數(shù)據(jù)處理及誤差分析

1、物理實(shí)驗(yàn)課的基本程序物理實(shí)驗(yàn)的每一個(gè)課題的完成，一般分為預(yù)習(xí)、課堂操作和完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告三個(gè)階段。§1 實(shí)驗(yàn)前的預(yù)習(xí)為了在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，高質(zhì)量地完成實(shí)驗(yàn)任務(wù)，學(xué)生一定要作好實(shí)驗(yàn)前的預(yù)習(xí)。實(shí)驗(yàn)課前認(rèn)真閱讀教材，在弄清本次實(shí)驗(yàn)的原理、儀器性能及測(cè)試方法和步驟的基礎(chǔ)上，在實(shí)驗(yàn)報(bào)告紙上寫出實(shí)驗(yàn)預(yù)習(xí)報(bào)告。預(yù)習(xí)報(bào)告包括下列欄目： 實(shí)驗(yàn)名稱寫出本次實(shí)驗(yàn)的名稱。 實(shí)驗(yàn)?zāi)康膽?yīng)簡(jiǎn)單明確地寫明本次實(shí)驗(yàn)的目的要求。 實(shí)驗(yàn)原理扼要地?cái)⑹鰧?shí)驗(yàn)原理，寫出主要公式及符號(hào)的意義，畫上主要的示意圖、電路圖或光路圖。若講義與實(shí)際所用不符，應(yīng)以實(shí)際采用的原理圖為準(zhǔn)。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容簡(jiǎn)明扼要地寫出實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、操作步驟。為了使測(cè)量數(shù)據(jù)清晰明了

2、，防止遺漏，應(yīng)根據(jù)實(shí)驗(yàn)的要求，用一張A4白紙預(yù)先設(shè)計(jì)好數(shù)據(jù)表格，便于測(cè)量時(shí)直接填入測(cè)量的原始數(shù)據(jù)。注意要正確地表示出有效數(shù)字和單位。 §2 課堂操作 進(jìn)入實(shí)驗(yàn)室，首先要了解實(shí)驗(yàn)規(guī)則及注意事項(xiàng)，其次就是熟悉儀器和安裝調(diào)整儀器（例如,千分尺調(diào)零、天平調(diào)水平和平衡、光路調(diào)同軸等高等）。準(zhǔn)備就緒后開始測(cè)量。測(cè)量的原始數(shù)據(jù)（一定不要加工、修改）應(yīng)忠實(shí)地、整齊地記錄在預(yù)先設(shè)計(jì)好的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表格里，數(shù)據(jù)的有效位數(shù)應(yīng)由儀器的精度或分度值加以確定。數(shù)據(jù)之間要留有間隙，以便補(bǔ)充。發(fā)現(xiàn)是錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)用鉛筆劃掉，不要?dú)У?，因?yàn)槌３Ｔ诤藢?duì)以后發(fā)現(xiàn)它并沒有錯(cuò)，不要忘記記錄有關(guān)的實(shí)驗(yàn)環(huán)境條件（如環(huán)境溫度、濕度等），儀

3、器的精度，規(guī)格及測(cè)量量的單位。實(shí)驗(yàn)原始數(shù)據(jù)的優(yōu)劣，決定著實(shí)驗(yàn)的成敗，讀數(shù)時(shí)務(wù)必要認(rèn)真仔細(xì)。運(yùn)算的錯(cuò)誤可以修改，原始數(shù)據(jù)則不能擅自改動(dòng)。全部數(shù)據(jù)必須經(jīng)老師檢查、簽名，否則本次實(shí)驗(yàn)無效。兩人同作一個(gè)實(shí)驗(yàn)時(shí)，要既分工又協(xié)作，以便共同完成實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)完畢后，應(yīng)切斷電源，整理好儀器，并將桌面收拾整潔方能離開實(shí)驗(yàn)室。§3 實(shí)驗(yàn)報(bào)告 實(shí)驗(yàn)報(bào)告是實(shí)驗(yàn)工作的總結(jié)。要用簡(jiǎn)明的形式將實(shí)驗(yàn)報(bào)告完整而又準(zhǔn)確地表達(dá)出來。實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求文字通順，字跡端正，圖表規(guī)矩，結(jié)果正確，討論認(rèn)真。應(yīng)養(yǎng)成實(shí)驗(yàn)完后盡早寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告的習(xí)慣，因?yàn)檫@樣做可以收到事半功倍的效果。 完整的實(shí)驗(yàn)報(bào)告應(yīng)包括下述幾部分內(nèi)容：數(shù)據(jù)表格在實(shí)驗(yàn)報(bào)告紙上設(shè)

4、計(jì)好合理的表格，將原始數(shù)據(jù)整理后填入表格之中（有老師簽名的原始數(shù)據(jù)記錄紙要附在本次報(bào)告一起交）。數(shù)據(jù)處理根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，可采用列表和作圖法（用坐標(biāo)紙），對(duì)所得的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。按照實(shí)驗(yàn)要求計(jì)算待測(cè)的量值、絕對(duì)誤差及相對(duì)誤差。書寫在報(bào)告上的計(jì)算過程應(yīng)是：公式代入數(shù)據(jù)結(jié)果，中間計(jì)算可以不寫，絕對(duì)不能寫成：公式結(jié)果，或只寫結(jié)果。而對(duì)誤差的計(jì)算應(yīng)是：先列出各單項(xiàng)誤差,按如下步驟書寫，公式代入數(shù)據(jù)用百分?jǐn)?shù)書寫的結(jié)果。結(jié)果表達(dá)按下面格式寫出最后結(jié)果：結(jié)果分析對(duì)本次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果及主要誤差因數(shù)作簡(jiǎn)要的分析討論，并完成課后的思考題。還可以談?wù)剬?shí)驗(yàn)的心得體會(huì)。如果實(shí)驗(yàn)是為了觀察某一物理現(xiàn)象或者觀察某一物理規(guī)律，可只扼要

5、地寫出實(shí)驗(yàn)結(jié)論。 以上是對(duì)報(bào)告的一般性要求。不同的實(shí)驗(yàn)，可以根據(jù)具體情況有所側(cè)重和取舍，不必千篇一律。誤 差 處 理物理實(shí)驗(yàn)的任務(wù)，不僅僅是定性地觀察物理現(xiàn)象，也需要對(duì)物理量進(jìn)行定量測(cè)量，并找出各物理量之間的內(nèi)在聯(lián)系。由于測(cè)量原理的局限性或近似性、測(cè)量方法的不完善、測(cè)量?jī)x器的精度限制、測(cè)量環(huán)境的不理想以及測(cè)量者的實(shí)驗(yàn)技能等諸多因素的影響，所有測(cè)量都只能做到相對(duì)準(zhǔn)確。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，人們的實(shí)驗(yàn)知識(shí)、手段、經(jīng)驗(yàn)和技巧不斷提高，測(cè)量誤差被控制得越來越小，但是絕對(duì)不可能使誤差降為零。因此，作為一個(gè)測(cè)量結(jié)果，不僅應(yīng)該給出被測(cè)對(duì)象的量值和單位，而且還必須對(duì)量值的可靠性做出評(píng)價(jià)，一個(gè)沒有誤差評(píng)定的測(cè)

