(wěn)定的，這一階段隨機誤差也應服從正態(tài)分布（當然均值與方差可能不同）因此用最小二乘法擬合所得到的結果應有較大的可信度。3、從1980-2005年，國家計劃生育政策逐漸得到完善及貫徹落實，這個時期的人口增長受到國家計劃生育政策的控制，人口的增長方式與上述的兩個階段都不同。因此我們進一步選擇1980

17、年作為初始年份2005年作為終時刻進行擬合。運用Matlab編程（程序見附錄3）得到相關的參數(shù)，可以算出可決系數(shù)得到中國各年份人口變化趨勢的第三條擬合曲線：                                     

18、   （8）根據(jù)曲線（7）我們可以對2010年（）、2020年（）、及2033年（）進行預測得（單位：千萬）：結果分析：這一時期，國家雖然對人口大增長進行了干預，但國家的計劃生育的政策是基本穩(wěn)定的，在此其間沒有其他大的干擾，所以人口增長的隨機誤差應服從正態(tài)分布。所以我們的結果應是比較可信的。我們分別根據(jù)擬合曲線（6）、（7）、（8）對各年份中國總人口進行預測得到結果如表2：表2 各年份全國總人口用不同擬合曲線預測數(shù)（單位：千萬）年份全國總人口預測（單位：千萬）預測曲線（6）預測曲線（7）預測曲線（8）2000126.7649126.3338126.47320031

19、30.5141129.2303129.51682006134.1131.8447132.27582009137.516134.1926134.76382012140.7577136.2917136.99712015143.8231138.1607138.99332018146.7117139.819140.7712021149.4251141.2856142.34892024151.9662142.579143.74522027154.3392143.7168144.97782030156.5494144.7157146.06322033158.6028145.5908147.01722036

20、160.5063146.3562147.85412039162.267147.0247148.58712042163.8924147.6077149.22842045165.3903148.1158149.78862048166.7683148.558150.2775由上表可以看出：用擬合曲線（6）預測得到的數(shù)據(jù)比較大，在2024年總人口就已經(jīng)超過了151.9662千萬，而且一直以比較快的速度增長到2048年達到了166.7683千萬。用擬合曲線（7）預測得到的數(shù)據(jù)偏小，到2048年人口只有148.558千萬。相比較而言用擬合曲線（8）預測的數(shù)據(jù)比較接近附件1中的預測。畫出圖形如圖1：圖1：對

21、各年份全國總人口數(shù)的預測 模型：按年齡分布的Leslie模型2一、模型的準備將人口按年齡大小等間隔地劃分成個年齡組（譬如每10歲一組），模型要討論在不同時間人口的年齡分布，對時間也加以離散化，其單位與年齡組的間隔相同。時間離散化為.設在時間段第年齡組的人口總數(shù)為，定義向量，模型要研究的是女性的人口分布隨的變化規(guī)律，從而進一步研究總人口數(shù)等指標的變化規(guī)律。設第年齡組的生育率為，即是單位時間第年齡組的每個女性平均生育女兒的人數(shù)；第年齡組的死亡率為，即是單位時間第年齡組女性死亡人數(shù)與總人數(shù)之比，稱為存活率。設、不隨時間變化，根據(jù)、和的定義寫出與應滿足關系：     &#

22、160;      （9）在（9）式中我們假設中已經(jīng)扣除嬰兒死亡率，即扣除了在時段以后出生而活不到的那些嬰兒。若記矩陣 （10）則（9）式可寫作     （11）當、已知時，對任意的有 （12）若（10）中的元素滿足（）；（），且至少一個。則矩陣稱為Leslie矩陣。 只要我們求出Leslie矩陣并根據(jù)人口分布的初始向量，我們就可以求出時段的人口分布向量。二、模型的建立我們以2001年為初始年份對以后各年的女性總數(shù)及總人口數(shù)進行預測，根據(jù)附件2中所給數(shù)據(jù)，以一歲為間距對女性分組。(1) 計算2001年處在各個年齡上的婦女人數(shù)

