有限元在傳熱學中的應用

1、有限元在傳熱學中的應用 溫度場的有限元分析摘要：熱分析在許多工程應用中扮演著重要角色。有限元法是熱分析中常用，高效的數(shù)值分析方法。利用有限元法可以求解傳熱學中溫度場的重要參數(shù)，在材料成型中，在鑄造這一塊有著重大意義。1、 有限元法的應用：有限元法是隨著電子計算機的發(fā)展迅速發(fā)展起來的一種現(xiàn)代計算方法，首先在連續(xù)力學領域飛機結構靜、動態(tài)特性分析中應用的一種有效的數(shù)值分析方法，隨后也很廣泛用于求解熱傳導、電磁場、流體力學等連續(xù)問題。在傳熱學中，如果導熱物體的幾何形狀不規(guī)則，邊界條件復雜，很難有解析解。解決這類問題的最好辦法就是數(shù)值解法，而數(shù)值解法中最具實用性和使用最廣泛的就是有限單元法。2、 有限元

2、數(shù)值解法的基本思路：將連續(xù)求解區(qū)域減走勢只在節(jié)點處相連接的一組有限個單元的組合體，把節(jié)點溫度作為基本未知量，然后用插值函數(shù)以節(jié)點溫度表示單元內(nèi)任意一點處溫度，利用變分原理建立用以求解節(jié)點未知量（溫度）是有限元法方程，通過求解這些方程組，得到求解區(qū)域內(nèi)有限個離散點上的溫度近似解，并以這些溫度近似解代替實際物體內(nèi)連續(xù)的溫度分布。隨著單元數(shù)目的增加，單元尺寸的減少。單元滿足收斂要求。近似解就可收斂于精確解。3、 有限元數(shù)值解法的基本步驟有限元法在工程實際中應用的廣泛性和通用性，體現(xiàn)在分析許多工程問題是，如力學中的位移場和應力場分析，傳熱學中的溫度場分析，流體力學中的流場分析，都可以歸結為給定邊界條件

3、下求解其控制方程的問題，雖然各個問題中的物理性質(zhì)不同，卻可采用同樣的步驟求解。具體步驟為（1）：結構離散。（2）：單元分析。（3）：整體分析。（4）：邊界條件處理與求解。（5）：結果后處理。有限元分析實際問題的主要步驟為：建立模型，推倒有限元方程式，求解有限元方程組，數(shù)值結果表述。4、 用于傳熱學的意義有限元法作為具有嚴密理論基礎和廣泛應用效力的數(shù)值分析工具，近年來，以由彈性平面問題擴展到空間問題，板殼問題。從固體力學擴展到流體力學、傳熱學等連續(xù)介質(zhì)力學領域；它在工程技術中的作用，已從分析和校核擴展到優(yōu)化設計。并和計算機輔助設計相結合，形成了完整的計算機輔助設計系統(tǒng)。它解決了傳熱學中邊界條件復

4、雜或呈非線性，有均勻內(nèi)熱源等傳統(tǒng)方法無法求解的問題。溫度場方程上述偏微分方程式是傳熱學理論中的最基本公式，適合于包括鑄造、焊接、熱處理過程在內(nèi)的所有熱傳導問題的數(shù)學描述，但在對具體熱場進行求解時，除了上述偏微分方程外，還要根據(jù)具體問題給出導熱體的初始條件與邊界條件。不穩(wěn)定溫度場：溫度場不僅在空間上變化并且也隨時間變化的溫度場。穩(wěn)定溫度場：溫度場不隨時間變化。（即溫度只是坐標的函數(shù)）對具體熱場用上述微分方程進行求解時，需要根據(jù)具體問題給出導熱體的初始條件與邊界條件。 初始條件： 初始條件是指物體開始導熱時（即 t = 0 時）的瞬時溫度分布。 邊界條件： 邊界條件是指導熱體表面與周圍介質(zhì)間的熱交