6、量結(jié)果是沒有價(jià)值的。下面介紹測(cè)量與誤差、誤差處理、有效數(shù)字、測(cè)量結(jié)果的不確定度評(píng)定等基本知識(shí)，這些知識(shí)不僅在后面的實(shí)驗(yàn)中要經(jīng)常用到，而且也是今后從事科學(xué)實(shí)驗(yàn)工作所必須了解和掌握的。§1 測(cè)量與誤差一、 測(cè)量及其分類所謂測(cè)量，就是借助一定的實(shí)驗(yàn)器具，通過一定的實(shí)驗(yàn)方法，直接或間接地把待測(cè)量與選作計(jì)量單位的同類物理量進(jìn)行比較的全部操作。簡(jiǎn)而言之，測(cè)量是指為確定被測(cè)對(duì)象的量值而進(jìn)行的一組操作。按照測(cè)量值獲得方法的不同，測(cè)量分為直接測(cè)量和間接測(cè)量?jī)煞N。直接從儀器或量具上讀出待測(cè)量的大小，稱為直接測(cè)量。例如，用米尺測(cè)物體的長(zhǎng)度，用秒表測(cè)時(shí)間間隔，用天平測(cè)物體的質(zhì)量等都是直接測(cè)量，相應(yīng)的被測(cè)物理

7、量稱為直接測(cè)量量。如果待測(cè)量的量值是由若干個(gè)直接測(cè)量量經(jīng)過一定的函數(shù)運(yùn)算后才獲得的，則稱為間接測(cè)量。例如，先直接測(cè)出鐵圓柱體的質(zhì)量m、直徑D和高度h，再根據(jù)公式計(jì)算出鐵的的密度，這就是間接測(cè)量，稱為間接測(cè)量量。按照測(cè)量條件的不同，測(cè)量又可分為等精度測(cè)量和不等精度測(cè)量。在相同的測(cè)量條件下進(jìn)行的一系列測(cè)量是等精度測(cè)量。例如，同一個(gè)人，使用同一儀器，采用同樣的方法，對(duì)同一待測(cè)量連續(xù)進(jìn)行多次測(cè)量，此時(shí)應(yīng)該認(rèn)為每次測(cè)量的可靠程度相同，故稱之為等精度測(cè)量，這樣的一組測(cè)量值稱為一個(gè)測(cè)量列。在不同測(cè)量條件下進(jìn)行的一系列測(cè)量，例如不同的人員，使用不同的儀器，采用不同的方法進(jìn)行測(cè)量，則各次測(cè)量結(jié)果的可靠程度自然也

8、不相同，這樣的測(cè)量稱為不等精度測(cè)量。處理不等精度測(cè)量的結(jié)果時(shí)，需要根據(jù)每個(gè)測(cè)量值的“權(quán)重”，進(jìn)行“加權(quán)平均”，因此在一般物理實(shí)驗(yàn)中很少采用。等精度測(cè)量的誤差分析和數(shù)據(jù)處理比較容易，下面所介紹的誤差和數(shù)據(jù)處理知識(shí)都是針對(duì)等精度測(cè)量的。二、誤差與偏差1真值與誤差任何一個(gè)物理量，在一定的條件下，都具有確定的量值，這是客觀存在的，這個(gè)客觀存在的量值稱為該物理量的真值。測(cè)量的目的就是要力圖得到被測(cè)量的真值。我們把測(cè)量值與真值之差稱為測(cè)量的絕對(duì)誤差。設(shè)被測(cè)量的真值為0，測(cè)量值為，則絕對(duì)誤差為 = 0 （1） 由于誤差不可避免，故真值往往是得不到的。所以絕對(duì)誤差的的概念只有理論上的價(jià)值。 2最佳值與偏差在實(shí)

9、際測(cè)量中，為了減小誤差，常常對(duì)某一物理量進(jìn)行多次等精度測(cè)量，得到一系列測(cè)量值， ，則測(cè)量結(jié)果的算術(shù)平均值為 （2） 算術(shù)平均值并非真值，但它比任一次測(cè)量值的可靠性都要高。系統(tǒng)誤差忽略不計(jì)時(shí)的算術(shù)平均值可作為最佳值，稱為近真值。我們把測(cè)量值與算術(shù)平均值之差稱為偏差（或殘差）： （3）三、誤差的分類正常測(cè)量的誤差，按其產(chǎn)生的原因和性質(zhì)可分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差兩類，它們對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響不同，對(duì)這兩類誤差處理的方法也不同。1.系統(tǒng)誤差在同樣條件下，對(duì)同一物理量進(jìn)行多次測(cè)量，其誤差的大小和符號(hào)保持不變或隨著測(cè)量條件的變化而有規(guī)律地變化，這類誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的特征是具有確定性，它的來源主要有以下

10、幾個(gè)方面：儀器因素由于儀器本身的固有缺陷或沒有按規(guī)定條件調(diào)整到位而引起誤差。例如，儀器標(biāo)尺的刻度不準(zhǔn)確，零點(diǎn)沒有調(diào)準(zhǔn)，等臂天平的臂長(zhǎng)不等，砝碼不準(zhǔn)，測(cè)量顯微鏡精密螺桿存在回程差，或儀器沒有放水平，偏心、定向不準(zhǔn)等。理論或條件因素由于測(cè)量所依據(jù)的理論本身的近似性或?qū)嶒?yàn)條件不能達(dá)到理論公式所規(guī)定的要求而引起誤差。例如，稱物體質(zhì)量時(shí)沒有考慮空氣浮力的影響，用單擺測(cè)量重力加速度時(shí)要求擺角0，而實(shí)際中難以滿足該條件。人員因素由于測(cè)量人員的主觀因素和操作技術(shù)而引起誤差。例如，使用停表計(jì)時(shí)，有的人總是操之過急，計(jì)時(shí)比真值短；有的人則反應(yīng)遲緩，計(jì)時(shí)總是比真值長(zhǎng)；再如，有的人對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)時(shí)，總愛偏左或偏右，致使讀數(shù)

