新課標(biāo)人教A高一數(shù)學(xué)必修知識點(diǎn)總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)必修1知識點(diǎn)第一章 集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念：1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。2、集合的中元素的三個特性：（1）元素的確定性； （2）元素的互異性； （3）元素的無序性說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的， 任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。3、集合的表示： 如我校的籃球隊(duì)員，太平洋,大西洋,

2、印度洋,北冰洋（1）用大寫英文字母表示集合：A=我校的籃球隊(duì)員,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。（）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。（）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。語言描述法：例：不是直角三角形的三角形數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是xR| x-3>2或x| x-3>2（3）圖示法（文氏圖）：4、常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集 Z 有理數(shù)集Q 實(shí)數(shù)集 R5、“屬于”的概念集

3、合的元素通常用小寫的英文字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A 記作 aA ，相反，a不屬于集合A 記作 aA6、集合的分類：1有限集 含有有限個元素的集合2無限集 含有無限個元素的集合3空集 不含任何元素的集合二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說兩集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作AB注意： 有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A集合A中有n個元素,則集合A子集個數(shù)為2n.2“相等”關(guān)系(55，且55，則5=5

4、)實(shí)例：設(shè) A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”結(jié)論：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B 任何一個集合是它本身的子集。AA真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB 同時 BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運(yùn)算1交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集記作AB(讀作”A交B”)，即

5、AB=x|xA，且xB2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：AB(讀作”A并B”)，即AB=x|xA，或xB3、交集與并集的性質(zhì)：AA = A，A= , AB = BA，AA = A，A= A , AB = BA.4、全集與補(bǔ)集（1）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。UCuAA（2）補(bǔ)集：設(shè)U是一個集合，A是U的一個子集（即AU），由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做U中子集A的補(bǔ)集（或余集）。記作： CUA ，即 CUA =x | xU且 xA（3）性質(zhì)：CU(C U

6、A)=A (C UA)A= (C UA)A=U二、函數(shù)的有關(guān)概念1函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)記作： y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域注意：1、如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實(shí)數(shù)的集合；2、函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式定義域補(bǔ)充：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集

7、合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零； (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數(shù)為零,底不可以等于零 (7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.(注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)2、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域注意：構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的,兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和

8、對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。 相同函數(shù)的判斷方法：定義域一致；表達(dá)式相同 (兩點(diǎn)必須同時具備)值域補(bǔ)充(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域. (2)、應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。3. 函數(shù)圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(x) , (xA)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數(shù) y=f(x),(x A)的圖象C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)

9、對x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上 . 即記為C= P(x,y) | y= f(x) , xA 圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行于Y軸的直線最多只有一個交點(diǎn)的若干條曲線或離散點(diǎn)組成。(2) 畫法：A、描點(diǎn)法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應(yīng)值并列表，以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)P(x, y)，最后用平滑的曲線將這些點(diǎn)連接起來.B、圖象變換法：常用變換方法有三種，即平移變換、對稱變換和伸縮變換、對稱變換:（1）將y= f(x)在x軸下方的圖象向上翻得到y(tǒng)=f(x)的圖象如：書上P21例5 （2） y= f(x)和y= f(-x)的圖象關(guān)

10、于y軸對稱。如（3） y= f(x)和y= -f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱。如、平移變換: 由f(x)得到f(xa) 左加右減； 由f(x)得到f(x)a 上加下減 4區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示5映射說明:函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)，集合A、B及對應(yīng)法則f是確定的；對應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，它與從B到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；對于映射f：AB來說，則應(yīng)滿足：（）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（）集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個；（）不要求集合B

11、中的每一個元素在集合A中都有原象。6、函數(shù)的表示法：常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn)1 解析法：必須注明函數(shù)的定義域；2 圖象法：描點(diǎn)法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；3列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征注意：解析法：便于算出函數(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值補(bǔ)充一：分段函數(shù)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應(yīng)寫成函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況注意：（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)

12、，不要把它誤認(rèn)為是幾個函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集補(bǔ)充二：復(fù)合函數(shù)如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),則 y=fg(x)=F(x)，(xA) 稱為f是g的復(fù)合函數(shù)。7函數(shù)單調(diào)性（1）增函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間；如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2 時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).

13、區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意：1、函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；2、必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當(dāng)x1<x2時，總有f(x1)<f(x2) （或f(x1)f(x2)）。（2） 圖象的特點(diǎn)如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A) 定義法：1 任取x1，x2D，且x1<x2；2 作差f(x1)f(x2)；3 變形（通常是因式分解和配方）；4

14、定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù)）；5 下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）u=g(x) y=f(u)y=fg(x)增增增增減減減增減減減增 (B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：復(fù)合函數(shù)fg(x)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律如下：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：口訣：同增異減 注意：1、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集. 8函數(shù)的奇偶性（1）偶函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)（2）奇函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的

15、定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)注意：1、 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；函數(shù)可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。 2、 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.若奇函數(shù)定義域中含有0，則必有

16、.既奇又偶函數(shù)有無窮多個（，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意一個數(shù)集）.9、函數(shù)最大（?。┲担ǘx見課本p30頁）（1） 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；（2） 利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲?；（3） 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担?如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞增,則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；第二章 基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1根式的概念：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作=0。