23、的分布向量：附件2給了2001年中國人口抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，提取為表3表 3城市男147907城市女147465鎮(zhèn)男80279鎮(zhèn)女77976鄉(xiāng)男394690鄉(xiāng)女372242根據(jù)抽樣調(diào)查的結果，可以算出2001年城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)人口占2001年全國總人口的比率分別為：我們由表1數(shù)據(jù)知2001年全國總人口（單位：千萬），因此可以算出2001年城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)的總人口分別為（單位：千萬）：、根據(jù)附件2給的2001年城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)各個年齡段的女性比率，可以分別算出2001年城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)處在第年齡段的女性的總數(shù)分別為。以城市為例，設2001年城市中處在年齡段婦女占城市總人口比率分別為，則（鎮(zhèn)、鄉(xiāng)類似）。于是可以算出20

24、01年處在第年齡段上的婦女總人數(shù)（見附錄7）。（2）計算處在第年齡段的每個女性平均生育女兒的人數(shù)。附件2中分別給出了2001年城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)育齡婦女（15歲49歲）的生育率（此處應該是包含男孩和女孩）（或時都為0），則可以分別算出2001年處在第年齡段的城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)育齡婦女總共生育的小孩數(shù)（包含男孩和女孩），記為：。以城市為例計算：（鎮(zhèn)、鄉(xiāng)類似）。附件2中還分別給出了2001年市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)的男女出生人口性別比（女100計），據(jù)此可以分別計算出城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)女孩的出生率。由此就可以求出2001年處在第年齡段的每個女性平均生育女兒的人數(shù)：，由于總和生育率： 經(jīng)計算得到總和生育率小于1.8，誤差很大，我們

25、對生育率進行修正：具體計算結果見附錄7。(3) 計算第年齡段的女性總存活率率：記第年齡段的女性的死亡率為。附件2中分別給出了城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)處在第年齡段的女性死亡率，則處在第年齡段的女性總死亡率為：，于是總存活率為：見附錄4。用EXCEL對計算出來的數(shù)據(jù)進行整理，然后運用MATLAB軟件進行編程，計算出Leslie矩陣，于是可以用上面(12)式進行預測。三、對模型結果作進一步討論我國人口發(fā)展形勢復雜，目前人口的低生育水平面臨著嚴峻的挑戰(zhàn)，下面我們分別從如下方面分析預測我國人口發(fā)展將要面臨的復雜局面。（1）人口總量與勞動力人口的發(fā)展變化根據(jù)考慮種群結構的Leslie離散模型，利用2001年的數(shù)據(jù)建立

26、人口預測模型。通過分析，計算出我國人口的預測值，對應作出的我國勞動年齡人口與總人口的折線圖如下：圖2 我國全國總人口與勞動年齡人口折線圖根據(jù)圖2 可以知道從2001年到2023年預測我國全國總人口是呈現(xiàn)上升趨勢的，隨后幾年呈現(xiàn)緩慢下降的趨勢?？側丝谠?010年、2020年分別達到14.2609億人和14.9513億人，在2023年達到峰值14.985億人，在2033年達到14.7455億人。把預測數(shù)值與附件2中所提供的預測數(shù)值進行比較，發(fā)現(xiàn)我們預測的未來人口的高峰期提前10年。這一方面可能由我國男女的出生性別比例中女性所占的比例較小的原因；另一方面，我們計算出人口更替率僅為1.42（此為5年的

27、均值），而中外專家對我國90年代中期以來的人口更替率的計算結果為1.8（見附錄10），兩者相差甚遠，這說明附錄-提供的數(shù)據(jù)可能不夠真實，從而導致了我國人口峰值的預測年份提前。根據(jù)圖2，我國勞動年齡人口龐大，15-64歲的勞動年齡人口2010年為10.4421億人，2013年將達到高峰10.4852億人，隨后勞動年齡人口呈現(xiàn)下降的趨勢。由此，可知在相當長的時間內(nèi)，我國不缺勞動力，但需要加強勞動力結構性的調(diào)整，同時由于我國計劃生育等宏觀政策的影響，近幾年總和生育率已降低到1.8，并將穩(wěn)定在1.8的水平上，所以經(jīng)過較長的時期，我國的勞動年齡人口將有所降低。（2）人口老齡化與人口撫養(yǎng)比通過計算分析人口