11、偏大或偏小。對(duì)于實(shí)驗(yàn)者來說，系統(tǒng)誤差的規(guī)律及其產(chǎn)生原因，可能知道，也可能不知道。已被確切掌握其大小和符號(hào)的系統(tǒng)誤差稱為可定系統(tǒng)誤差；對(duì)于大小和符號(hào)不能確切掌握的系統(tǒng)誤差稱為未定系統(tǒng)誤差。前者一般可以在測(cè)量過程中采取措施予以消除，或在測(cè)量結(jié)果中進(jìn)行修正。而后者一般難以做出修正，只能估計(jì)其取值范圍。2隨機(jī)誤差在相同條件下，多次測(cè)量同一物理量時(shí)，即使已經(jīng)精心排除了系統(tǒng)誤差的影響，也會(huì)發(fā)現(xiàn)每次測(cè)量結(jié)果都不一樣。測(cè)量誤差時(shí)大時(shí)小，時(shí)正時(shí)負(fù)，完全是隨機(jī)的。在測(cè)量次數(shù)少時(shí)，顯得毫無規(guī)律，但是當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)誤差的大小以及正負(fù)都服從某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。這種誤差稱為隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差的特征是它的不確定性，

12、它是由測(cè)量過程中一些隨機(jī)的或不確定的因素引起的。例如，人的感受（視覺、聽覺、觸覺）靈敏度和儀器穩(wěn)定性有限，實(shí)驗(yàn)環(huán)境中的溫度、濕度、氣流變化，電源電壓起伏，微小振動(dòng)以及雜散電磁場(chǎng)等都會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)誤差。除系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差外，還有過失誤差。過失誤差是由于實(shí)驗(yàn)者操作不當(dāng)或粗心大意造成的，例如看錯(cuò)刻度、讀錯(cuò)數(shù)字、記錯(cuò)單位或計(jì)算錯(cuò)誤等。過失誤差又稱粗大誤差。含有過失誤差的測(cè)量結(jié)果稱為“壞值”，被判定為壞值的測(cè)量結(jié)果應(yīng)剔除不用。實(shí)驗(yàn)中的過失誤差不屬于正常測(cè)量的范疇，應(yīng)該嚴(yán)格避免。3精密度、正確度和準(zhǔn)確度評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果，常用到精密度、正確度和準(zhǔn)確度這三個(gè)概念。這三者的含義不同，使用時(shí)應(yīng)注意加以區(qū)別。精密度反映隨

13、機(jī)誤差大小的程度。它是對(duì)測(cè)量結(jié)果的重復(fù)性的評(píng)價(jià)。精密度高是指測(cè)量的重復(fù)性好，各次測(cè)量值的分布密集，隨機(jī)誤差小。但是，精密度不能確定系統(tǒng)誤差的大小。正確度反映系統(tǒng)誤差大小的程度。正確度高是指測(cè)量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值偏離真值較少，測(cè)量的系統(tǒng)誤差小。但是，正確度不能確定數(shù)據(jù)分散的情況，即不能反映隨機(jī)誤差的大小。準(zhǔn)確度反映系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差綜合大小的程度。準(zhǔn)確度高是指測(cè)量結(jié)果既精密又正確，即隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差均小?，F(xiàn)以射擊打靶的彈著點(diǎn)分布為例，形象地說明以上三個(gè)術(shù)語(yǔ)的意義。如圖1所示，其中圖（a）表示精密度高而正確度低，圖（b）表示正確度高而精密度低，圖（c）表示精密度和正確度均低，即準(zhǔn)確度低，圖（d）表

14、示精密度和正確度均高，即準(zhǔn)確度高。通常所說的“精度”含義不明確，應(yīng)盡量避免使用。 精密度高，正確度低 正確度高，精密度低 精密度和正確度均低 精密度和正確度均高 圖1 精密度、正確度和準(zhǔn)確度示意圖§2 誤 差 處 理一、處理系統(tǒng)誤差的一般知識(shí)1發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的方法系統(tǒng)誤差一般難于發(fā)現(xiàn)，并且不能通過多次測(cè)量來消除。人們通過長(zhǎng)期實(shí)踐和理論研究，總結(jié)出一些發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的方法，常用的有：理論分析法 包括分析實(shí)驗(yàn)所依據(jù)的理論和實(shí)驗(yàn)方法是否有不完善的地方；檢查理論公式所要求的條件是否得到了滿足；量具和儀器是否存在缺陷；實(shí)驗(yàn)環(huán)境能否使儀器正常工作以及實(shí)驗(yàn)人員的心理和技術(shù)素質(zhì)是否存在造成系統(tǒng)誤差的因素

15、等。實(shí)驗(yàn)比對(duì)法 對(duì)同一待測(cè)量可以采用不同的實(shí)驗(yàn)方法，使用不同的實(shí)驗(yàn)儀器，以及由不同的測(cè)量人員進(jìn)行測(cè)量。對(duì)比、研究測(cè)量值變化的情況，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的存在。數(shù)據(jù)分析法 因?yàn)殡S機(jī)誤差是遵從統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律的，所以若測(cè)量結(jié)果不服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，則說明存在系統(tǒng)誤差。我們可以按照規(guī)律測(cè)量列的先后次序，把偏差（殘差）列表或作圖，觀察其數(shù)值變化的規(guī)律。比如前后偏差的大小是遞增或遞減的；偏差的數(shù)值和符號(hào)有規(guī)律地交替變化；在某些測(cè)量條件下，偏差均為正號(hào)（或負(fù)號(hào)），條件變化以后偏差又都變化為負(fù)號(hào)（或正號(hào)）等情況，都可以判斷存在系統(tǒng)誤差。2系統(tǒng)誤差的減小與消除知道了系統(tǒng)誤差的來源，也就為減小和消除系統(tǒng)誤差提供了依據(jù)。（1）

16、減小與消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源對(duì)實(shí)驗(yàn)可能產(chǎn)生誤差的因素盡可能予以處理。比如采用更符合實(shí)際的理論公式，保證儀器裝置良好，滿足儀器規(guī)定的使用條件等等。（2）利用實(shí)驗(yàn)技巧，改進(jìn)測(cè)量方法對(duì)于定值系統(tǒng)誤差的消除，可以采用如下一些技巧和方法。交換法 根據(jù)誤差產(chǎn)生的原因，在一次測(cè)量之后，把某些測(cè)量條件交換一下再次測(cè)量。例如，用天平稱質(zhì)量時(shí)，把被測(cè)物和砝碼交換位置進(jìn)行兩次測(cè)量。設(shè)m1和m2分別為兩次測(cè)得的質(zhì)量，取物體的質(zhì)量為，就可以消除由于天平不等臂而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差。替代法 在測(cè)量條件不變的情況下，先測(cè)得未知量，然后再用一已知標(biāo)準(zhǔn)量取代被測(cè)量，而不引起指示值的改變，于是被測(cè)量就等于這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量。例如，用惠斯通電橋

