“雙勾函數(shù)”的性質(zhì)及應(yīng)用

1、 “雙勾函數(shù)”的性質(zhì)及應(yīng)用問題引入：求函數(shù)的最小值問題分析：將問題采用別離常數(shù)法處理得，此時(shí)如果利用均值不等式，即，等式成立的條件為，而顯然無實(shí)數(shù)解，所以“”不成立，因而最小值不是，遇到這種問題應(yīng)如何處理呢？這種形式的函數(shù)又具有何特征呢？是否與我們所熟知的函數(shù)具有相似的性質(zhì)呢?帶著種種疑問，我們來探究一下這種特殊類型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)一、利用“二次函數(shù)”的性質(zhì)研究“雙勾函數(shù)”的性質(zhì)1“雙勾函數(shù)”的定義我們把形如為常數(shù)，的函數(shù)稱為“雙勾函數(shù)”因?yàn)楹瘮?shù)為常數(shù)，在第一象限的圖像如“”，而該函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故此而得名2類比“二次函數(shù)”與“雙勾函數(shù)”的圖像二次函數(shù)圖像“雙勾函數(shù)”圖像

2、3類比“二次函數(shù)”的性質(zhì)探究“雙勾函數(shù)”的性質(zhì)1“二次函數(shù)”的性質(zhì)當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)，隨著的增大而減??；在對(duì)稱軸的右側(cè)，隨著的增大而增大；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值 當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)，隨著的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，隨著的增大而減小當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值 2“雙勾函數(shù)”性質(zhì)的探究當(dāng)時(shí)，在左側(cè)，隨著的增大而減?。辉诘挠覀?cè)，隨著的增大而增大；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值 當(dāng)時(shí)，在的左側(cè)，隨著的增大而增大；在的右側(cè)，隨著的增大而減小當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值 綜上知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減下面對(duì)“雙勾函數(shù)”的性質(zhì)作一證明證明：定義法設(shè)R，且，則以下我們?cè)鯓诱业皆鰷p區(qū)間的分界點(diǎn)呢？首先，就是一個(gè)分界點(diǎn)，另外我們

3、用“相等分界法”，令，可得到，因此又找到兩個(gè)分界點(diǎn)，這樣就把的定義域分為，四個(gè)區(qū)間，再討論它的單調(diào)性設(shè)，則，即在上單調(diào)遞減同理可得，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減性質(zhì)啟發(fā)：由函數(shù)的單調(diào)性及在其單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)處取值的趨勢，可作出函數(shù)的圖像，反過來利用圖像可形象地記憶該函數(shù)的單調(diào)性及有關(guān)性質(zhì)此性質(zhì)是求解函數(shù)最值的強(qiáng)有力工具，特別是利用均值不等式而等號(hào)不成立時(shí)，更彰顯其單調(diào)性的強(qiáng)大功能4“二次函數(shù)”與“雙勾函數(shù)”在處理區(qū)間最值問題上的類比1“二次函數(shù)”的區(qū)間最值設(shè)，求在上的最大值與最小值分析：將配方，得對(duì)稱軸方程，當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上假設(shè)必在頂點(diǎn)取得最小

4、值，離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)端點(diǎn)處取得最大值；假設(shè)，此時(shí)函數(shù)在上具有單調(diào)性，故在離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)端點(diǎn)處取得最大值，較近端點(diǎn)處取得最小值當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下假設(shè)必在頂點(diǎn)取得最大值，離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)端點(diǎn)處取得最小值；假設(shè)，此時(shí)函數(shù)在上具有單調(diào)性，故在離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)端點(diǎn)處取得最小值，較近端點(diǎn)處取得最大值以上，作圖可得結(jié)論當(dāng)時(shí)，；圖1圖2圖3圖4圖5當(dāng)時(shí)，；圖6圖7圖8圖9圖102“雙勾函數(shù)”的區(qū)間最值設(shè)，求在上的最大值與最小值分析：當(dāng)時(shí)，其圖像為第一象限部分假設(shè)，則函數(shù)必在界點(diǎn)處取得最小值，最大值需比較兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值；假設(shè)，此時(shí)函數(shù)在上具有單調(diào)性，故在離直線較遠(yuǎn)端點(diǎn)處取得最大值，較近端點(diǎn)處取得最小值當(dāng)時(shí)，其圖像為第三

5、象限部分假設(shè)，則函數(shù)必在界點(diǎn)處取得最大值，最小值需比較兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值；假設(shè)，此時(shí)函數(shù)在上具有單調(diào)性，故在離直線較遠(yuǎn)端點(diǎn)處取得最小值，較近端點(diǎn)處取得最大值以上，作圖可得結(jié)論當(dāng)時(shí)，圖11圖12圖13當(dāng)時(shí)，圖14圖15圖16二、實(shí)踐平臺(tái)例1某化工廠生產(chǎn)的某種化工產(chǎn)品，當(dāng)年產(chǎn)量在噸至噸之間時(shí)，其生產(chǎn)的總成本萬元與年產(chǎn)量噸之間的函數(shù)關(guān)系式近似地表示為問：1年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，每噸的平均成本最低？并求出最低成本；2每噸平均出廠價(jià)為萬元，年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可獲得最大利潤？并求出最大利潤分析：將問題歸結(jié)為“雙勾函數(shù)”問題，利用“雙勾函數(shù)”的性質(zhì)，可使問題輕松獲解解：1由題意可知，每噸平均成本為萬元即，因?yàn)楹?/p>