5、換情況。 常見的邊界條件有以下三類：第一類邊界條件：給定物體表面溫度隨時間的變化關系第二類邊界條件：給出通過物體表面的比熱流隨時間的變化關系第三類邊界條件：給出物體周圍介質(zhì)溫度以及物體表面與周圍介質(zhì)的換熱系數(shù) 上述三類邊界條件中，以第三類邊界條件最為常見。根據(jù)傳熱學原理，根據(jù)熱平衡得一般導熱微分方程整理得滿足上述熱傳導方程的解有無限多個，為了確定真實的溫度場，必須知道物體初始瞬態(tài)的溫度分布，即初始條件，稱為第一類邊界條件同時，還需知道物體表面與周圍介質(zhì)間進行熱交換的規(guī)律，即邊界條件，有三類邊界條件。1、 三維瞬態(tài)熱傳導方程及邊界條件2、 二維穩(wěn)態(tài)熱傳導方程及邊界條件若無內(nèi)熱源則方程圓圈內(nèi)的項不

6、存在，方程退化為二維無內(nèi)熱源穩(wěn)態(tài)熱傳導方程。 1、泛函與變分 函數(shù) y=f(x) 求y 的極值，即求微分，由dy=0 可得。 泛函J=J y(x) 函數(shù)y(x)為自變量，J為函數(shù)y的函數(shù)，稱J為y的泛函，求泛函的極值，即求變分，由 J=0 可得。泛函取極值的必要條件是 2、平面穩(wěn)態(tài)溫度場的泛函 第一類邊界條件平面穩(wěn)態(tài)溫度場 部分邊界上的溫度為已知 第二類邊界條件平面穩(wěn)態(tài)溫度場 邊界面上的熱流密度qw/m2為已知 可得： 第三類邊界條件平面穩(wěn)態(tài)溫度場式中介質(zhì)溫度Ta, 換熱系數(shù)a,固體導熱系數(shù)k均為常數(shù)，所以： 具有內(nèi)熱源的平面穩(wěn)態(tài)溫度場可以推出：求滿足平面溫度場方程及邊界條件的溫度場T(x,y

7、),設k為常數(shù)據(jù)變分原理，此問題等價于求泛函JT(x,y)的極值函數(shù)，參考相關教材，可得上述熱傳導作為歐拉方程的相應泛函：3、溫度場單元分析 圖示求解域離散為若干三角形單元，含有邊界的單元，稱為邊界單元，任取一個單元i,j,k,如圖1。（圖1）（圖2）A、 溫度差值函數(shù)：在邊界線(如ij)上的任一點的溫度T，可用兩個端點的節(jié)點溫度線性插值表示：B、單元溫度剛度矩陣設單元只有三節(jié)點溫度，jk為邊界，將溫度插值函數(shù)代入前述的泛函，并求導得極值條件：上式第一部分為內(nèi)部單元的溫度剛度矩陣可得： 上式第一部分為內(nèi)部單元的溫度剛陣：對于內(nèi)部單元的溫度剛陣，i,j,k三點輪換，記為矩陣形式：第二部分同樣記為矩陣形式：兩部分相加可得邊界單元的溫度剛陣：3、 整體溫度場方程為n個線性方程組，對于每個方程而言， 是對繞節(jié)點m的所有單元求和，如圖， 節(jié)點5，則繞節(jié)點5的單元為1，2，3， 而其它單元不含節(jié)點5，即它們的泛函對T5的偏導數(shù)為0，可不考慮。即：如單元1，3為邊界單元，則按邊界單元 剛陣計算；如單元2為內(nèi)部單元，則按 內(nèi)部單元剛陣計算。 如此整理可得整體代數(shù)方程組：T：未知節(jié)點溫度列向量。H：整體溫度剛度矩陣。P：節(jié)點溫度載荷列向量。解上述代數(shù)方程組可得平面穩(wěn)態(tài)溫度場各節(jié)點的溫度值。對于其他帶熱源的穩(wěn)態(tài)溫度場或三維溫度場計算其方法類似。有限元法計算的目的是求出區(qū)域中的溫度分布，最終歸結為