17、測(cè)電阻時(shí)，先接入被測(cè)電阻，使電橋平衡，然后再用標(biāo)準(zhǔn)電阻替代被測(cè)量，使電橋仍然達(dá)到平衡，則被測(cè)電阻值等于標(biāo)準(zhǔn)電阻值。這樣可以消除橋臂電阻不準(zhǔn)確而造成的系統(tǒng)誤差。異號(hào)法 改變測(cè)量中的某些條件，進(jìn)行兩次測(cè)量，使兩次測(cè)量中的誤差符號(hào)相反，再取兩次測(cè)量結(jié)果的平均值做為測(cè)量結(jié)果。例如，用霍耳元件測(cè)磁場(chǎng)實(shí)驗(yàn)中，分別改變磁場(chǎng)和工作電流的方向，依次為（+B，+I）、（+B，-I）、（-B，+I）、（-B，-I），在四種條件下測(cè)量電勢(shì)差UH，再取其平均值，可以減小或消除不等位電勢(shì)、溫差電勢(shì)等附加效應(yīng)所產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差。此外，用“等距對(duì)稱觀測(cè)法”可消除按線性規(guī)律變化的變值系統(tǒng)誤差；用“半周期偶數(shù)測(cè)量法”可以消除按周期

18、性變化的變值系統(tǒng)誤差等等，這里不再詳細(xì)介紹。在采取消除系統(tǒng)誤差的措施后，還應(yīng)對(duì)其它的已定系統(tǒng)誤差進(jìn)行分析，給出修正值，用修正公式或修正曲線對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正。例如，千分尺的零點(diǎn)讀數(shù)就是一種修正值；標(biāo)準(zhǔn)電池的電動(dòng)勢(shì)隨溫度的變化可以給出修正公式；電表校準(zhǔn)后可以給出校準(zhǔn)曲線等等。對(duì)于無法忽略又無法消除或修正的未定系統(tǒng)誤差，可用估計(jì)誤差極限值的方法進(jìn)行估算。以上僅就系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)及消除方法做了一般性介紹。在實(shí)際問題中，系統(tǒng)誤差的處理是一件復(fù)雜而困難的工作，它不僅涉及許多知識(shí)，還需要有豐富的經(jīng)驗(yàn)，這需要在長(zhǎng)期的實(shí)踐中不斷積累，不斷提高。二、隨機(jī)誤差及其分布實(shí)驗(yàn)中隨機(jī)誤差不可避免，也不可能消除。但是，可以

19、根據(jù)隨機(jī)誤差的理論來估算其大小。為了簡(jiǎn)化起見，在下面討論隨機(jī)誤差的有關(guān)問題中，并假設(shè)系統(tǒng)誤差已經(jīng)減小到可以忽略的程度。1標(biāo)準(zhǔn)誤差與標(biāo)準(zhǔn)偏差采用算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果可以削弱隨機(jī)誤差。但是，算術(shù)平均值只是真值的估計(jì)值，不能反映各次測(cè)量值的分散程度。采用標(biāo)準(zhǔn)誤差來評(píng)價(jià)測(cè)量值的分散程度是既方便又可靠的。對(duì)物理量X進(jìn)行n次測(cè)量，其標(biāo)準(zhǔn)誤差（標(biāo)準(zhǔn)差）定義為 （4） 在實(shí)際測(cè)量中，測(cè)量次數(shù)n總是有限的，而且真值也不可知。因此標(biāo)準(zhǔn)誤差只有理論上的價(jià)值。對(duì)標(biāo)準(zhǔn)誤差的實(shí)際處理只能進(jìn)行估算。估算標(biāo)準(zhǔn)誤差的方法很多，最常用的是貝塞爾法，它用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)（偏）差S（x）近似代替標(biāo)準(zhǔn)誤差。實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差的表達(dá)式為 （5）圖2

20、測(cè)量次數(shù)對(duì)的影響本書中我們都是用此式來計(jì)算直接測(cè)量量的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，其含義將在下面討論。 2平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差如上所述，在我們進(jìn)行了有限次測(cè)量后，可得到算術(shù)平均值。也是一個(gè)隨機(jī)變量。在完全相同的條件下，多次進(jìn)行重復(fù)測(cè)量，每次得到的算術(shù)平均值本身也具有離散性由誤差理論可以證明，算術(shù)平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差為 （6）由此式可以看出，平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差比任一次測(cè)量的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差小。增加測(cè)量次數(shù)，可以減少平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，提高測(cè)量的準(zhǔn)確度。但是，單純憑增加測(cè)量次數(shù)來提高準(zhǔn)確度的作用是有限的。如圖2所示，當(dāng)n>10以后，隨測(cè)量次數(shù)n的增加，減小得很緩慢。所以，在科學(xué)研究中測(cè)量次數(shù)一般取10-20次，而在物

21、理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中一般取6-10次。 3隨機(jī)誤差的正態(tài)分布規(guī)律隨機(jī)誤差的分布是服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律的.首先，我們用一組測(cè)量數(shù)據(jù)來形象地說明這一點(diǎn)。例如用數(shù)字毫秒計(jì)測(cè)量單擺周期，重復(fù)60次（n=60），將測(cè)量結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：時(shí)間區(qū)間/s出現(xiàn)次數(shù)n（頻數(shù)）相對(duì)頻數(shù)時(shí)間區(qū)間/s出現(xiàn)次數(shù)n（頻數(shù)）相對(duì)頻數(shù)1215253591591558162723以時(shí)間T為橫坐標(biāo),相對(duì)頻數(shù)為縱坐標(biāo)，用直方圖將測(cè)量結(jié)果表示如圖3.如果再進(jìn)行一組測(cè)量（如100次），做出相應(yīng)的直方圖，仍可以得到與前述圖形不完全吻合但輪廓相似的圖形。隨著次數(shù)的增加，曲線的形狀基本不變，但對(duì)稱性越來越明顯，曲線也趨向光滑。當(dāng)時(shí)，上述曲線變成光滑曲線。這表示

22、測(cè)值T與頻數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系呈連續(xù)變化的函數(shù)關(guān)系。顯然，頻數(shù)與T的取值有關(guān)，連續(xù)分布時(shí)它們之間的關(guān)系可以表示為 圖3 統(tǒng)計(jì)直方圖 函數(shù)稱為概率密度函數(shù)，其含義是在測(cè)值T附近、單位時(shí)間間隔內(nèi)測(cè)值出現(xiàn)的概率。當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)，其誤差分布將服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。許多物理測(cè)量中，當(dāng)時(shí)隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布（或稱高斯分布）規(guī)律。可以導(dǎo)出正態(tài)分布概率密度函數(shù)的表達(dá)式為： （7） 圖4是正態(tài)分布曲線。該曲線的橫坐標(biāo)為誤差，縱坐標(biāo)為誤差分布的概率密度函數(shù)。的物理含義是：在誤差值附近，單位誤差間隔內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率。曲線下陰影面積元表示誤差出現(xiàn)在+區(qū)間內(nèi)的概率。按照概率理論，誤差出現(xiàn)在區(qū)間（）范圍內(nèi)是必然的，即概率為100%

