數(shù)學(xué)建模案例分析線性代數(shù)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例

1、線性代數(shù)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例1 基因間“距離”的表示在ABO血型的人們中，對各種群體的基因的頻率進行了研究。如果我們把四種等位基因A1，A2，B，O區(qū)別開，有人報道了如下的相對頻率，見表1.1。表1.1基因的相對頻率愛斯基摩人f1i班圖人f2i英國人f3i朝鮮人f4iA10.29140.10340.20900.2208A20.00000.08660.06960.0000B0.03160.12000.06120.2069O0.67700.69000.66020.5723合計1.0001.0001.0001.000問題 一個群體與另一群體的接近程度如何？換句話說，就是要一個表示基因的“距離”的合

2、宜的量度。解 有人提出一種利用向量代數(shù)的方法。首先，我們用單位向量來表示每一個群體。為此目的，我們?nèi)∶恳环N頻率的平方根，記.由于對這四種群體的每一種有，所以我們得到.這意味著下列四個向量的每個都是單位向量.記在四維空間中，這些向量的頂端都位于一個半徑為1的球面上.現(xiàn)在用兩個向量間的夾角來表示兩個對應(yīng)的群體間的“距離”似乎是合理的.如果我們把a1和a2之間的夾角記為，那么由于| a1|=| a2|=1，再由內(nèi)只公式，得而故 得 °.按同樣的方式，我們可以得到表1.2.表1.2基因間的“距離”愛斯基摩人班圖人英國人朝鮮人愛斯基摩人0°23.2°16.4°16

3、.8°班圖人23.2°0°9.8°20.4°英國人16.4°9.8°0°19.6°朝鮮人16.8°20.4°19.6°0°由表1.2可見，最小的基因“距離”是班圖人和英國人之間的“距離”，而愛斯基摩人和班圖人之間的基因“距離”最大.2 Euler的四面體問題問題 如何用四面體的六條棱長去表示它的體積？這個問題是由Euler（歐拉）提出的.解 建立如圖2.1所示坐標(biāo)系，設(shè)A，B，C三點的坐標(biāo)分別為（a1,b1,c1）,( a2,b2,c2)和（a3,b3,c3），并設(shè)

4、四面體O-ABC的六條棱長分別為由立體幾何知道，該四面體的體積V等于以向量組成右手系時，以它們?yōu)槔獾钠叫辛骟w的體積V6的.而于是得 將上式平方，得根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有于是 （2.1）由余弦定理，可行同理將以上各式代入（2.1）式，得 （2.2）這就是Euler的四面體體積公式.例 一塊形狀為四面體的花崗巖巨石，量得六條棱長分別為l=10m, m=15m, n=12m,p=14m, q=13m, r=11m.則代入（2.1）式，得于是即花崗巖巨石的體積約為195m3.古埃及的金字塔形狀為四面體，因而可通過測量其六條棱長去計算金字塔的體積.3 動物數(shù)量的按年齡段預(yù)測問題問題 某農(nóng)場飼養(yǎng)

5、的某種動物所能達到的最大年齡為15歲，將其分成三個年齡組：第一組，05歲；第二組，610歲；第三組，1115歲.動物從第二年齡組起開始繁殖后代，經(jīng)過長期統(tǒng)計，第二組和第三組的繁殖率分別為4和3.第一年齡和第二年齡組的動物能順利進入下一個年齡組的存活率分別為和.假設(shè)農(nóng)場現(xiàn)有三個年齡段的動物各100頭，問15年后農(nóng)場三個年齡段的動物各有多少頭？問題分析與建模 因年齡分組為5歲一段，故將時間周期也取為5年.15年后就經(jīng)過了3個時間周期.設(shè)表示第k個時間周期的第i組年齡階段動物的數(shù)量（k=1，2，3；i=1，2，3）.因為某一時間周期第二年齡組和第三年齡組動物的數(shù)量是由上一時間周期上一年齡組存活下來動