17、注意：(1)(2)當(dāng) n是奇數(shù)時， ，當(dāng) n是偶數(shù)時， 2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義： 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義3實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1）（2）（3）注意：在化簡過程中，偶數(shù)不能輕易約分；如（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1即 a>0且a12、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)0<a<1a>1 圖像性質(zhì)定義域R , 值域（0，+）（1）過定點(diǎn)（0，1）,即x=0時，y=1(2)在R上是減函數(shù)(2)在

18、R上是增函數(shù)（3）當(dāng)x>0時,0<y<1;當(dāng)x<0時,y>1（3）當(dāng)x>0時,y>1;當(dāng)x<0時,0<y<1注意： 指數(shù)增長模型：y=N(1+p)x 指數(shù)型函數(shù)： y=kax指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由底數(shù)決定的，底數(shù)不明確的時候要進(jìn)行討論。掌握利用單調(diào)性比較冪的大小，同底找對應(yīng)的指數(shù)函數(shù)，底數(shù)不同指數(shù)也不同插進(jìn)1(=a0)進(jìn)行傳遞二、對數(shù)函數(shù)（一）對數(shù)1對數(shù)的概念：一般地，如果 ，那么數(shù)x 叫做以a 為底N 的對數(shù)，記作：（ a 底數(shù)， N 真數(shù)， 對數(shù)式）說明：1. 注意底數(shù)的限制，a>0且a1；2. 真數(shù)N>0 3. 注意對數(shù)

19、的書寫格式2、兩個重要對數(shù)：（1）常用對數(shù)：以10為底的對數(shù), ；（2）自然對數(shù)：以無理數(shù)e 為底的對數(shù)的對數(shù) , 3、對數(shù)式與指數(shù)式的互化對數(shù)式 指數(shù)式對數(shù)底數(shù) a 冪底數(shù)對數(shù) x 指數(shù)真數(shù) N 冪結(jié)論：（1）負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)（2）logaa=1, loga1=0 特別地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0(3) 對數(shù)恒等式：（二）對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果 a > 0，a ¹ 1，M > 0， N > 0 有：1、 兩個正數(shù)的積的對數(shù)等于這兩個正數(shù)的對數(shù)和2 、 兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于這兩個正數(shù)的對數(shù)差3 、 一個正數(shù)的n次方的對數(shù)等于這個正數(shù)的

20、對數(shù)n倍說明:1) 簡易語言表達(dá):”積的對數(shù)=對數(shù)的和”2) 有時可逆向運(yùn)用公式3) 真數(shù)的取值必須是(0,) 注意：換底公式利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論 （二）對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù) (a>0，且a1) 叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+）注意：（1） 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如：， 都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)（2） 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：a>0，且a12、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)：對數(shù)函數(shù)(a>0，且a1)0 a 1a 1圖像yx0(1,0)yx0(1,0)性質(zhì)定義域：（0，） 值域：R過點(diǎn)(1 ,0), 即

21、當(dāng)x 1時,y0在(0,+)上是減函數(shù)在(0,+)上是增函數(shù)當(dāng)x>1時，y<0當(dāng)x=1時，y=0當(dāng)0<x<1時，y>0 當(dāng)x>1時，y>0當(dāng)x=1時，y=0當(dāng)0<x<1時，y<0 重要結(jié)論：在logab中，當(dāng)a ,b 同在(0,1) 或(1,+)內(nèi)時，有l(wèi)ogab>0;當(dāng)a,b不同在(0,1) 內(nèi)，或不同在(1,+) 內(nèi)時,有l(wèi)ogab<0. 3、如圖，底數(shù) a對函數(shù) 的影響。 規(guī)律: 底大枝頭低, 頭低尾巴翹。對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由底數(shù)決定的，底數(shù)不明確的時候要進(jìn)行討論。掌握利用單調(diào)性比較對數(shù)的大小，同底找對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)，底

22、數(shù)不同真數(shù)也不同,插進(jìn)1(=logaa)進(jìn)行傳遞。y=ax(a>0且a 1) 與y=logax(a>0且a 1) 互為反函數(shù)， 圖象關(guān)于y=x對稱。5 比較兩個冪的形式的數(shù)大小的方法:(1) 對于底數(shù)相同指數(shù)不同的兩個冪的大小比較,可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷.(2) 對于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個冪的大小比較,可以利用比商法來判斷.(3) 對于底數(shù)不同也指數(shù)不同的兩個冪的大小比較,則應(yīng)通過中間值來判斷.常用1和0.6 比較大小的方法(1) 利用函數(shù)單調(diào)性(同底數(shù))；(2) 利用中間值（如:0,1.）；(3) 變形后比較；(4) 作差比較（三）冪函數(shù)1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)

23、稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，為常數(shù)2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納（1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義，并且圖象都過點(diǎn)（1，1）；（2）>0 時，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在0,+ ）上是增函數(shù)特別地，當(dāng)>1時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<<1時，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）<0 時，冪函數(shù)的圖象在（0，+）上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸 第三章 函數(shù)的應(yīng)用一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對于函數(shù)y=f(x),使f(x)=0 的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)的零點(diǎn)。（實(shí)質(zhì)上是函數(shù)y=f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：方程f(x)=0 有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)3、零點(diǎn)定理：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的，并且有f(