23、。所以，圖中曲線與橫軸所包圍的面積應(yīng)恒等于1，即 （8）由概率理論可以證明就是標(biāo)準(zhǔn)差。在正態(tài)分布的情況下，式（7）中的物理意義是什么呢？首先定性分析一下：從式（7）可以看出，當(dāng)=0時(shí)， 因此，值越小，的值越大。由于曲線與橫坐標(biāo)軸所包圍的面積恒等于1，所以曲線峰值高，兩側(cè)下降就較快。這說明測(cè)量值的離散性小，測(cè)量的精密度高。相反，如果值大，就小，誤差分布的范圍就較大，測(cè)量的精密度低。這兩種情況的正態(tài)分布曲線如圖5所示。圖4 正態(tài)分布曲線 圖5 的物理意義4置信區(qū)間與置信概率我們還可以從另一個(gè)角度理解的物理意義。計(jì)算一下測(cè)量結(jié)果分布在-之間的概率，可得 （9）這就是說，在所測(cè)的一組數(shù)據(jù)中平均有68.

24、3%的數(shù)據(jù)測(cè)值誤差落在區(qū)間-，之間。同樣也可以認(rèn)為在所測(cè)的一組數(shù)據(jù)中，任一個(gè)測(cè)值的誤差落在區(qū)間-，內(nèi)的概率為68.3%. 我們把稱作置信概率，-，就是68.3%的置信概率，所對(duì)應(yīng)的置信區(qū)間。 顯然，擴(kuò)大置信區(qū)間，置信概率就會(huì)提高。可以證明，如果置信區(qū)間分別為-2，2和-3，3，則相應(yīng)的置信概率為 （10） （11）一般情況下，置信區(qū)間可用-k，k表示，k稱為包含因子，對(duì)于一個(gè)測(cè)量結(jié)果，只要給出置信區(qū)間和相應(yīng)的置信概率就表達(dá)了測(cè)量結(jié)果的精密度。對(duì)應(yīng)于-3，3這個(gè)置信區(qū)間，其置信概率為99.7%，即在1000次的重復(fù)測(cè)量中，隨機(jī)誤差超出-3，3的平均只有3次。對(duì)于一般有限次測(cè)量來說，測(cè)量值超出這一

25、區(qū)間的可能性非常小，因此常將稱為極限誤差。5.t分布根據(jù)誤差理論，當(dāng)測(cè)量次數(shù)很少時(shí)（例如，少于10次），測(cè)量列的誤差分布將明顯偏離正態(tài)分布，這時(shí)測(cè)量值的隨機(jī)誤差將遵從t分布。這個(gè)分布是1908年由戈塞特首先提出來的，由于發(fā)表時(shí)使用了筆名“Student”，故也稱“學(xué)生分布”。t分布曲線與正態(tài)分布曲線類似，兩者的主要區(qū)別是t分布的峰值低于正態(tài)分布，而且上部較窄，下部較寬，如圖1-6。這樣，在有限次測(cè)量的情況下，就要將隨機(jī)誤差的估算值取大一些，包含因子k應(yīng)轉(zhuǎn)換成，值與測(cè)量次數(shù)有關(guān)，也與置信概率P有關(guān)，表1 給出了與測(cè)量次數(shù)n、置信概率P的對(duì)應(yīng)關(guān)系，供查用。表1 值表 n P 23456789102

26、00.681.841.321.201.411.111.091.081.071.061.031.000.9512.714.303.182.782.572.452.362.312.262.091.960.9963.669.925.844.604.033.713.503.363.262.862.58由表1可見，當(dāng)置信概率P=68%時(shí)，因子隨測(cè)量次數(shù)增加而趨向于1。當(dāng)n>6以后，與1的偏離并不大，故在進(jìn)行誤差估算時(shí)，當(dāng)n6時(shí)置信概率取68.3%，包含因子可以不加修正。圖6 t分布與正態(tài)分布比較 三壞值的剔除在一列測(cè)量值中，有時(shí)會(huì)混有偏差很大的“可疑值”。一方面，“可疑值”可能是壞值，會(huì)影響測(cè)量結(jié)

27、果，應(yīng)將其剔除不用。另一方面，當(dāng)一組正確測(cè)量值的分散性較大時(shí)，盡管概率很小，出現(xiàn)個(gè)別偏差較大的數(shù)據(jù)也是可能的，即“可疑值”也可能是正常值，如果人為地將它們剔除，也不合理。因此要有一個(gè)合理的準(zhǔn)則，判定“可疑值”是否為“壞值”。下面介紹三種常用的準(zhǔn)則。1 拉依達(dá)準(zhǔn)則如前所述，可認(rèn)為是極限誤差，它的估算值也可以認(rèn)為是極限偏差。按照拉依達(dá)準(zhǔn)則，將偏差大于的數(shù)據(jù)視為壞值而將它剔除。剔除壞值時(shí)，首先應(yīng)算出測(cè)量列的算術(shù)平均值和任一次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差S()，然后檢驗(yàn)每一個(gè)測(cè)值的偏差，如果>3 S()，則確定為壞值予以剔除。對(duì)剔除后的測(cè)量列再重復(fù)進(jìn)行上述步驟，直到無壞值為止。應(yīng)該指出的是，拉依達(dá)準(zhǔn)則只有在

28、測(cè)量次數(shù)n10時(shí)才能應(yīng)用。因?yàn)楦鶕?jù)S()的定義式（5），當(dāng)n<9時(shí)，恒有，即拉依達(dá)準(zhǔn)則失效。2.維涅準(zhǔn)則 肖維涅準(zhǔn)則考慮了測(cè)量次數(shù)對(duì)偏差的影響。設(shè)重復(fù)測(cè)量的次數(shù)為n，任一次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為S()，肖維涅準(zhǔn)則認(rèn)為，如果測(cè)值(i=1，2，)滿足，則認(rèn)為為壞值，予以剔除。式中稱為肖維涅系數(shù)，其值與測(cè)量次數(shù)有關(guān)，下表給出了不同測(cè)量次數(shù)對(duì)應(yīng)的值。測(cè)量次數(shù)越多， 越大；當(dāng)>100時(shí), 值接近于3，和拉依達(dá)準(zhǔn)則相當(dāng)。但當(dāng)4時(shí),準(zhǔn)則無效，所以表中的系數(shù)從5開始. 表2 肖維涅系數(shù)51.65142.10232.3061.73152.13242.3171.80162.15252.3381.86172

29、.17302.3991.92182.20402.49101.96192.22502.58112.00202.24752.71122.03212.261002.81132.07222.282003.02 3.格拉布斯準(zhǔn)則 格拉布斯準(zhǔn)則比肖維涅準(zhǔn)則更為科學(xué),它同時(shí)考慮了測(cè)量次數(shù)和置信概率P的影響。該準(zhǔn)則認(rèn)為，如果時(shí)，測(cè)量值為壞值的置信概率為P。式中g(shù)值為格拉布斯系數(shù)，其值見表3。 表3 格拉布斯系數(shù) P0.950.9750.990.995 P0.950.9750.990.99531.151.161.161.16152.412.552.702.8141.461.481.491.50162.442.5