6、物的數(shù)量，所以有又因為某一時間周期，第一年齡組動物的數(shù)量是由于一時間周期各年齡組出生的動物的數(shù)量，所以有于是我們得到遞推關(guān)系式：用矩陣表示則其中則有結(jié)果分析 15年后，農(nóng)場飼養(yǎng)的動物總數(shù)將達到16625頭，其中05歲的有14375頭，占86.47%，610歲的有1375頭，占8.27%，1115歲的有875頭，占5.226%.15年間，動物總增長16625-3000=13625頭，總增長率為13625/3000=454.16%.注 要知道很多年以后的情況，可通過研究式中當(dāng)趨于無窮大時的極限狀況得到.關(guān)于年齡分布的人口預(yù)測模型 我們將人口按相同的年限（比如5年）分成若干年齡組，同時假設(shè)各年齡段的

7、田、女人口分布相同，這樣就可以通過只考慮女性人口來簡化模型.人口發(fā)展隨時間變化，一個時間周期的幅度使之對應(yīng)于基本年齡組間距（如先例的5年），令是在時間周期k時第i個年齡組的（女性）人口，i=1,2,n.用1表示最低年齡組，用n表示最高年齡組，這意味著不考慮更大年齡組人口的變化.假如排除死亡的情形，那么在一個周期內(nèi)第i個年齡組的成員將全部轉(zhuǎn)移到i+1個年齡組.但是，實際上必須考慮到死亡率，因此這一轉(zhuǎn)移過程可由一存活系數(shù)所衰減. 于是，這一轉(zhuǎn)移過程可由下述議程簡單地描述：其中是在第i 個年齡組在一個周期的存活率，因子可由統(tǒng)計資料確定.惟一不能由上述議程確定的年齡組是其中的成員是在后面的周期內(nèi)出生的

8、，他們是后面的周期內(nèi)成員的后代，因此這個年齡組的成員取決于后面的周期內(nèi)各組的出生率及其人數(shù).于是有方程 （3.1）這里是第i個年齡組的出生率，它是由每時間周期內(nèi)，第i個年齡組的每一個成員的女性后代的人數(shù)來表示的，通常可由統(tǒng)計資料來確定.于是我們得到了單性別分組的人口模型，用矩陣表示便是或者簡寫成 （3.2）矩陣稱為Leslie矩陣.由（3.2）式遞推可得這就是Leslie模型.4 企業(yè)投入產(chǎn)生分析模型問題 某地區(qū)有三個重要產(chǎn)業(yè)，一個煤礦、一個發(fā)電廠和一條地方鐵路.開采一元錢的煤，煤礦要支付0.25元的電費及0.25元的運輸費.生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠要支付0.65元的煤費，0.05元的電費及0

9、.05元的運輸費.創(chuàng)收一元錢的運輸費,鐵路要支付0.55元的煤費及0.10元的電費.在某一周內(nèi)，煤礦接到外地金額為50000元的定貨，發(fā)電廠接到外地金額為25000元的定貨，外界對地方鐵路沒有需求.問三個企業(yè)在這一周內(nèi)總產(chǎn)值多少才能滿足自身及外界的需求？數(shù)學(xué)模型 設(shè)x1為煤礦本周內(nèi)的總產(chǎn)值，x2為電廠本周的總產(chǎn)值，x3為鐵路本周內(nèi)的總產(chǎn)值，則 （4.1）即即矩陣A稱為直接消耗矩陣，X稱為產(chǎn)出向量，Y稱為需求向量，則方程組（4.1）為即， （4.2）其中矩陣E為單位矩陣，（E-A）稱為列昂杰夫矩陣，列昂杰夫矩陣為非奇異矩陣.投入產(chǎn)出分析表 設(shè)D=（1，1，1）C.矩陣B稱為完全消耗矩陣，它與矩陣

