《三維設(shè)計(jì)》2014屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案（基礎(chǔ)知識(shí)+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（含解析）

1、第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和知識(shí)能否憶起一、等差數(shù)列的有關(guān)概念1定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列符號(hào)表示為an1and(nN*，d為常數(shù))2等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A，其中A叫做a，b的等差中項(xiàng)二、等差數(shù)列的有關(guān)公式1通項(xiàng)公式：ana1(n1)d.2前n項(xiàng)和公式：Snna1d.三、等差數(shù)列的性質(zhì)1若m，n，p，qN*，且mnpq，an為等差數(shù)列，則amanapaq.2在等差數(shù)列an中，ak，a2k，a3k，a4k，仍為等差數(shù)列，公差為kd.3若an為等差數(shù)列，則Sn，S2nSn，S3nS2n，仍為等差數(shù)列，公差

2、為n2d.4等差數(shù)列的增減性：d>0時(shí)為遞增數(shù)列，且當(dāng)a1<0時(shí)前n項(xiàng)和Sn有最小值d<0時(shí)為遞減數(shù)列，且當(dāng)a1>0時(shí)前n項(xiàng)和Sn有最大值5等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公差為d.若其前n項(xiàng)之和可以寫成SnAn2Bn，則A，Ba1，當(dāng)d0時(shí)它表示二次函數(shù)，數(shù)列an的前n項(xiàng)和SnAn2Bn是an成等差數(shù)列的充要條件小題能否全取1(2012·福建高考)等差數(shù)列an中，a1a510，a47，則數(shù)列an的公差為()A1B2C3 D4解析：選B法一：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意得解得故d2.法二：在等差數(shù)列an中，a1a52a310，a35.又a47，公差d752.2(

3、教材習(xí)題改編)在等差數(shù)列an中，a2a6，則sin()A. B.C D解析：選Da2a6，2a4.sinsincos.3(2012·遼寧高考)在等差數(shù)列an中，已知a4a816，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11()A58 B88C143 D176解析：選BS1188.4在數(shù)列an中，若a11，an1an2(n1)，則該數(shù)列的通項(xiàng)an_.解析：由an1an2知an為等差數(shù)列其公差為2.故an1(n1)×22n1.答案：2n15(2012·北京高考)已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1，S2a3，則a2_，Sn_.解析：設(shè)an的公差為d，由S2a3知，a1a2a3，即

4、2a1da12d，又a1，所以d，故a2a1d1，Snna1n(n1)dn(n2n)×n2n.答案：1n2n1.與前n項(xiàng)和有關(guān)的三類問題(1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三個(gè)，即可求得其余兩個(gè)，這體現(xiàn)了方程思想(2)Snn2nAn2Bnd2A.(3)利用二次函數(shù)的圖象確定Sn的最值時(shí)，最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)不一定是最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)不一定是最小值2設(shè)元與解題的技巧已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列的一類問題，要善于設(shè)元，若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為，a2d，ad，a，ad，a2d，；若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為，a3d，ad，ad，a3d，其余各項(xiàng)再依

5、據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元等差數(shù)列的判斷與證明典題導(dǎo)入例1在數(shù)列an中，a13，an2an12n3(n2，且nN*)(1)求a2，a3的值；(2)設(shè)bn(nN*)，證明：bn是等差數(shù)列自主解答(1)a13，an2an12n3(n2，且nN*)，a22a12231，a32a223313.(2)證明：對(duì)于任意nN*，bn1bn(an12an)3(2n13)31，數(shù)列bn是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列由題悟法1證明an為等差數(shù)列的方法：(1)用定義證明：anan1d(d為常數(shù)，n2)an為等差數(shù)列；(2)用等差中項(xiàng)證明：2an1anan2an為等差數(shù)列；(3)通項(xiàng)法：an為n的一次函數(shù)an為等差數(shù)