28、結構持續(xù)老齡化，運用Leslie離散模型，通過MATLAB軟件計算出我國60歲以上與65歲以上的老齡人口數(shù)，做出散點圖如下：圖3 我國老年人口預測值的折線圖從圖3可以直觀的看出我國老齡人口在持續(xù)增加，說明我國老齡化進程在加速。同時做出未來我國老齡人口占總人口的比例的折線圖如下：圖4 我國老齡人口占總人口預測比例的折線圖從圖3，圖4得到：2001年我國60歲以上老年人口已達到1.5538億人，占總人口的11.5693%。到2020年，60歲以上老年人口將達到2.907億人比重為19.443%；65歲以上老年人口將達到2.0628億人比重從2000年的8.009%增長到13.797%。預計本世紀4

29、0年代中后期形成老齡人口高峰平臺，60歲以上老年人口達4.45億人，比重達33.277%；65歲以上老年人口達3.51億人，比重達25.53%。綜上可知我國老齡人口數(shù)量大，老齡化速度快，高齡趨勢明顯，加上我國人口基數(shù)大，所以我國是個老齡人口多的國家。老齡化也在一定程度上導致了我國人口撫養(yǎng)比的不斷增高。下面計算人口撫養(yǎng)比指數(shù)：設與分別為男性與女性中具有勞動能力的年齡組，則時段具有勞動能力的人口為,而為時段由社會撫養(yǎng)的失去勞動能力與老人或尚未具有勞動能力的為成年人的數(shù)量。定義社會的撫養(yǎng)比指數(shù)，即平均每一勞動者撫養(yǎng)的無勞動能力的人數(shù)。我們以014歲為沒有勞動能力的兒童，以15-64歲為具有勞動能力的

30、年齡勞動人口，以65歲及以上的為老齡人口。首先，通過MATLAB編程計算出2002到2051年0-14歲、15-64歲、65歲及5以上三段的人數(shù)；其次，根據(jù)人口撫養(yǎng)比的含義，計算出每一年份的人口撫養(yǎng)比得出人口撫養(yǎng)比。得出的每年人口撫養(yǎng)比的折線圖如下：圖5 預測人口撫養(yǎng)比從圖5 可以看出預測的以后各年的人口撫養(yǎng)比呈增長的趨勢。人口撫養(yǎng)比比較高主要原因有：每年新生嬰兒數(shù)目在增加；老齡化的加劇，老齡人口數(shù)量大；15-64歲年齡段中的人的殘疾、生病而無勞動能力等。（3）人口調(diào)控與管理現(xiàn)階段我國生育水平的不穩(wěn)定性，根據(jù)建立的Leslie模型，運用MATLAB軟件計算出2000年到2050年我國育齡婦女（

31、15-49歲）人口，并做出的散點圖如下：圖6 未來我國育齡婦女（15-49歲）人口預測從圖6中可以看出我國育齡婦女（15-49歲）人口在2010年左右到達到高峰，圖7 未來我國生育旺盛期育齡婦女（20-29）人數(shù)預測從圖7我們發(fā)現(xiàn)，我國生育旺盛期育齡婦女（20-29）人數(shù)在2012年將達到高峰，到2025年左右有進入一個小低谷，然后再2037年左右有達到一個小高峰。第二個我國生育旺盛期育齡婦女（20-29）人數(shù)小高峰的原因在于在2012年人口出生高峰期的女嬰到2037年時達到生育旺盛期，因此，在2025年生育旺盛期育齡婦女（20-29）人數(shù)達到低谷時有回升的形勢。§6、誤差分析與靈敏

32、度分析一、模型的殘差分析：1、運用Matlab軟件計算出用1954年到2005年的總人口數(shù)進行擬合產(chǎn)生的殘差,再利用EXCEL作出殘差的散點圖如下：圖8 殘差分析從圖8可以看出殘差在坐標軸上下波動，但是，不是呈現(xiàn)正態(tài)分布，并且殘差絕對值之和為57.9992，是比較大，因此擬合的效果不太好。2、利用1963年到2005年的總人口數(shù)，根據(jù)Logistic模型的形式，用Matlab軟件進行擬合，并求出殘差序列，再利用EXCEL進行處理，并作出殘差散點圖如下：圖9 殘差分析圖通過圖9，可以看出殘差值大致分布在坐標軸的上下，呈現(xiàn)對稱分布，又有Matlab軟件計算出擬合的殘差絕對值之和為27.8046，因