30、92.752.8551.6731.751.76172.482.622.782.8961.821.891.941.97182.502.652.822.9371.942.022.102.14192.532.682.852.9782.032.132.222.27202.562.712.883.0092.112.222.322.39242.642.782.993.11102.182.292.412.48282.712.883.073.20112.232.362.482.56322.772.943.143.27122.282.412.552.64362.822.993.193.33132.332.462

31、.612.70402.873.043.243.38142.372.512.662.76502.963.133.343.48 必須指出,按以上準(zhǔn)則判別時(shí)，若測(cè)量數(shù)據(jù)中存在兩個(gè)以上測(cè)值需要剔除,只能先剔除偏差最大的測(cè)值，然后重新計(jì)算平均值及標(biāo)準(zhǔn)偏差S()，再對(duì)余下的測(cè)值進(jìn)行判斷，直至所有的測(cè)值均不是壞值為止。 由于大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中大多數(shù)情況下重復(fù)測(cè)量次數(shù)小于9次，所以實(shí)驗(yàn)課程中不使用拉依達(dá)準(zhǔn)則。格拉布斯準(zhǔn)則較為科學(xué)，但是涉及置信概率的考慮，較為復(fù)雜。我們一般可采用肖維涅準(zhǔn)則，必要時(shí)采用格拉布斯準(zhǔn)則判斷壞值. 四、儀器誤差1.儀器的示值誤差（限）測(cè)量?jī)x器的誤差來源往往很多，逐項(xiàng)進(jìn)行深入的分析處理是很困

32、難的，在絕大多數(shù)情況下也沒有必要。實(shí)際上，人們最關(guān)心的是儀器提供的測(cè)量結(jié)果與真值的一致程度，即測(cè)量結(jié)果中各儀器的系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的綜合估計(jì)指標(biāo)。在物理實(shí)驗(yàn)中，常常把國(guó)家技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)或檢定規(guī)程規(guī)定的計(jì)量器具最大允許誤差或允許基本誤差經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化稱為儀器誤差（限）儀器示值差（限）用來表示，它代表在正確使用儀器的條件下，儀器示值與被測(cè)量真值之間可能產(chǎn)生的最大誤差的絕對(duì)值儀器的示值誤差（限）通常是由制造工廠或計(jì)量部門使用更精確的儀器、量具，經(jīng)過檢定比較合格給出的，一般寫在儀器的標(biāo)牌上或說明書中，有的儀器直接給出了儀器的準(zhǔn)確等級(jí)。各類儀器的示值誤差（限）與其準(zhǔn)確度等級(jí)之間都存在著一定的關(guān)系一般由儀器的量

33、程和準(zhǔn)確度等級(jí)可以求出儀器示值誤差（限）的大小。不同的儀器、量具，其示值誤差（限）有不同的規(guī)定。例如，游標(biāo)卡尺不分精度等級(jí)，測(cè)值范圍在300mm以下的示值誤差一律取游標(biāo)的分度值。螺旋測(cè)微計(jì)分零級(jí)和一級(jí)兩類，通常實(shí)驗(yàn)室使用的為一級(jí)，其示值誤差隨測(cè)量范圍的不同而不同，量程在025mm，及2050mm的一級(jí)千分尺的示值誤差均為=0.004mm。天平的示值誤差以標(biāo)尺分度值的倍數(shù)形式給出，它與天平的稱量載荷有關(guān)，本講義中約定，取天平標(biāo)尺分度值的一半做為儀器的示值誤差。電表的示值誤差，可以根據(jù)其量程和準(zhǔn)確度等級(jí)計(jì)算： =量程準(zhǔn)確度等級(jí)% 如果測(cè)量?jī)x器是數(shù)字式儀表，則取其末位數(shù)最小分度單位為示值差。在我們不

34、能知道儀器的示值誤差（限）或準(zhǔn)確度等級(jí)的情況下，也可以取其分度值的一半做為示值誤差（限）。還有一些儀器（如電阻箱，電橋，電勢(shì)差計(jì)等）的誤差用基本誤差來表示，其值需用專用公式來計(jì)算。儀器誤差提供的是誤差絕對(duì)值的極限值，而不是測(cè)量的真實(shí)誤差，也無法確定其符號(hào)。2.儀器的標(biāo)準(zhǔn)誤差 在對(duì)測(cè)量結(jié)果的誤差評(píng)定中，隨機(jī)誤差是用標(biāo)準(zhǔn)誤差來估算的，相應(yīng)地，也需要知道儀器的標(biāo)準(zhǔn)誤差。儀器的標(biāo)準(zhǔn)誤差用表示，它實(shí)際上是一個(gè)等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)誤差，下面要討論的是如何確定儀器的標(biāo)準(zhǔn)誤差，以及它與儀器誤差間的關(guān)系。圖7 均勻分布一般儀器誤差的概率密度函數(shù)近似服從如圖7所示的均勻分布規(guī)律。在-，范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率相同，-，區(qū)間以外

35、出現(xiàn)的概率為零。例如，游標(biāo)卡尺的儀器誤差，儀器度盤或其它傳動(dòng)齒輪的回差所產(chǎn)生的誤差，機(jī)械秒表在其分度值內(nèi)不能分辨引起的誤差，指零儀表判斷平衡的誤差等，都屬于均勻分布。均勻誤差的概率密度函數(shù)為 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)誤差的定義，可以求出儀器的標(biāo)準(zhǔn)誤差與儀器誤差（限）的關(guān)系： 儀器標(biāo)準(zhǔn)誤差的物理含義與標(biāo)準(zhǔn)誤差類似。3 .儀器的靈敏閾 儀器的靈敏閾是指足以引起儀器示值可察覺變化的被測(cè)量的最小變化值，即當(dāng)被測(cè)量值小于這個(gè)閾值時(shí)，儀器將沒有反應(yīng)。例如，數(shù)字式儀表最末一位數(shù)所代表的量就是數(shù)字式儀表的靈敏閾。對(duì)指針式儀表，由于人眼能察覺到的指針改變量一般為0.2分度值，于是可以把0.2分度值所代表的量作為指針式儀表的靈敏

