流體力學(xué)的基本概念

1、第1章 流體力學(xué)的基本概念流體力學(xué)是研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其與物體相互作用的機(jī)理的一門專門學(xué)科。本章敘述在以后章節(jié)中經(jīng)常用到的一些基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)于其它基礎(chǔ)內(nèi)容在本科的流體力學(xué)或水力學(xué)中已作介紹，這里不再敘述。1.1 連續(xù)介質(zhì)與流體物理量1.1.1 連續(xù)介質(zhì)流體和任何物質(zhì)一樣，都是由分子組成的，分子與分子之間是不連續(xù)而有空隙的。例如，常溫下每立方厘米水中約含有3×1022個(gè)水分子，相鄰分子間距離約為3×108厘米。因而，從微觀結(jié)構(gòu)上說，流體是有空隙的、不連續(xù)的介質(zhì)。但是，詳細(xì)研究分子的微觀運(yùn)動(dòng)不是流體力學(xué)的任務(wù)，我們所關(guān)心的不是個(gè)別分子的微觀運(yùn)動(dòng)，而是大量分子“集體”所顯示的特性

2、，也就是所謂的宏觀特性或宏觀量，這是因?yàn)榉肿娱g的孔隙與實(shí)際所研究的流體尺度相比是極其微小的。因此，可以設(shè)想把所討論的流體分割成為無數(shù)無限小的基元個(gè)體，相當(dāng)于微小的分子集團(tuán)，稱之為流體的“質(zhì)點(diǎn)”。從而認(rèn)為，流體就是由這樣的一個(gè)緊挨著一個(gè)的連續(xù)的質(zhì)點(diǎn)所組成的，沒有任何空隙的連續(xù)體，即所謂的“連續(xù)介質(zhì)”。同時(shí)認(rèn)為，流體的物理力學(xué)性質(zhì)，例如密度、速度、壓強(qiáng)和能量等，具有隨同位置而連續(xù)變化的特性，即視為空間坐標(biāo)和時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。因此，不再從那些永遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)的分子出發(fā)，而是在宏觀上從質(zhì)點(diǎn)出發(fā)來研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從而可以利用連續(xù)函數(shù)的分析方法。長期的實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)證明，利用連續(xù)介質(zhì)假定所得出的有關(guān)流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律

3、的基本理論與客觀實(shí)際是符合的。所謂流體質(zhì)點(diǎn)，是指微小體積內(nèi)所有流體分子的總體，而該微小體積是幾何尺寸很?。ǖh(yuǎn)大于分子平均自由行程）但包含足夠多分子的特征體積，其宏觀特性就是大量分子的統(tǒng)計(jì)平均特性，且具有確定性。1.1.2 流體物理量根據(jù)流體連續(xù)介質(zhì)模型，任一時(shí)刻流體所在空間的每一點(diǎn)都為相應(yīng)的流體質(zhì)點(diǎn)所占據(jù)。流體的物理量是指反映流體宏觀特性的物理量，如密度、速度、壓強(qiáng)、溫度和能量等。對(duì)于流體物理量，如流體質(zhì)點(diǎn)的密度，可以地定義為微小特征體積內(nèi)大量數(shù)目分子的統(tǒng)計(jì)質(zhì)量除以該特征體積所得的平均值，即 （1-1）式中，表示體積中所含流體的質(zhì)量。 按數(shù)學(xué)的定義，空間一點(diǎn)的流體密度為 （1-2）由于特征體

4、積很小，按式（1-1）定義的流體質(zhì)點(diǎn)密度，可以視為流體質(zhì)點(diǎn)質(zhì)心（幾何點(diǎn)）的流體密度，這樣就應(yīng)予式（1-2）定義的空間點(diǎn)的流體密度相一致。為把物理概念與數(shù)學(xué)概念統(tǒng)一起來，方便利用有關(guān)連續(xù)函數(shù)的數(shù)學(xué)工具，今后均采用如式（1-2）所表達(dá)的流體物理量定義。所謂某一瞬時(shí)空間任意一點(diǎn)的物理量，是指該瞬時(shí)位于該空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的物理量。在任一時(shí)刻，空間任一點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的物理量都有確定的值，它們是坐標(biāo)點(diǎn) 和時(shí)間t 的函數(shù)。例如，某一瞬時(shí)空間任意一點(diǎn)的密度是坐標(biāo)點(diǎn) 和時(shí)間t 的函數(shù)，即 （1-3）1.2 描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法有拉格朗日（Lagrange）法和歐拉（Euler）法。1.2.1