10、A一起在各個部門之間的投入產(chǎn)生中起平衡作用.矩陣C可以稱為投入產(chǎn)出矩陣，它的元素表示煤礦、電廠、鐵路之間的投入產(chǎn)出關(guān)系.向量D稱為總投入向量，它的元素是矩陣C的對應(yīng)列元素之和，分別表示煤礦、電廠、鐵路得到的總投入.由矩陣C，向量Y，X和D，可得投入產(chǎn)出分析表4.1. 表4.1 投入產(chǎn)出分析表 單位：元煤礦電廠鐵路外界需求總產(chǎn)出煤礦電廠鐵路總投入計算求解 按（4.2）式解方程組可得產(chǎn)出向量X，于是可計算矩陣C和向量D，計算結(jié)果如表4.2. 表4.2 投入產(chǎn)出計算結(jié)果 單位：元煤礦電廠鐵路外界需求總產(chǎn)出煤礦036505.9615581.5150000102087.48電廠25521.872808.

11、152833.002500056163.02鐵路25521.872808.150028330.02總投入51043.7442122.2718414.525 交通流量的計算模型問題 圖5.1給出了某城市部分單行街道的交通流量（每小時過車數(shù)）.假設(shè)：（1）全部流入網(wǎng)絡(luò)的流量等于全部流出網(wǎng)絡(luò)的流量；（2）全部流入一個節(jié)點的流量等于全部流出此節(jié)點的流量.試建立數(shù)學(xué)模型確定該交通網(wǎng)絡(luò)未知部分的具體流量.建模與計算 由網(wǎng)絡(luò)流量假設(shè)，所給問題滿足如下線方程組：系數(shù)矩陣為增廣矩陣階梯形最簡形式為其對應(yīng)的齊次方程組為?。▁5,x8）為自由取值未知量，分別賦兩組值為（1,0），（0,1），得齊次方程組基礎(chǔ)解系中兩

12、個解向量其對應(yīng)的非齊次方程組為賦值給自由未知量（x5,x8）為（0,0）得非齊次方程組的特解于是方程組的通解其中k1，k2為任意常數(shù)，x的每一個分量即為交通網(wǎng)絡(luò)未知部分的具體流量，它有無窮多解.6 小行星的軌道模型問題 一天文學(xué)家要確定一顆小行星繞太陽運行的軌道，他在軌道平面內(nèi)建立以太陽為原點的直角坐標(biāo)系，在兩坐標(biāo)軸上取天文測量單位（一天文單位為地球到太陽的平均距離：1.4959787×1011m）.在5個不同的時間對小行星作了5次觀察，測得軌道上5個點的坐標(biāo)數(shù)據(jù)如表6.1.表6.1 坐標(biāo)數(shù)據(jù)x1x2x3x4x5X坐標(biāo)5.7646.2866.7597.1687.408y1y2y3y4

13、y5Y坐標(biāo)0.6481.2021.8232.5263.360由Kepler（開普勒）第一定律知，小行星軌道為一橢圓.現(xiàn)需要建立橢圓的方程以供研究（注：橢圓的一般方程可表示為.問題分析與建立模型 天文學(xué)家確定小行星運動的軌道時，他的依據(jù)是軌道上五個點的坐標(biāo)數(shù)據(jù)：（x1, y1）, （x2, y2）, （x3, y3）, （x4, y4）, （x5, y5）.由Kepler第一定律知，小行星軌道為一橢圓.而橢圓屬于二次曲線，二次曲線的一般方程為.為了確定方程中的五個待定系數(shù)，將五個點的坐標(biāo)分別代入上面的方程，得這是一個包含五個未知數(shù)的線性方程組，寫成矩陣求解這一線性方程組，所得的是一個二次曲線方程