36、閾。靈敏閾越小，說明儀器的靈敏度越高。一般地講，測(cè)量?jī)x器的靈敏閾應(yīng)該小于示值誤差（限），而示值誤差（限）應(yīng)該小于最小分度值。但是也有一些儀器，特別是實(shí)驗(yàn)室中頻頻使用的儀器，準(zhǔn)確度等級(jí)可能降低了或靈敏閾變大了，因而使用這樣的儀器前，應(yīng)檢查其靈敏閾。當(dāng)儀器靈敏閾超過儀器示值誤差限時(shí)，儀器示值誤差（限）便應(yīng)由儀器的靈敏閾來代替，這一點(diǎn)并不難理解。 §3 有效數(shù)字的記錄與運(yùn)算一、有效數(shù)字的一般概念 為了理解有效數(shù)字的概念，我們先舉一個(gè)例子。如圖8所示，用米尺測(cè)量一個(gè)物體的長(zhǎng)度，測(cè)量結(jié)果記為13.4cm、13.5cm、13.6cm都可以。換不同的測(cè)量者進(jìn)行測(cè)量，前兩位數(shù)不會(huì)變化，我們稱之為準(zhǔn)確

37、數(shù)字，但最后一位數(shù)字各人估計(jì)的結(jié)果可能略有不同，我們把這位數(shù)稱為欠準(zhǔn)數(shù)字或可疑數(shù)字。雖然最后這位數(shù)字欠準(zhǔn)，但是記上它能客觀地反映出該物體比13cm長(zhǎng)，比14cm短的實(shí)際情況，比較合理。我們把測(cè)量結(jié)果中可靠的幾位數(shù)字加上可疑的一位數(shù)字，統(tǒng)稱為測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字。有效數(shù)字的上述定義，適用于直接測(cè)量量和間接測(cè)量量。 圖8 有效數(shù)字概念 需要特別指出的是，一個(gè)物理量的測(cè)量值和數(shù)學(xué)上的一個(gè)數(shù)有著不同的意義。在數(shù)學(xué)上，13.5cm和13.50cm沒有區(qū)別，但是從測(cè)量的意義上看，13.5cm表示十分位上的“5”是欠準(zhǔn)數(shù)字，而13.50cm表示十分位上的“5”是準(zhǔn)確測(cè)量出來的，而百分位上的“0”才是欠準(zhǔn)的。

38、因?yàn)橛行?shù)字只有最后一位是欠準(zhǔn)的，因此大體上說有效數(shù)字的位數(shù)越多，相對(duì)誤差就越小。一般來說。測(cè)量結(jié)果有兩位有效數(shù)字時(shí)，對(duì)應(yīng)于 量級(jí)的相對(duì)誤差；有三位有效數(shù)字時(shí)，對(duì)應(yīng)于 量級(jí)的相對(duì)誤差。 在表示物理實(shí)驗(yàn)的測(cè)量結(jié)果時(shí)，為了更方便地反映有效數(shù)字的位數(shù)，應(yīng)盡量采用科學(xué)記數(shù)法，即在小數(shù)點(diǎn)前只寫一位數(shù)字，用10的幾次冪來表示其數(shù)量級(jí)。例如，3.8×105m，4.123×10-7s 分別表示兩個(gè)量的有效數(shù)字是2位和4位，而如果將3 .8×105記成380 000m不但繁瑣，而且有效數(shù)字的位數(shù)錯(cuò)誤，人為地將精度提高了4個(gè)數(shù)量級(jí)。 二直接測(cè)量量的有效數(shù)字的讀取在進(jìn)行直接測(cè)量時(shí)，要用

39、到各種各樣的儀器和量具。從儀器和量具上直接讀數(shù)，必須正確讀取有效數(shù)字，它是進(jìn)一步估算誤差和數(shù)據(jù)處理的基礎(chǔ)。一般而言，儀器的分度值是考慮到儀器誤差所在位來劃分的。由于儀器多種多樣，讀數(shù)規(guī)則也略有區(qū)別。正確讀取有效數(shù)字的方法大致歸納如下： 1.一般讀數(shù)應(yīng)讀到最小分度以下再估一位，但不一定估讀十分之一，也可根據(jù)情況（如分度的間距、刻線、指針的粗細(xì)及分度的數(shù)值等）估讀最小分度值的1/5、1/4或1/2。但無論怎樣估計(jì)，最小分度位總是準(zhǔn)確位，最小分度的下一位是估計(jì)的欠準(zhǔn)位。 2.有時(shí)，讀數(shù)的估計(jì)位就取在最小分度位。如儀器的最小分度值為0.5，則0.1、0.2、0.3、0.4及0.6、0.7、0.8、0.

40、9都是估計(jì)的；如儀器最小分度值為0.2，則0.3、0.5、0.7、0.9都是估計(jì)的。這類情況都是不必再估到下一位。 3.游標(biāo)類量具，只讀到游標(biāo)分度值，一般不估讀，特殊情況估讀到游標(biāo)分度值的一半。 4.數(shù)字式儀表及步進(jìn)讀數(shù)儀器（如電阻箱）不需要進(jìn)行估讀，儀器所顯示的末位就是欠準(zhǔn)數(shù)字。 5.特殊情況下，直讀數(shù)據(jù)的有效數(shù)字由儀器的靈敏閾決定。例如，在測(cè)量靈敏電流計(jì)臨界電阻時(shí)，調(diào)節(jié)電阻箱的“×10”擋，儀表上才剛剛有反應(yīng)，所以盡管電阻箱的最小步進(jìn)值為 0.1，測(cè)量值也只能記錄到“×10”，如記為R=8.53×103. 6.在讀取數(shù)據(jù)時(shí)，如果測(cè)值恰好為整數(shù)，則必須補(bǔ)“0”，

41、一直補(bǔ)到可疑位。例如，用最小刻度為1mm的鋼卷尺測(cè)量某物體的長(zhǎng)度恰為12 mm時(shí)，應(yīng)記為12.0mm；如果改用游標(biāo)卡尺測(cè)量同一物體，讀數(shù)也為整數(shù)，應(yīng)記為12.00mm；如再改用千分尺來測(cè)量，讀數(shù)仍為整數(shù)，則應(yīng)記為12.000 mm；切不可一律記為12mm。 三、間接測(cè)量量有效數(shù)字的運(yùn)算 間接測(cè)量量測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字，最終應(yīng)由測(cè)量不確定度的所在位來決定（詳見§4有關(guān)內(nèi)容）。但是在計(jì)算不確定度之前，間接測(cè)量量需要經(jīng)過一系列的運(yùn)算過程。運(yùn)算時(shí)，參加運(yùn)算的量可能很多，有效數(shù)字的位數(shù)也不一致。如果數(shù)字相乘，位數(shù)會(huì)增加；如果相除而又除不盡，位數(shù)可以無止境。為了簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，一般可以按以下規(guī)則進(jìn)行