5、 拉格朗日法 拉格朗日法是以個(gè)別的流體運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)為對(duì)象，研究這些指定質(zhì)點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中的軌跡以及運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)間變化的規(guī)律。各個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀況的總和就構(gòu)成了整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)。這種方法又稱為質(zhì)點(diǎn)系法。在某直角坐標(biāo)系0xyz中，將時(shí)的某流體質(zhì)點(diǎn)在空間的位置坐標(biāo)作為該質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)記。在此后的瞬間，該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到空間位置。不同的質(zhì)點(diǎn)在時(shí)，具有不同的位置坐標(biāo)，如、，這樣就把不同的質(zhì)點(diǎn)區(qū)別開來。同一質(zhì)點(diǎn)在不同瞬間處于不同位置；各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在同一瞬間也位于不同的空間位置。因而，任一瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)的空間位置可表為 (1-4a)式中稱為拉格朗日變數(shù)。若給定式中的值，可以得到某一特定質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程。將某質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的空間位置的時(shí)間歷程描繪

6、出來就得到該質(zhì)點(diǎn)的跡線。將式（1-4a）對(duì)時(shí)間t取偏導(dǎo)數(shù)，可得該流體質(zhì)點(diǎn)在任意瞬間的速度u在軸向的分量 （1-5a）若坐標(biāo)用表示，即用代替；用，即，代替；用，即，代替；則式（1-4a） (1-5a)可寫為 （1-4b） （1-5b）對(duì)于某一特定質(zhì)點(diǎn)，給定值，就可利用式（1-4） (1-5)確定不同時(shí)刻流質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)和速度。1.2.1 歐拉法歐拉法是以考察不同流體質(zhì)點(diǎn)通過固定的空間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況來了解整個(gè)流動(dòng)空間內(nèi)的流動(dòng)情況，即著眼于研究各種運(yùn)動(dòng)要素的分布場。這種方法又叫做流場法。采用歐拉法，流場中任何一個(gè)運(yùn)動(dòng)要素可以表示為空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。在直角坐標(biāo)系中，流速是隨空間坐標(biāo)和時(shí)間而變化的。因而，

7、流體質(zhì)點(diǎn)的流速在各坐標(biāo)軸上的投影可表示為 （1-6a）或 （1-6b）式中，代表自變量。若令上式中為常數(shù)，為變數(shù)，即可求得在某一空間點(diǎn)上，流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻通過該點(diǎn)的流速變化情況。若令為常數(shù)，為變數(shù)，則可求得在同一時(shí)刻，通過不同空間點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)的流速分布情況（即流速場，velocity field）。流速是一個(gè)矢量，所以流速場是一個(gè)矢量場。流速雖是流動(dòng)的一個(gè)重要參數(shù)，但只有流場不足以完全說明流動(dòng)的全部情況，還應(yīng)知道其他表達(dá)流動(dòng)的各個(gè)參數(shù)的分布情況。一個(gè)標(biāo)量，如流體的密度，溫度等，在空間和時(shí)間上的連續(xù)分布就成為一個(gè)標(biāo)量場。應(yīng)力是一個(gè)二階張量，所以應(yīng)力在空間和時(shí)間上的分布是一個(gè)張量場。表述流動(dòng)的

8、各種場的綜合成為流場（flow field），如流速場，密度場等。1.3 質(zhì)點(diǎn)的加速度公式和隨體導(dǎo)數(shù)1.3.1 質(zhì)點(diǎn)加速度公式質(zhì)點(diǎn)加速度是質(zhì)點(diǎn)速度向量隨時(shí)間的變化率。在Lagrange法中是以單個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)作為研究對(duì)象，因此位移函數(shù)（1-4）式對(duì)時(shí)間求二次偏導(dǎo)數(shù)可得流體質(zhì)點(diǎn)的加速度在各軸向的投影： （1-7a）或 （1-7b） 歐拉法不追蹤質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而著眼于流場，由速度場計(jì)算處的質(zhì)點(diǎn)加速度時(shí)必須求出該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)的速度增量，在求其極值，即 （1-8）式中是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)的位移。利用Taylors Series展開，則略去高階微小量，所以代入式(1-8)，得注意到是質(zhì)點(diǎn)位移，因而則得歐拉法描述流體質(zhì)點(diǎn)