14、.為了知道小行星軌道的一些參數(shù),還必須將二次曲線方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式:由于太陽的位置是小行星軌道的一個焦點,這時可以根據(jù)橢圓的長半軸和短半軸計算出小行星的近日點和遠(yuǎn)日點距離,以及橢圓周長.根據(jù)二次曲線理論,可得橢圓經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和平移兩種變換后的方程如下:所以,橢圓長半軸:;橢圓短半軸: ;橢圓半焦矩:.計算求解 首先由五個點的坐標(biāo)數(shù)據(jù)形成線性方程組的系數(shù)矩陣使用計算機可求得從而的特征值于是,橢圓長半軸,短半軸,半焦距.小行星近日點距和遠(yuǎn)日點距為最后,橢圓的周長的準(zhǔn)確計算要用到橢圓積分,可以考慮用數(shù)值積分解決問題,其近似 值為84.7887.7 人口遷移的動態(tài)分析問題 對城鄉(xiāng)人口流動作年度調(diào)查

15、,發(fā)現(xiàn)有一個穩(wěn)定的朝向城鎮(zhèn)流動的趨勢:每年農(nóng)村居民的2.5%移居城鎮(zhèn),而城鎮(zhèn)居民的1%遷出.現(xiàn)在總?cè)丝诘?0%位于城鎮(zhèn).假如城鄉(xiāng)總?cè)丝诒３植蛔?并且人口流動的這種趨勢繼續(xù)下去,那么一年以后住在城鎮(zhèn)人口所占比例是多少?兩年以后呢?十年以后呢?最終呢?解 設(shè)開始時,令鄉(xiāng)村人口為城鎮(zhèn)人口為一年以后有鄉(xiāng)村人口 城鎮(zhèn)人口 或?qū)懗删仃囆问?兩年以后,有.十年以后,有事實上,它給出了一個差分方程:.我們現(xiàn)在來解這個差分方程.首先年之后的分布(將對角化):這就是我們所要的解,而且容易看出經(jīng)過很長一個時期以后這個解會達到一個極限狀態(tài)總?cè)丝谌允?與開始時一樣,但在此極限中人口的在城鎮(zhèn),而在鄉(xiāng)村.無論初始分布是什么

16、樣,這總是成立的.值得注意這個穩(wěn)定狀態(tài)正是的屬于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性質(zhì):人口總數(shù)保持不變,而且鄉(xiāng)村和城鎮(zhèn)的人口數(shù)決不能為負(fù).前一性質(zhì)反映在下面事實中:矩陣每一列加起來為1;每個人都被計算在內(nèi),而沒有人被重復(fù)或丟失.后一性質(zhì)則反映在下面事實中:矩陣沒有負(fù)元素;同樣地和也是非負(fù)的,從而和和等等也是這樣.8 常染色體遺傳模型為了揭示生命的奧秘,遺傳學(xué)的研究已引起了人們的廣泛興趣.動植物在產(chǎn)生下一代的過程中,總是將自己的特征遺傳給下一代,從而完成一種“生命的延續(xù)”.在常染色體遺傳中,后代從每個親體的基因?qū)χ懈骼^承一個基因,形成自己的基因?qū)?人類眼睛顏色即是通過常染色體控制的,其特

17、征遺傳由兩個基因和控制.基因?qū)κ呛偷娜?眼睛是棕色,基因?qū)κ堑娜?眼睛為藍色.由于和都表示了同一外部特征,或認(rèn)為基因支配,也可認(rèn)為基因?qū)τ诨騺碚f是隱性的(或稱為顯性基因,為隱性基因).下面我們選取一個常染色體遺傳植物后代問題進行討論.某植物園中植物的基因型為,.人們計劃用型植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代.經(jīng)過若干年后,這種植物后代的三種基因型分布將出現(xiàn)什么情形?我們假設(shè)分別代表第代植物中,基因型為,和的植物占植物總數(shù)的百分率,令為第代植物的基因分布, 表示植物基因型的初始分布,顯然,我們有 (8.1)先考慮第代中的型，第代型與型相結(jié)合，后代全部是型；第代的型與和與相結(jié)合，后代是型的可能性為；代的型與型相結(jié)合，后代不可能是型。因此，我們有 （8.2）同理,我們有 （8.3） （8.4）將(8.2),(8.3),(8.4)式相加,得 （8.5