6、列；(4)前n項(xiàng)和法：SnAn2Bn或Sn.2用定義證明等差數(shù)列時(shí)，常采用的兩個(gè)式子an1and和anan1d，但它們的意義不同，后者必須加上“n2”，否則n1時(shí)，a0無定義以題試法1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn是n的二次函數(shù)，且a12，a22，S36.(1)求Sn；(2)證明：數(shù)列an是等差數(shù)列解：(1)設(shè)SnAn2BnC(A0)，則解得A2，B4，C0.故Sn2n24n.(2)證明：當(dāng)n1時(shí)，a1S12.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n24n2(n1)24(n1)4n6.an4n6(nN*)an1an4，數(shù)列an是等差數(shù)列.等差數(shù)列的基本運(yùn)算典題導(dǎo)入例2(2012·重慶高考)已知an為

7、等差數(shù)列，且a1a38，a2a412.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)記an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1，ak，Sk2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值自主解答(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，由題意知解得所以ana1(n1)d22(n1)2n.(2)由(1)可得Snn(n1)因?yàn)閍1，ak，Sk2成等比數(shù)列，所以aa1Sk2.從而(2k)22(k2)(k3)，即k25k60，解得k6或k1(舍去)，因此k6.由題悟法1等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1(n1)d及前n項(xiàng)和公式Snna1d，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了方程的思想2數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作

8、用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法以題試法2(1)在等差數(shù)列中，已知a610，S55，則S8_.(2)(2012·江西聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若1，則公差為_解析：(1)a610，S55，解方程組得則S88a128d8×(5)28×344.(2)依題意得S44a1d4a16d，S33a1d3a13d，于是有1，由此解得d6，即公差為6.答案：(1)44(2)6等差數(shù)列的性質(zhì)典題導(dǎo)入例3(1)等差數(shù)列an中，若a1a4a739，a3a6a927，則前9項(xiàng)和S9等于()A66B99C144 D297(2)(2012

9、83;天津模擬)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，若S48，S820，則a11a12a13a14()A18 B17C16 D15自主解答(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)及a1a4a739，可得3a439，所以a413.同理，由a3a6a927，可得a69.所以S999.(2)設(shè)an的公差為d，則a5a6a7a8S8S412，(a5a6a7a8)S416d，解得d，a11a12a13a14S440d18.答案(1)B(2)A由題悟法1等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)的推廣與變形，熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題2應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解答問題的

10、關(guān)鍵是尋找項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系以題試法3(1)(2012·江西高考)設(shè)數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，若a1b17，a3b321，則a5b5_.(2)(2012·海淀期末)若數(shù)列an滿足：a119，an1an3(nN*)，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí)，n的值為()A6 B7C8 D9解析：(1)設(shè)兩等差數(shù)列組成的和數(shù)列為cn，由題意知新數(shù)列仍為等差數(shù)列且c17，c321，則c52c3c12×21735.(2)an1an3，數(shù)列an是以19為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，an19(n1)×(3)223n.設(shè)前k項(xiàng)和最大，則有即解得k.kN*，k7.故滿足條件的n的

11、值為7.答案：(1)35(2)B1(2011·江西高考)an為等差數(shù)列，公差d2，Sn為其前n項(xiàng)和若S10S11，則a1()A18B20C22 D24解析：選B由S10S11，得a11S11S100，a1a11(111)d0(10)×(2)20.2(2012·廣州調(diào)研)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a58，S36，則S10S7的值是()A24 B48C60 D72解析：選B設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意可得解得則S10S7a8a9a103a124d48.3(2013·東北三校聯(lián)考)等差數(shù)列an中，a5a64，則log2(2a1·2a2&#

12、183;·2a10)()A10 B20C40 D2log25解析：選B依題意得，a1a2a3a105(a5a6)20，因此有l(wèi)og2(2a1·2a2··2a10)a1a2a3a1020.4(2012·海淀期末)已知數(shù)列an滿足：a11，an>0，aa1(nN*)，那么使an<5成立的n的最大值為()A4 B5C24 D25解析：選Caa1，數(shù)列a是以a1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列a1(n1)n.又an>0，an.an<5，<5.即n<25.故n的最大值為24.5已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，并且S10&g