9、加速度的表達(dá)式 （1-9a）或?qū)憺?（1-9b）以矢量表示為 （1-9c）在直角坐標(biāo)系下，加速度表述為 （1-9d）以上三式中等號(hào)右邊第一項(xiàng)、表示在每個(gè)固定點(diǎn)上流速對(duì)時(shí)間的變化率，稱為時(shí)變加速度（當(dāng)?shù)丶铀俣龋?。等?hào)右邊的第二項(xiàng)至第四項(xiàng)之和、是表示流速隨坐標(biāo)的變化率，稱為位變加速度（遷移加速度）。因此，一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)在空間點(diǎn)上的全加速度應(yīng)為上述兩加速度之和。1.3.2 質(zhì)點(diǎn)的隨體導(dǎo)數(shù) 將推導(dǎo)加速度公式的方法推廣到質(zhì)點(diǎn)上任意物理量的增長率的計(jì)算，引出質(zhì)點(diǎn)的隨體導(dǎo)數(shù)的概念。質(zhì)點(diǎn)攜帶的物理量隨時(shí)間的變化率稱為質(zhì)點(diǎn)的隨體導(dǎo)數(shù)，用表示。在歐拉法描述中的任意物理量的質(zhì)點(diǎn)隨體導(dǎo)數(shù)表述如下： （1-10）式中，可

10、以是標(biāo)量、向量或張量。質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式對(duì)任意物理量都成立，故將質(zhì)點(diǎn)隨體導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算符號(hào)表示如下： （1-11a）或 （1-11b）其中，稱為局部隨體導(dǎo)數(shù)，稱為對(duì)流隨體導(dǎo)數(shù)，即在歐拉法描述得流動(dòng)中，物理量的質(zhì)點(diǎn)隨體導(dǎo)數(shù)等于局部隨體導(dǎo)數(shù)與對(duì)流隨體導(dǎo)數(shù)之和。1.4 體積分的隨體導(dǎo)數(shù)上面講了質(zhì)點(diǎn)的隨體導(dǎo)數(shù)，研究流體運(yùn)動(dòng)，還需要考慮由流體質(zhì)點(diǎn)組成的物質(zhì)線、物質(zhì)面和物質(zhì)體。因?yàn)樵诹黧w質(zhì)點(diǎn)組成的線、面、體上，往往定義有某種物理量，如物質(zhì)線上的速度環(huán)量，物質(zhì)面上的渦通量，物質(zhì)體上的質(zhì)量、動(dòng)量、動(dòng)能等。在流動(dòng)過程中，連續(xù)的物質(zhì)線、面、體隨時(shí)間而不斷改變其位置和形狀，且將繼續(xù)維持其連續(xù)性。同時(shí)，定義在這些線（面、體）上

11、的物理量也隨時(shí)間而不斷變化著。描述這種變化過程就是這些線積分、面積分、體積分的隨體導(dǎo)數(shù)。其中，體積分的隨體導(dǎo)數(shù)公式在建立流體力學(xué)基本方程時(shí)經(jīng)常用到，推導(dǎo)如下。考慮一個(gè)由流體質(zhì)點(diǎn)組成的以為界的流動(dòng)體積（圖1-1）。設(shè)是內(nèi)定義的標(biāo)量函數(shù)，體積內(nèi)的總量為。在運(yùn)動(dòng)過程中，組成體積的流體質(zhì)點(diǎn)不斷地改變它的位置，因此流體質(zhì)點(diǎn)組成的體積也不斷地改變著它的大小和形狀。此外，在體積中取值的標(biāo)量函數(shù)在運(yùn)動(dòng)過程中也改變著它的數(shù)值。由此可見，上述積分在不同的瞬間將有不同的數(shù)值。上述體積分的變化過程將由該積分的隨體導(dǎo)數(shù)來描述。圖1-1 體積分的隨體導(dǎo)數(shù)（圖中的符號(hào)換為）設(shè)t時(shí)刻的體積為，其表面積為。過了時(shí)段以后，即在時(shí)

