曲線系方程的共交點(diǎn)在解題中的應(yīng)用(共4頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上曲線系方程的共交點(diǎn)在解題中的應(yīng)用共交點(diǎn)的曲線系：設(shè)兩已知曲線S1：，S2：，（因?yàn)榉匠探M的公共解肯定滿足方程，其中為任意常數(shù)，所以此方程對(duì)應(yīng)的曲線肯定過(guò)S1和S2的交點(diǎn)。）因此可設(shè)過(guò)兩曲線S1、S2的交點(diǎn)的曲線系方程是：，但曲線系中不包括S2。這種共交點(diǎn)的曲線系方程也具有廣泛的應(yīng)用，我們常見(jiàn)的求軌跡問(wèn)題是一個(gè)定位描述的問(wèn)題，只要給多一個(gè)條件，就可以確定其軌跡方程。本文嘗試?yán)霉步稽c(diǎn)的曲線系方程解題方面作一些探討。一、共交點(diǎn)曲線系方程的一般性運(yùn)用例1：求經(jīng)過(guò)兩圓的交點(diǎn)及點(diǎn)P（1，1）的圓的方程。分析：因?yàn)镃1、C2是圓的方程，所以C1+C2=0是過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程。代

2、入交點(diǎn)的坐標(biāo)，解出即可。例2：求經(jīng)過(guò)兩條曲線和的交點(diǎn)的直線方程。分析：此題可先求出兩個(gè)交點(diǎn)再求直線方程，但計(jì)算量較大。若從曲線與方程的關(guān)系這一角度出發(fā)，只要理解了曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的解之間的關(guān)系，利用共交點(diǎn)的曲線系方程解題，可避免大量的計(jì)算。二、共交點(diǎn)曲線系方程的靈活性運(yùn)用從曲線系方程結(jié)構(gòu)看，若為圓系方程，不要求f（x，y）=0與g（x，y）=0都是圓的方程，只要其中有一個(gè)是圓的方程，它就是圓系方程，因此可延展到直線與圓相交的情形。從運(yùn)動(dòng)的角度看：直線也可以看成圓，因?yàn)橹本€可理解為半徑趨于正無(wú)窮大的圓；點(diǎn)也可以看成圓，因?yàn)辄c(diǎn)可理解為半徑為零的圓，即點(diǎn)圓；因?yàn)閳A系方程可延展到直線與圓相交的情形

3、，因此圓上的切點(diǎn)也可理解為圓的相交直線運(yùn)動(dòng)到相切的位置，即視切點(diǎn)為切線。例1：求過(guò)直線的交點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（5，6）的圓的方程。分析：當(dāng)圓系方程中C1與C2有一條是直線L時(shí)，C1+L=0仍表示過(guò)C1與L交點(diǎn)的圓系方程，L可理解為由圓退化的直線。例2：求與圓相切于點(diǎn)P（3，6），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（5，6）的圓的方程。分析：由例2可知題設(shè)中的直線可理解為由圓退化的直線，所以也把此題中的切點(diǎn)P（3，6）視為由圓退化的點(diǎn)。即點(diǎn)圓：。解法一：切點(diǎn)P（3，6）在已知圓上，將它視為“點(diǎn)圓”：，故建立圓系方程，將點(diǎn)Q（5，6）的坐標(biāo)代入方程，解得。故所求的圓的方程是：。分析：若利用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看待此題：點(diǎn)P可看成一條與

4、圓相交的直線運(yùn)動(dòng)到與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的情形，因此切點(diǎn)P（3，6）又可視為退化的切線。解法二：與圓相切于點(diǎn)P（3，6）的切線方程為： 即故可設(shè)所求的圓系方程為：，將點(diǎn)Q（5，6）代入得。故所求圓的方程是三、共交點(diǎn)曲線系方程的構(gòu)造性運(yùn)用在實(shí)際問(wèn)題的解決中，可不拘泥于曲線系方程的結(jié)構(gòu)形式，其中f（x，y）與g（x，y）都可由一些代數(shù)式經(jīng)過(guò)運(yùn)算得到，我們注意到兩個(gè)二元一次代數(shù)式相乘的結(jié)果為二元二次代數(shù)式的情形。例1：已知雙曲線與直線有四個(gè)交點(diǎn)，求過(guò)此四個(gè)交點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的二次曲線方程。分析：如直接求，則計(jì)算量太大，故采用二次曲線系研究，則需將兩個(gè)二元一次方程合并成一個(gè)二次方程，即。例2：求與拋物線相切于

5、點(diǎn)P（0，3），Q兩點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)A的圓錐曲線方程。分析：此題若直接設(shè)圓錐曲線方程為：五個(gè)代定系數(shù)，從題中找出五個(gè)方程可以解出來(lái)，但計(jì)算量太大。若用共交點(diǎn)的曲線系方程解題，則關(guān)鍵在于如何設(shè)出曲線系方程。方法一：（由例3得到啟示：可將兩切點(diǎn)分別看作兩條退化的切線。）解：與拋物線相切于點(diǎn)P（0，3）的切線方程為：即相切于點(diǎn)Q的切線方程為：即。因此可設(shè)所求的曲線方程是：，因曲線過(guò)點(diǎn)A（）代入上式得?；?jiǎn)整理得所求的圓錐曲線方程是：。方法二：（由例4得到啟示，求出P、Q兩切點(diǎn)所在的直線方程L，則可用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)認(rèn)為直線L是由兩條與拋物線相交的直線運(yùn)動(dòng)到重合的情形。）解：過(guò)P（0，3）和Q兩切點(diǎn)的直線方程是，

6、設(shè)所求的曲線方程是。因曲線過(guò)點(diǎn)A（）代入上式得?；?jiǎn)整理所求的圓錐曲線方程是：。例3：四條直線L1： ，L1：，L3：x+5y=0，L4：y=0圍成一個(gè)四邊形，試求出一個(gè)k的值，使得四條直線圍成的四邊形有一個(gè)外接圓，并求此外接圓的方程。分析：一、對(duì)已知條件進(jìn)行分析。 四條直線中三條直線已確定，而L2是過(guò)定點(diǎn)（0，的動(dòng)直線。此四邊形是由四條直線圍成的，所以四條直線必須兩兩相交，而四條直線兩兩相交會(huì)有六個(gè)交點(diǎn)，因此必須從六個(gè)交點(diǎn)中選出符合條件的四個(gè)交點(diǎn)。BAL2L1L4L3OCyx515-6二、對(duì)圖形進(jìn)行分析通過(guò)對(duì)圖形的研究發(fā)現(xiàn)，圍成的四邊形有四種類(lèi)型，但根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)的幾何性質(zhì)，可排除兩種，由于題目只要求求出一個(gè)k值，因此可根據(jù)圖形，找一種情形進(jìn)行求解。通過(guò)觀察可知，所求的外接圓方程，必須過(guò)直線L1與直線L2的交點(diǎn)A，直線L2與直線L3的交點(diǎn)B，直線L3與直線L4的交點(diǎn)O，