6、數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為萬元，所以當(dāng)年產(chǎn)量為噸時(shí)，每噸的平均成本最低，最低成本為萬元2設(shè)年獲得總利潤為萬元，則，當(dāng)，故當(dāng)年產(chǎn)量為噸時(shí)，可獲得最大利潤萬元評(píng)注：此題的關(guān)鍵是用年產(chǎn)量噸把每噸平均成本及利潤表示出來，然后再求其最值，在求解最值時(shí)我們要用到“雙勾函數(shù)”的單調(diào)性，記住這個(gè)結(jié)論可以簡化計(jì)算過程函數(shù)的單調(diào)性除一些理論上的應(yīng)用外，它還可以靈活有效地解決現(xiàn)實(shí)生活中與之相關(guān)的實(shí)際問題例2甲、乙兩地相距km，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過km/h，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本以元為單位，由可變部分和固定部分組成；可變部分與速度(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)

7、為，固定部分為元1把全程運(yùn)輸成本元表示為(km/h)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域2為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大的速度行駛分析：要計(jì)算全程的運(yùn)輸成本()，而已知每小時(shí)的運(yùn)輸成本，只需計(jì)算全程的時(shí)間，由題意不難得到全程運(yùn)輸成本()，所要解決的問題是求何時(shí)取最小值，顯然要對(duì)的大小進(jìn)行討論，討論的標(biāo)準(zhǔn)也就是與的大小解：1依題意知：汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為，因此全程運(yùn)輸成本為，又據(jù)題意，故所求函數(shù)及其定義域分別為：，2設(shè)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)假設(shè)，結(jié)合“雙勾函數(shù)”的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)運(yùn)輸成本最小假設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，全程運(yùn)輸成本最小 評(píng)注：解應(yīng)用題時(shí)，首先要訓(xùn)練讀題能力，

8、成功地完成對(duì)數(shù)學(xué)文字語言、符號(hào)語言、圖形語言的理解、接受和轉(zhuǎn)換，繼而對(duì)題中各元素的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行加工和提煉，分清主次，并建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題例32006安徽高考已知函數(shù)在R上有定義，對(duì)任意實(shí)數(shù)和任意實(shí)數(shù)，都有證明；證明其中和均為常數(shù)；當(dāng)中的，設(shè)，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求最值分析：承接第問的結(jié)論，將問題歸結(jié)為“雙勾函數(shù)”的單調(diào)性與函數(shù)最值的求解問題證明：令，則，令，則假設(shè)時(shí)，R，則，而，即成立令，假設(shè)時(shí)，則，而，即成立成立當(dāng)時(shí)， 由“雙勾函數(shù)”性質(zhì)知在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，評(píng)注：數(shù)學(xué)高考試題注重“考基礎(chǔ)、考能力、考思想”所以熟悉數(shù)學(xué)化歸的思想，有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)變換的方法去靈活解決有關(guān)

9、的數(shù)學(xué)問題，將有利于強(qiáng)化在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，有利于提高解決數(shù)學(xué)問題的思維能力和技能、技巧 適當(dāng)進(jìn)行化歸、轉(zhuǎn)化能給人帶來思維的閃光點(diǎn)，找到解決問題的突破口，是分析問題中思維過程的主要組成部分 此題就是轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用的一個(gè)典型，通過轉(zhuǎn)化將本來抽象的問題歸結(jié)到“雙勾函數(shù)”區(qū)間最值的求解，讓我們有一種豁然開朗的感覺例42001廣東高考設(shè)計(jì)一幅宣傳畫，要求畫面面積為cm，畫面的寬與高的比為，畫面的上、下各留cm空白，左、右各留cm空白怎樣確定畫面的高與寬尺寸，能使宣傳畫所用紙張面積最小?如果要求，那么為何值時(shí)，能使宣傳畫所用紙張面積最小?分析：設(shè)定變?cè)?，尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系(等量關(guān)系)，選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的這種聯(lián)系，建立函數(shù)模型，將問題歸結(jié)為“雙勾函數(shù)”區(qū)間最值問題，并運(yùn)用“雙勾函數(shù)”性質(zhì)進(jìn)行求解解：設(shè)畫面高為cm，寬為cm，則設(shè)紙張面積為cm，則有,將代入上式得,令，則，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)，高：cm，寬：cm如果，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)評(píng)注：函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系，是對(duì)問題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種動(dòng)態(tài)刻畫 要充分重視解題過程中的推理，注意運(yùn)用推理來簡化運(yùn)算充分利用題目給出的信息，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系很明顯，只有在對(duì)問題的觀察、分析、判斷等一系列的思維過