12、刻，表面上的流體質(zhì)點(diǎn)由于存在著速度的法向分量，在法線方向移動(dòng)了的距離。設(shè)時(shí)隔立體的表面積為、體積為。根據(jù)隨體導(dǎo)數(shù)的定義，我們有令，于是，上式改寫為 （1-12）上式表明，體積分的變化由兩部分組成：右邊第一項(xiàng)所代表的，即標(biāo)量函數(shù)隨時(shí)間t所引起的變化。這部分變化可由下式表示為 （1-13）第二部分的變化是由于流動(dòng)，體積變化所引起的。從圖1-1可以看出，體積的變化可表示為 其中為表面中的微小面積，是法線方向的速度投影。于是，上式右邊第二部分可寫為 （1-14）將式（1-13）和（1-14）代入式（1-12），得體積分的隨體導(dǎo)數(shù)公式 (1-15a)依同理可得矢量的體積分的隨體導(dǎo)數(shù)公式 (1-16a)從

13、上式可得重要結(jié)論，體積分的隨體導(dǎo)數(shù)由兩項(xiàng)組成：第一項(xiàng)是函數(shù)（或）對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)沿體積的積分，它是由標(biāo)量場（或矢量場）的非恒定性所引起的；第二項(xiàng)是函數(shù)（或）通過表面的通量（或），它是由于體積的改變引起的。應(yīng)用高斯公式（奧高定理） (1-17)式（1-15a）和（1-16a）也可寫為 (1-15b) (1-16b)式（1-15）和式（1-16）在流體力學(xué)應(yīng)用很廣，有時(shí)也稱之為運(yùn)輸定理（transport theorem）。1.5 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析1.5.1 亥姆霍茲速度分解定理剛體運(yùn)動(dòng)的形式只有平移和轉(zhuǎn)動(dòng)，流體因?yàn)榫哂幸琢鲃?dòng)性，極易變形，所以任一流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中，不僅與剛體一樣會(huì)發(fā)生平移和轉(zhuǎn)動(dòng)

14、，而且還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。定理：流場中微團(tuán)上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以分解為平動(dòng)、旋轉(zhuǎn)和變形三部分之和。證明如下：任取一流體微團(tuán)，其上的參考點(diǎn)在時(shí)間t的速度，同一時(shí)刻，在流體微團(tuán)上距點(diǎn)為任一質(zhì)點(diǎn)，的速度。利用Taylors Series展開，則略去高階微小量，則有 （1-20）其中是一個(gè)二階張量，可以進(jìn)一步分解一個(gè)對(duì)稱張量和反對(duì)稱張量之和，即 （1-21）上式右端第一項(xiàng)用 表示，是對(duì)稱張量，它有六個(gè)獨(dú)立分量；第二項(xiàng)用表示，是反對(duì)稱張量，有三個(gè)獨(dú)立分量。因?yàn)橐虼?，亥姆霍茲速度分解定理（Helmholtz velocity decomposing theorem）的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 （1-22）1.5.2 變形

15、率張量對(duì)于腳標(biāo)，寫出的所有分量，則 令或?qū)憺?（1-23）則 （1-24）其中 表示所在方向的線性變形率，其余，為角變形率。稱為變形率張量。1.5.3 旋轉(zhuǎn)角速度同理，對(duì)于腳標(biāo)，寫出的所有分量，則令 （1-25a）或?qū)憺?（1-25b）則 （1-26）其中，為流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度，顯然，是一反對(duì)稱張量。亦可寫為 （1-27）由以上分析得知，在亥姆霍茲速度分解定理的數(shù)學(xué)表示式（1-22）中， 表示平動(dòng)；表示變形，包括線變形和角變形，表示旋轉(zhuǎn)。 流體微團(tuán)有無旋轉(zhuǎn)對(duì)流動(dòng)分析的影響很大，流體微團(tuán)有無旋轉(zhuǎn)成為流動(dòng)分類的一個(gè)重要指標(biāo)。流體微團(tuán)沒有旋轉(zhuǎn)的流動(dòng)，稱為無旋流動(dòng)(irrotational flow

