新課標人教A高一數學必修知識點總結

1、高中數學必修1知識點第一章 集合與函數概念一、集合有關概念：1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。2、集合的中元素的三個特性：（1）元素的確定性； （2）元素的互異性； （3）元素的無序性說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的， 任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。3、集合的表示： 如我校的籃球隊員，太平洋,大西洋,

2、印度洋,北冰洋（1）用大寫英文字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。（）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。（）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。語言描述法：例：不是直角三角形的三角形數學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是xR| x-3>2或x| x-3>2（3）圖示法（文氏圖）：4、常用數集及其記法：非負整數集（即自然數集）記作：N正整數集 N*或 N+ 整數集 Z 有理數集Q 實數集 R5、“屬于”的概念集

3、合的元素通常用小寫的英文字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A 記作 aA ，相反，a不屬于集合A 記作 aA6、集合的分類：1有限集 含有有限個元素的集合2無限集 含有無限個元素的集合3空集 不含任何元素的集合二、集合間的基本關系1.“包含”關系子集對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說兩集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集，記作AB注意： 有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A集合A中有n個元素,則集合A子集個數為2n.2“相等”關系(55，且55，則5=5

4、)實例：設 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”結論：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B 任何一個集合是它本身的子集。AA真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB 同時 BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運算1交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集記作AB(讀作”A交B”)，即

5、AB=x|xA，且xB2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：AB(讀作”A并B”)，即AB=x|xA，或xB3、交集與并集的性質：AA = A，A= , AB = BA，AA = A，A= A , AB = BA.4、全集與補集（1）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。UCuAA（2）補集：設U是一個集合，A是U的一個子集（即AU），由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做U中子集A的補集（或余集）。記作： CUA ，即 CUA =x | xU且 xA（3）性質：CU(C U

6、A)=A (C UA)A= (C UA)A=U二、函數的有關概念1函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數記作： y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合f(x)| xA 叫做函數的值域注意：1、如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合；2、函數的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式定義域補充：能使函數式有意義的實數x的集

7、合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數不小于零； (3)對數式的真數必須大于零；(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數為零,底不可以等于零 (7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.(注意：求出不等式組的解集即為函數的定義域。)2、構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域注意：構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域由于值域是由定義域和對應關系決定的,兩個函數相等當且僅當它們的定義域和

8、對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。 相同函數的判斷方法：定義域一致；表達式相同 (兩點必須同時具備)值域補充(1)、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其定義域. (2)、應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎。3. 函數圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (xA)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x A)的圖象C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數

9、對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 . 即記為C= P(x,y) | y= f(x) , xA 圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行于Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。(2) 畫法：A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(x, y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來.B、圖象變換法：常用變換方法有三種，即平移變換、對稱變換和伸縮變換、對稱變換:（1）將y= f(x)在x軸下方的圖象向上翻得到y(tǒng)=f(x)的圖象如：書上P21例5 （2） y= f(x)和y= f(-x)的圖象關

10、于y軸對稱。如（3） y= f(x)和y= -f(x)的圖象關于x軸對稱。如、平移變換: 由f(x)得到f(xa) 左加右減； 由f(x)得到f(x)a 上加下減 4區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數軸表示5映射說明:函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，集合A、B及對應法則f是確定的；對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的；對于映射f：AB來說，則應滿足：（）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（）集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；（）不要求集合B

11、中的每一個元素在集合A中都有原象。6、函數的表示法：常用的函數表示法及各自的優(yōu)點1 解析法：必須注明函數的定義域；2 圖象法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域；化簡函數的解析式；觀察函數的特征；3列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征注意：解析法：便于算出函數值。列表法：便于查出函數值。圖象法：便于量出函數值補充一：分段函數在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應寫成函數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況注意：（1）分段函數是一個函數

12、，不要把它誤認為是幾個函數；（2）分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集補充二：復合函數如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),則 y=fg(x)=F(x)，(xA) 稱為f是g的復合函數。7函數單調性（1）增函數設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數。區(qū)間D稱為y=f(x)的單調增區(qū)間；如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1<x2 時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數.

13、區(qū)間D稱為y=f(x)的單調減區(qū)間.注意：1、函數的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數的局部性質；2、必須是對于區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1<x2時，總有f(x1)<f(x2) （或f(x1)f(x2)）。（2） 圖象的特點如果函數y=f(x)在某個區(qū)間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，在單調區(qū)間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.(3).函數單調區(qū)間與單調性的判定方法(A) 定義法：1 任取x1，x2D，且x1<x2；2 作差f(x1)f(x2)；3 變形（通常是因式分解和配方）；4

14、定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負）；5 下結論（指出函數f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性）u=g(x) y=f(u)y=fg(x)增增增增減減減增減減減增 (B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復合函數的單調性：復合函數fg(x)的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規(guī)律如下：復合函數單調性：口訣：同增異減 注意：1、函數的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集. 8函數的奇偶性（1）偶函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數（2）奇函數一般地，對于函數f(x)的

15、定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數注意：1、 函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質；函數可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數又是偶函數。 2、 由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則x也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）（3）具有奇偶性的函數的圖象的特征 偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱函數奇偶性的性質 奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性完全相同；偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性恰恰相反.若奇函數定義域中含有0，則必有