33、此效果較好。3、利用1980年到2005年的人口總數(shù)居，同樣運用Matlab、EXCEL軟件進行分析、處理，作出散點圖如下：圖10 殘差分析圖通過Matlab軟件計算，得出擬合的殘差絕對值之和為10.1699，從圖10可以看出，圖形基本關于坐標軸對稱，所以你和效果比較好。二、靈敏度分析：1、在不同的總合生育率下按照前面的方法分別計算從2001年到2050年全國人口總數(shù)的預測值（程序見附錄6），并畫出圖形如圖11圖11：在不同的k值下對各年份全國總人口數(shù)的預測 由圖11可以看出當值很小時人口增長比較緩慢，達到峰值后人口數(shù)量很快下降出現(xiàn)嚴重負增長；當值很大時人口增長速度很快，達到峰值后下降的速度緩

34、慢，在此情況下人口數(shù)量急劇膨脹。只有當值適中時，總人口增長才比較穩(wěn)定。2、再在不同的總和生育率下按照前面的方法分別計算從2001年到2050年全國老齡化變化趨勢（程序見附錄6），并畫出圖形如圖12 圖12：在不同的k值下對各年份老齡化變化趨勢 由圖12可以看出值越小，老齡化增大的速度越快；值越大老齡化指數(shù)增長平緩年齡結構穩(wěn)定，有利于社會發(fā)展。由以上分析可知國家在制定人口政策時要多方面考慮，如果只看重對人口總數(shù)的控制可能導致社會老齡化嚴重、勞動力不足這顯然是不利于社會經(jīng)濟發(fā)展的；相反如果為了防止社會老齡化加快而放任人口的增長，也會導致社會人口過多對資源和環(huán)境帶來巨大壓力。因此只有掌握好一個“平衡

35、點”正確制定政策才能使國民經(jīng)濟持續(xù)增長，人民生活水平不斷提高。§7、模型的評價與推廣一、模型的優(yōu)點：1、在用模型對各年全國人口總數(shù)預測時結合實際情況，分別用不同時間段的數(shù)據(jù)擬合確定了三個預測函數(shù)。并對三個函數(shù)預測的數(shù)據(jù)進行了對比分析，使模型的計算結果更加準確。2、利用EXCEL軟件對數(shù)據(jù)進行處理并作出各種平面圖，簡便，直觀、快捷； 3、運用多種數(shù)學軟件進行計算，取長補短，使計算結果更加準確;4、在模型中我們充分考慮到不同年齡的個體具有不同的生育能力和死亡率，采用leslie模型，建立年齡結構的離散模型，并通過合理假設，在時間跨度不大的前提下，對人口數(shù)量僅此進行了預測，得到人口數(shù)量變化

36、趨勢圖2與<<國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究：人口發(fā)展預測>>課題中未來我國總人口，勞動人口及人口扶養(yǎng)比預測 及未來我國人口老齡化預測趨勢圖基本一致。因為原始數(shù)據(jù)得到的人口總和生育率跟實際情況不符，我們對此進行了合理修正，使預測更為準確。在模型中我們還進行了參差分析，在模型中我們對不同的平均婦女生育胎數(shù)下人口總數(shù)及老齡化趨勢進行了分析，得到適合平均生育胎數(shù)的最佳值。二、模型的缺點：在模型假設中我們及不隨時段的變遷而改變這一理想狀態(tài)下，但出生率及死亡率會隨時間的變化而有所該變，本模型沒有建立與死亡率隨時間變化的動態(tài)模型，因而存在一定的誤差；三、模型的改進：隨著人民的生活水平的提高和

37、醫(yī)療衛(wèi)生的改善，各年齡的死亡率不斷下降，存活率不斷提高。因此我們可以對Leslie模型進行進一步改變：記時段年齡組中女性所占的百分比為，并設為育齡女性的年齡組，則時段新生兒為我們引入控制變量，使得=1，這里，稱為女性生育模式，我們將lestie矩陣變成：其中 在一定時期內(nèi)（這里j從0到90），為平均生育胎數(shù)，和可視為與無關的常數(shù)，我們可以通過控制結婚年齡和生育兩胎間的年齡差來求的最佳值，從而達到控制人口數(shù)量和年齡結構的目的。四、模型的推廣：本文首先不考慮年齡結構對人口增長的影響，建立Logistic人口預測模型；然后，逐步改進，考慮年齡結構對人口增長的影響，建立Leslie模型，對人口增長進行