16、)，或稱無渦流動(dòng)，亦稱有勢流動(dòng)(potential flow)。流體微團(tuán)有旋轉(zhuǎn)的流動(dòng)，稱為有旋流動(dòng)(rotational flow)，亦稱有渦流動(dòng)。 下面舉例說明微團(tuán)旋轉(zhuǎn)的概念。例1-1 設(shè)有兩塊平板，一塊固定不動(dòng)，一塊在保持平行條件下作直線等速運(yùn)動(dòng)。在兩塊平板之間裝有粘性液體。這時(shí)的液體流動(dòng)稱為簡單剪切流動(dòng)，如圖1-2所示。其流速分布為 ，其中。試判別這個(gè)流動(dòng)是勢流還是有渦流？解：故該流動(dòng)為有渦流。盡管質(zhì)點(diǎn)都作直線運(yùn)動(dòng)，流線也都是平行直線，在表觀上看不出有旋轉(zhuǎn)的跡象。圖1-2 簡單剪切流動(dòng)例1-2 從水箱底部小孔排水時(shí)，在箱內(nèi)形成圓周運(yùn)動(dòng)，其流線為同心圓，如圖1-3所時(shí)，流速分布可表示為試判

17、斷該流體運(yùn)動(dòng)是勢流還是有渦流？解：除原點(diǎn)外，該流動(dòng)為勢流。盡管質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)，但微團(tuán)并無繞其自身軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。圖1-3 水箱底部小孔排水時(shí)同心圓流線1.6 渦量與環(huán)量1.6.1 渦量流體運(yùn)動(dòng)可以分為有旋運(yùn)動(dòng)和無旋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)流體的旋轉(zhuǎn)角速度不為0，即0時(shí)，流體的運(yùn)動(dòng)是有旋的；當(dāng)=0時(shí),流體的運(yùn)動(dòng)是無旋的。所以判斷流體是無旋流動(dòng)還是有旋流動(dòng),應(yīng)根據(jù)流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn),而與微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的軌跡并無關(guān)系。流體的旋轉(zhuǎn)角速度可以用張量式表示如下 （1-28）其中腳標(biāo)表示流體運(yùn)動(dòng)平面的法線方向。流體力學(xué)中多采用渦量(vorticity)來描述流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)。定義旋轉(zhuǎn)角速度的兩倍為渦量，即 （1-29a）渦量是一矢量，

18、它與旋轉(zhuǎn)的平面垂直，其方向的正負(fù)按右手法則確定，如圖1-4所示。寫成矢量形式 （1-29b）在流場中，渦量是位置和時(shí)間的函數(shù)，即 （1-30）如同流速場描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，渦量場則表達(dá)流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)情況。用流線用來描述流場，同樣，可用與流線類似的渦線來描述渦量場。在某一瞬間,在流場中繪制的處處與渦矢量相切的曲線稱為渦線(vortex line)。渦線一般不與流線重合，但相交，如圖1-5所示。渦線微分方程與流線微分方程類似,可表示為 （1-31）以渦線為側(cè)壁的管段稱為渦管(vortex tube)。渦管里面繞同一旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)著的流體稱為渦束或渦絲(vortex filament)。圖1-4 渦量矢

19、量（圖中改為） 圖1-5 渦線（圖中改為）1.6.2 速度環(huán)量分析帶旋轉(zhuǎn)的流體運(yùn)動(dòng)常要用到速度環(huán)量的概念。速度沿封閉曲線的積分稱為速度環(huán)量(circulation),通常用表示 （1-32）在直角坐標(biāo)系下為 （1-33） 斯托克斯定理環(huán)量與渦量之間由斯托克斯（Stokes）定理聯(lián)系。斯托克斯定理表述為：沿包圍單連通域的有限封閉周線的速度環(huán)量，等于穿過此連通域的渦量通量。數(shù)學(xué)表述如下 （1-34）式中，為表面積，為周線長度。上式說明通過面的渦通量等于沿邊界的速度環(huán)量。Stokes定理應(yīng)用很廣，它把一個(gè)面積分和一個(gè)線積分聯(lián)系在一起。在直角坐標(biāo)系下，式（1-34）表述為（1-35）圖1-7 環(huán)量與渦