16、.既奇又偶函數有無窮多個（，定義域是關于原點對稱的任意一個數集）.9、函數最大（?。┲担ǘx見課本p30頁）（1） 利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（?。┲?；（2） 利用圖象求函數的最大（?。┲担唬?） 利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值： 如果函數y=f(x)在區(qū)間a，b上單調遞增，在區(qū)間b，c上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數y=f(x)在區(qū)間a，b上單調遞減，在區(qū)間b，c上單調遞增,則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；第二章 基本初等函數一、指數函數（一）指數與指數冪的運算1根式的概念：負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作=0。

17、注意：(1)(2)當 n是奇數時， ，當 n是偶數時， 2分數指數冪正數的正分數指數冪的意義，規(guī)定：正數的正分數指數冪的意義： 0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義3實數指數冪的運算性質（1）（2）（3）注意：在化簡過程中，偶數不能輕易約分；如（二）指數函數及其性質1、指數函數的概念：一般地，函數 叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為R注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1即 a>0且a12、指數函數的圖象和性質0<a<1a>1 圖像性質定義域R , 值域（0，+）（1）過定點（0，1）,即x=0時，y=1(2)在R上是減函數(2)在

18、R上是增函數（3）當x>0時,0<y<1;當x<0時,y>1（3）當x>0時,y>1;當x<0時,0<y<1注意： 指數增長模型：y=N(1+p)x 指數型函數： y=kax指數函數的單調性由底數決定的，底數不明確的時候要進行討論。掌握利用單調性比較冪的大小，同底找對應的指數函數，底數不同指數也不同插進1(=a0)進行傳遞二、對數函數（一）對數1對數的概念：一般地，如果 ，那么數x 叫做以a 為底N 的對數，記作：（ a 底數， N 真數， 對數式）說明：1. 注意底數的限制，a>0且a1；2. 真數N>0 3. 注意對數

19、的書寫格式2、兩個重要對數：（1）常用對數：以10為底的對數, ；（2）自然對數：以無理數e 為底的對數的對數 , 3、對數式與指數式的互化對數式 指數式對數底數 a 冪底數對數 x 指數真數 N 冪結論：（1）負數和零沒有對數（2）logaa=1, loga1=0 特別地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0(3) 對數恒等式：（二）對數的運算性質如果 a > 0，a ¹ 1，M > 0， N > 0 有：1、 兩個正數的積的對數等于這兩個正數的對數和2 、 兩個正數的商的對數等于這兩個正數的對數差3 、 一個正數的n次方的對數等于這個正數的

20、對數n倍說明:1) 簡易語言表達:”積的對數=對數的和”2) 有時可逆向運用公式3) 真數的取值必須是(0,) 注意：換底公式利用換底公式推導下面的結論 （二）對數函數1、對數函數的概念：函數 (a>0，且a1) 叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是（0，+）注意：（1） 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如：， 都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數（2） 對數函數對底數的限制：a>0，且a12、對數函數的圖像與性質：對數函數(a>0，且a1)0 a 1a 1圖像yx0(1,0)yx0(1,0)性質定義域：（0，） 值域：R過點(1 ,0), 即

21、當x 1時,y0在(0,+)上是減函數在(0,+)上是增函數當x>1時，y<0當x=1時，y=0當0<x<1時，y>0 當x>1時，y>0當x=1時，y=0當0<x<1時，y<0 重要結論：在logab中，當a ,b 同在(0,1) 或(1,+)內時，有l(wèi)ogab>0;當a,b不同在(0,1) 內，或不同在(1,+) 內時,有l(wèi)ogab<0. 3、如圖，底數 a對函數 的影響。 規(guī)律: 底大枝頭低, 頭低尾巴翹。對數函數的單調性由底數決定的，底數不明確的時候要進行討論。掌握利用單調性比較對數的大小，同底找對應的對數函數，底

22、數不同真數也不同,插進1(=logaa)進行傳遞。y=ax(a>0且a 1) 與y=logax(a>0且a 1) 互為反函數， 圖象關于y=x對稱。5 比較兩個冪的形式的數大小的方法:(1) 對于底數相同指數不同的兩個冪的大小比較,可以利用指數函數的單調性來判斷.(2) 對于底數不同指數相同的兩個冪的大小比較,可以利用比商法來判斷.(3) 對于底數不同也指數不同的兩個冪的大小比較,則應通過中間值來判斷.常用1和0.6 比較大小的方法(1) 利用函數單調性(同底數)；(2) 利用中間值（如:0,1.）；(3) 變形后比較；(4) 作差比較（三）冪函數1、冪函數定義：一般地，形如的函數

23、稱為冪函數，其中x是自變量，為常數2、冪函數性質歸納（1）所有的冪函數在（0，+）都有定義，并且圖象都過點（1，1）；（2）>0 時，冪函數的圖象通過原點，并且在0,+ ）上是增函數特別地，當>1時，冪函數的圖象下凸；當0<<1時，冪函數的圖象上凸；（3）<0 時，冪函數的圖象在（0，+）上是減函數在第一象限內，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于+時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸 第三章 函數的應用一、方程的根與函數的零點1、函數零點的概念：對于函數y=f(x),使f(x)=0 的實數x叫做函數的零點。（實質上是函數y=f(x)與x軸交點的橫坐標）2、函數零點的意義：方程f(x)=0 有實數根函數y=f(x)的圖象與x軸有交點函數y=f(x)有零點3、零點定理：函數y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的，并且有f(