38、預測，這種由簡到繁，逐步加深的思路，可以應用到較復雜問題的處理上。參考文獻1 姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學模型M.北京:.2003年8月第三版；2 姜啟源.數(shù)學模型M.北京: 高等教育出版社.1987年4月第一版；3 于洪彥.Excel統(tǒng)計分析與決策M.北京:高等教育出版社.2006年4月；4 胡守信,李柏年.基于MATLAB的數(shù)學實驗M.北京:科學出版社.2004年6月；5 揚啟帆,康旭升,等.數(shù)學建模M.北京: 高等教育出版社.2006年5月；6 于學軍.中國人口科學2000年第2期,時間:2000-4-6,中國人口信息網(wǎng).附錄附錄1：t=0:51; %令1954年為初始年x=60.2 61

39、.5 62.8 64.6 66 67.2 66.2 65.9 67.3 69.1 70.4 72.5 74.5 76.3 78.5 80.7 83 85.2 87.1 89.2 90.9 92.4 93.7 95 96.259 97.5 98.705 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704 114.333 115.823 117.171 118.517 119.85 121.121 122.389 123.626 124.761 125.786 126.743 127.627 128.453 129.2

40、27 129.988 130.756; c,d=solve('c/(1+(c/60.2-1)*exp(-5*d)=67.2','c/(1+(c/60.2-1)*exp(-20*d)=90.9','c','d') ;%求初始參數(shù)b0= 241.9598, 0.02985; %初始參數(shù)值fun=inline('b(1)./(1+(b(1)/60.2-1).*exp(-b(2).*t)','b','t');b1,r1,j1=nlinfit(t,x,fun,b0)y= 180.9871./(

41、1+( 180.9871/60.2-1).*exp( -0.0336.*t); %非線性擬合的方程plot(t,x,'*',t,y,'-or') %對原始數(shù)據(jù)與曲線擬合后的值作圖R1=r1.2;R2=(x-mean(x).2; R=1-R1/R2 %可決系數(shù)W=sum(abs(r1) %殘差絕對值之和附錄2：t=46:3:94y= 180.9871./(1+( 180.9871/60.2-1).*exp( -0.0336.*t)%對總人口進行預測t=0:42; %令1963年為初始年x=69.1 70.4 72.5 74.5 76.3 78.5 80.7 83

42、85.2 87.1 89.2 90.9 92.4 93.7 95 96.259 97.5 98.705 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704 114.333 115.823 117.171 118.517 119.85 121.121 122.389 123.626 124.761 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756; c,d=solve('c/(1+(c/69.1-1)*exp(-5*d)=78.5',

43、9;c/(1+(c/69.1-1)*exp(-20*d)=103.008','c','d'); %求初始參數(shù)b0= 134.368,0.056610; %初始參數(shù)值fun=inline('b(1)./(1+(b(1)/69.1-1).*exp(-b(2).*t)','b','t');b1,r1,j1=nlinfit(t,x,fun,b0)y=151.4513./(1+(151.4513/69.1-1).*exp( -0.0484.*t); %非線性擬合的方程plot(t,x,'*',t,y,

44、'-or') %對原始數(shù)據(jù)與曲線擬合后的值作圖R1=r1.2;R2=(x-mean(x).2; R=1-R1/R2 %可決系數(shù)W=sum(abs(r1) %殘差絕對值之和附錄3：t=37:3:85y=151.4513./(1+(151.4513/69.1-1).*exp( -0.0484.*t)%對總人口進行預測t=0:25; %令1980年為初始年x=98.705 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704 114.333 115.823 117.171 118.517 119.85 12

45、1.121 122.389 123.626 124.761 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756; c,d=solve('c/(1+(c/98.705-1)*exp(-5*d)=105.851','c/(1+(c/98.705-1)*exp(-8*d)=111.026','c','d'); %求初始參數(shù)b0= 109.8216, - 0.19157; %初始參數(shù)值fun=inline('b(1)./(1+(b(1)/98.705-1).*exp(-b