20、量1.7 應(yīng)力張量實(shí)際流體具有粘滯性。由于粘滯性的存在，有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的各層流體之間將產(chǎn)生切應(yīng)力。因此，在運(yùn)動(dòng)的實(shí)際流體中，不但有壓應(yīng)力，而且還有切應(yīng)力。如在運(yùn)動(dòng)流體中任一點(diǎn)A取垂直于z軸的平面（圖1-8），則作用在該平面上A點(diǎn)的表面應(yīng)力并非沿內(nèi)法線方向，而是傾斜方向的。表面應(yīng)力在x、y、z三個(gè)軸向都有分量：一個(gè)與z平面成法向的正應(yīng)力；兩個(gè)與z平面成切向的切應(yīng)力及。壓應(yīng)力和切應(yīng)力的第一個(gè)下標(biāo)表示作用面的法線方向，即表示應(yīng)力作用面與那個(gè)軸垂直；第二個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力的作用方向，即表示應(yīng)力作用方向與那個(gè)軸平行。同樣在垂直于y軸平面上，作用的應(yīng)力有、；在垂直于x軸的平面上，作用的應(yīng)力有、。這樣，任一點(diǎn)在三個(gè)

21、互相垂直的作用面上的應(yīng)力共有9個(gè)分量，其中三個(gè)壓應(yīng)力、和六個(gè)切應(yīng)力、。寫成矩陣形式 （1-36a）或壓應(yīng)力與切應(yīng)力均用統(tǒng)一符號(hào)表示，表述如下 （1-36b）稱為應(yīng)力張量(stress tensor)，它是一個(gè)二階張量，而且，（證明見后）。因此，應(yīng)力張量是一個(gè)對(duì)稱張量。圖1-8 垂直于z軸平面上A點(diǎn)的表面應(yīng)力下面討論切應(yīng)力和壓應(yīng)力的特性。1. 切應(yīng)力的特性切應(yīng)力互等定律，即作用在兩互相垂直平面上且與該兩平面的交線相垂直的切應(yīng)力大小都是相等的。表述如下：， （1-37）證明如下：在實(shí)際流體中取一微小六面體，邊長dx、dy、dz，各表面的應(yīng)力如圖1-9所示。對(duì)通過六面體中心點(diǎn)S并平行于x軸的軸線取力

22、矩，因質(zhì)量力通過中心點(diǎn)S，則得忽略三階以上的微量，則于是得同理，可以證明。圖1-9 實(shí)際流體微小六面體各表面的應(yīng)力分量2. 壓應(yīng)力的特性壓應(yīng)力的大小與其作用面的方位有關(guān)，三個(gè)相互垂直方向的壓應(yīng)力一般是不相等的，即。但從幾何關(guān)系上可以證明，同一點(diǎn)上，三個(gè)相互垂直面的壓應(yīng)力之和，與那組垂直面的方位無關(guān)，即值總保持不變。在實(shí)際流體中，任何三個(gè)互相垂直面上的壓應(yīng)力的平均值定義為動(dòng)水壓強(qiáng)，以表示，則 （1-38）因此，實(shí)際流體的動(dòng)水壓強(qiáng)也只是位置坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，即。 一般規(guī)定，切應(yīng)力的方向與坐標(biāo)軸一致時(shí)為正；法向應(yīng)力的方向與作用面的外法線一致時(shí)為正，與作用面的內(nèi)法線一致時(shí)為負(fù)，即壓應(yīng)力為負(fù)。1.8 牛頓流體的本構(gòu)方程把應(yīng)力張量與變形速率張量聯(lián)系起來的方程稱為本構(gòu)方程(constitutive equation)。滿足切應(yīng)力與剪切變形線形關(guān)系的流體為牛頓流體。一般的牛頓流體有水，空氣，油等。本節(jié)只討論不可壓縮牛頓流體中應(yīng)力張量與變形速率張量的關(guān)系。1. 切應(yīng)力與流速變化的關(guān)系因變形和速度變化有關(guān)，所以切應(yīng)力與流速變化有關(guān)。由牛頓內(nèi)摩擦定律可知，在二維平行直線流動(dòng)中，切應(yīng)力的大小表述為即切應(yīng)力與剪切變形速度（即角變形率）成比例。這個(gè)結(jié)論可以推廣到三維情況。由流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析知，xoy平面上的角度形率為這是微團(tuán)的角變形率，而實(shí)際上的直角變形率應(yīng)為上式的兩倍