13、t;0，S11<0，若SnSk對(duì)nN*恒成立，則正整數(shù)k的值為()A5 B6C4 D7解析：選A由S10>0，S11<0知a1>0，d<0，并且a1a11<0，即a6<0，又a5a6>0，所以a5>0，即數(shù)列的前5項(xiàng)都為正數(shù)，第5項(xiàng)之后的都為負(fù)數(shù)，所以S5最大，則k5.6數(shù)列an的首項(xiàng)為3，bn為等差數(shù)列且bnan1an(nN*)若b32，b1012，則a8()A0 B3C8 D11解析：選B因?yàn)閎n是等差數(shù)列，且b32，b1012，故公差d2.于是b16，且bn2n8(nN*)，即an1an2n8.所以a8a76a646a5246a1(6

14、)(4)(2)02463.7(2012·廣東高考)已知遞增的等差數(shù)列an滿足a11，a3a4，則an_.解析：設(shè)等差數(shù)列公差為d，由a3a4，得12d(1d)24，解得d24，即d±2.由于該數(shù)列為遞增數(shù)列，故d2.an1(n1)×22n1.答案：2n18已知數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，a7a54，a1121，Sk9，則k_.解析：a7a52d4，則d2.a1a1110d21201，Skk×2k29.又kN*，故k3.答案：39設(shè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意自然數(shù)n都有，則的值為_解析：an，bn為等差數(shù)列，.，.答案

15、：10(2011·福建高考)已知等差數(shù)列an中，a11，a33.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列an的前k項(xiàng)和Sk35，求k的值解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.從而an1(n1)×(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2.由Sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k7.11設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Tn，Tn1an，(1)證明是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)證明：由Tn1an得，當(dāng)n2時(shí)，Tn1，兩邊同除以Tn得1.T11a1a1，

16、故a1，2.是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列(2)由(1)知n1，則Tn，從而an1Tn.故n.數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列Sn.12已知在等差數(shù)列an中，a131，Sn是它的前n項(xiàng)和，S10S22.(1)求Sn；(2)這個(gè)數(shù)列的前多少項(xiàng)的和最大，并求出這個(gè)最大值解：(1)S10a1a2a10，S22a1a2a22，又S10S22，a11a12a220，即0，故a11a222a131d0.又a131，d2，Snna1d31nn(n1)32nn2.(2)法一：由(1)知Sn32nn2，故當(dāng)n16時(shí)，Sn有最大值，Sn的最大值是256.法二：由Sn32nn2n(32n)，欲使Sn有最大值，應(yīng)有

17、1<n<32，從而Sn2256，當(dāng)且僅當(dāng)n32n，即n16時(shí)，Sn有最大值256.1等差數(shù)列中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，則該數(shù)列前13項(xiàng)的和是()A156 B52C26 D13解析：選Ca3a52a4，a7a10a133a10，6(a4a10)24，故a4a104.S1326.2在等差數(shù)列an中，a1>0，a10·a11<0，若此數(shù)列的前10項(xiàng)和S1036，前18項(xiàng)和S1812，則數(shù)列|an|的前18項(xiàng)和T18的值是()A24 B48C60 D84解析：選C由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0

18、，a11<0，故T18a1a10a11a18S10(S18S10)60.3數(shù)列an滿足an1an4n3(nN*)(1)若an是等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式；(2)若an滿足a12，Sn為an的前n項(xiàng)和，求S2n1.解：(1)由題意得an1an4n3，an2an14n1，得an2an4，an是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，d2.a1a21，a1a1d1，a1，an2n.(2)a12，a1a21，a21.又an2an4，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差均為4，a2n14n2，a2n4n5，S2n1(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(n1)×2×4n×(1)×44n2n2.1已知數(shù)列an中，a1，an2(n2，nN*)，數(shù)列bn滿足bn(nN*)(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說明理由解：(1)證明：an2(n2