46、(2).*t)','b','t');b1,r1,j1=nlinfit(t,x,fun,b0)y= 153.5351./(1+(153.5351/98.705-1).*exp( -0.0477.*t); %非線性擬合的方程plot(t,x,'*',t,y,'-or') %對原始數(shù)據(jù)與曲線擬合后的值作圖R1=r1.2;R2=(x-mean(x).2; R=1-R1/R2 %可決系數(shù) W=sum(abs(r1) %殘差絕對值之和t=20:3:53y= 153.5351./(1+(153.5351/98.705-1).*exp(

47、-0.0477.*t)%對總人口進行預測附錄4：計算0-14歲，15-64歲，65歲及以上的程序、繪畫出未來我國育齡人數(shù)的程序N=0.680891272 0.58459172 0.584558207 0.692220217 0.72411021 0.775536041 0.847368918 0.834418703 0.917922042 0.951466819 1.070015717 1.249256063 1.199263988 1.202198525 1.274218917 1.111050839 0.992314425 0.893797544 0.874657347 0.9843568

48、77 0.859576778 0.85215346 0.90864418 0.897944807 0.880539323 1.019086724 1.04218667 1.114823731 1.192867199 1.203566572 1.272973995 1.328513576 1.254992403 1.333819445 1.103186123 1.22470307 1.220643442 1.236736319 1.390726415 0.980765111 0.646684069 0.785660623 0.701627592 0.910420112 0.960157646 0

49、.914258713 0.953980568 0.927429956 0.851007759 0.825482359 0.807942823 0.736552002 0.69043204 0.60580295 0.615510624 0.554785663 0.50370135 0.480051762 0.468722817 0.455364059 0.484386541 0.447344681 0.420164498 0.44238033 0.426529091 0.428183875 0.39132953 0.380409129 0.385339967 0.327924574 0.3346

50、97711 0.307330012 0.262864834 0.270663183 0.235872165 0.208725495 0.212001549 0.178456772 0.164260316 0.149842833 0.138734916 0.109899949 0.097358277 0.0765762 0.0638135 0.055794123 0.049396016 0.0382881 0.033544777 0.023870616 0.070211606;N0=N' %第0年（2001年）的女性個年齡段的人口數(shù)A=eye(90);b=0.974906966 0.99

51、9321231 0.99772433 0.999247616 0.999567418 0.999180663 0.999887948 0.999387596 0.999618586 0.999985672 0.999389434 0.999724354 0.999801796 0.999627626 0.999704795 0.999639686 0.999728462 0.999974533 0.999173327 0.998954118 0.999441067 0.999357392 0.999290675 0.998999176 0.999881604 0.998896347 0.998

52、355939 0.999135339 0.999074527 0.998872652 0.999180794 0.998918159 0.999046112 0.999042354 0.999396027 0.998624972 0.998252716 0.999597855 0.998710945 0.999003274 0.999443444 0.999141415 0.998772101 0.998940505 0.997905005 0.998374562 0.997783774 0.997596666 0.997344906 0.996954499 0.996669784 0.996

53、030759 0.995006639 0.996157488 0.994647744 0.995779435 0.995652313 0.99577713 0.992477806 0.994969564 0.988130537 0.989284868 0.988703961 0.988302563 0.98420824 0.984495416 0.985298735 0.980062089 0.978928307 0.977358446 0.971126989 0.969303899 0.969979818 0.96405059 0.961740312 0.96729706 0.9483023

54、46 0.946571559 0.949641387 0.935949391 0.912489482 0.9261805 0.923757863 0.928757906 0.918230333 0.887761389 0.885306858 0.875178086 0.882495752 0.824428701;for i=1:90 A(i,:)=A(i,:)*b(1,i);endA; c=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.478E-05 0.000322169 0.000358246 0.001004604 0.004683367 0.011011165 0.0

55、33616492 0.057875394 0.074871727 0.069182006 0.076039141 0.06724895 0.052429406 0.043732464 0.034350502 0.024632733 0.023252532 0.018343847 0.014701275 0.011039961 0.007117557 0.005094843 0.00359291 0.002514858 0.002484781 0.001764709 0.001471644 0.000676953 0.000265476 0.000401474 0.000408779 0.000110447 0.000192401 0.000389421 0.000224069 0 0 0 0 0 0 0 0 0