42、運(yùn)算： 1.幾個(gè)數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，其結(jié)果的有效數(shù)字末位和參加運(yùn)算的諸數(shù)中末位數(shù)數(shù)量級(jí)最大的那一位取齊，稱為“尾數(shù)取齊”。例如，278.2+12.451=290.7。 2.幾個(gè)數(shù)進(jìn)行乘除運(yùn)算時(shí)，其結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)與參與運(yùn)算的諸數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的那個(gè)相同，稱為“位數(shù)取齊”。例如，5.348×20.5=110。 3.一個(gè)數(shù)進(jìn)行乘方、開方運(yùn)算，其結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與被乘方、開方數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。例如，=14.1. 4.一般說來，函數(shù)運(yùn)算的有效數(shù)字，應(yīng)按間接量測(cè)量誤差傳遞公式進(jìn)行計(jì)算后決定。在普通實(shí)驗(yàn)中，為了簡(jiǎn)便統(tǒng)一起見，對(duì)常用的對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)按如下規(guī)則處理：對(duì)數(shù)函數(shù)

43、運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字中，小數(shù)點(diǎn)后面的位數(shù)取成與真數(shù)的位數(shù)相同；指數(shù)函數(shù)運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字中，小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)取成與指數(shù)中小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)相同；三角函數(shù)結(jié)果中有效數(shù)字的取法，可采用試探法，即將自變量欠準(zhǔn)位上、下波動(dòng)一個(gè)單位，觀察結(jié)果在哪一位上波動(dòng)，結(jié)果的欠準(zhǔn)位就取在該位上。 以上所述有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則，只是一個(gè)基本原則，在實(shí)際問題中，為防止多次取舍而造成誤差的累積效應(yīng)，常常采用在中間運(yùn)算時(shí)多取一位的辦法。在計(jì)算器和微機(jī)已經(jīng)相當(dāng)普及的今天，中間過程多取幾位有效數(shù)字不會(huì)給我們帶來太多的麻煩，所以在中間運(yùn)算過程中，可以適當(dāng)多取幾位（如多取2、3位）。最后表達(dá)結(jié)果時(shí)，有效數(shù)字的取位再由不確定度的所在位來一并截

44、取。 四、有效數(shù)字尾數(shù)的舍入法則 過去對(duì)有效數(shù)字的尾數(shù)采用“四舍五入”的規(guī)則來修約，但是這樣處理“入”的機(jī)會(huì)總是大于“舍”的機(jī)會(huì)，引起最后結(jié)果偏大。為了彌補(bǔ)這一缺陷，目前普遍采用“小于五舍去，大于五進(jìn)位，等于五湊偶”的規(guī)則來修約。例如，將下列數(shù)據(jù)保留三位有效數(shù)字的修約結(jié)果是：3.542 23.54 小于五舍去 3.545 03.54 等于五湊偶3.546 63.55 大于五進(jìn)位 3.545 013.55 大于五進(jìn)位 3.535 03.54 等于五湊偶 3.544 993.54 小于五舍去  §4  測(cè)量結(jié)果的不確定度評(píng)定   

45、;   一、測(cè)量不確定度的基本概念      1.不確定度的定義    前面對(duì)測(cè)量中可能存在的各種誤差做了簡(jiǎn)單介紹。這些誤差的存在，使得測(cè)量結(jié)果具有一定程度的不確定性。所以，對(duì)某一物理量進(jìn)行測(cè)量，我們只能知道測(cè)量值N與真值N0之差的絕對(duì)值以一定概率分布在-u u之間，用公式表示為 （置信概率為P） （13）   其中，u值可以通過一定的方法進(jìn)行估算，稱為不確定度，它表征真值以某置信概率存在的范圍，是對(duì)測(cè)量結(jié)果不確定性的度量。  

46、0; 1980年，國(guó)際計(jì)量局提出了關(guān)于“實(shí)驗(yàn)不確定度”的建議書，建議用不確定度來評(píng)價(jià)測(cè)量的質(zhì)量。1981年，第17屆國(guó)際計(jì)量大會(huì)通過了采納“建議書”的決議。我國(guó)計(jì)量科學(xué)院在1986年也發(fā)出了用不確定度作為誤差指標(biāo)名稱的通知。國(guó)家技術(shù)監(jiān)督局決定于1992年10月1日正式開始采用不確定度進(jìn)行誤差的評(píng)定工作。在實(shí)驗(yàn)中全面采用不確定度來評(píng)價(jià)測(cè)量的結(jié)果已成為必然的趨勢(shì)。    嚴(yán)格的不確定度理論比較復(fù)雜?？紤]到本課程的性質(zhì)，對(duì)不確定度評(píng)定的介紹將在保證其科學(xué)性的前提下，適當(dāng)加以簡(jiǎn)化，以免初學(xué)者不得要領(lǐng)。    2.

47、不確定度的分量    由于誤差的來源很多，測(cè)量結(jié)果的不確定度一般也包含幾個(gè)分量。在修正了可定系統(tǒng)誤差之后，把余下的全部誤差歸為A、B兩類不確定度分量。    不確定度A類分量uA:多次重復(fù)測(cè)量，用統(tǒng)計(jì)方法求出的分量。直接測(cè)量量的A類不確定度分量就用平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差表示，即 （14）    不確定度B類分量uB：用其他非統(tǒng)計(jì)方法估算的分量。在實(shí)驗(yàn)中盡管有多方面的因素存在，本講義中一般只考慮儀器誤差這一主要因素。    我們用儀器的等價(jià)標(biāo)

48、準(zhǔn)差近似表示不確定度B類分量，式中m可以是儀器的示值誤差（限）、基本誤差或儀器的靈敏閾。因子c與儀器誤差的分布規(guī)律有關(guān)。如果儀器誤差服從均勻分布規(guī)律，則；若服從正態(tài)分布，則c=3；在不能確定其分布規(guī)律的情況下，本著不確定度取偏大值的原則，也取。本講義中，我們一律將c取為，即（15）二、直接測(cè)量結(jié)果的不確定度評(píng)定    .合成不確定度    在各不確定度分量相互獨(dú)立的情況下，將兩類不確定度分量按“方和根”的方法合成，構(gòu)成合成不確定度，即 （16）      

49、在許多情況下，需要采用95%、99%或99.7%等較高的置信概率。這時(shí)，可以在合成不確定度前乘以一個(gè)包含因子k來求擴(kuò)展不確定度。待測(cè)量的不確定度服從正態(tài)分布時(shí)，對(duì)應(yīng)于置信概率P=68.3%，近似地取k=1；對(duì)應(yīng)于置信概率P=95%，近似地可取k2；對(duì)應(yīng)與置信概率P=99.7%，k3。    我們認(rèn)為，物理實(shí)驗(yàn)課對(duì)誤差處理的要求，主要在于建立正確的概念，而不拘泥于對(duì)某一值的精確計(jì)算，從這一觀點(diǎn)出發(fā)，置信概率均取68.3%。    2.測(cè)量結(jié)果的不確定度表示    按照國(guó)際計(jì)量局

50、1980年的建議書，直接測(cè)量量的測(cè)量結(jié)果可表示為 (單位)（P= ） (17)    對(duì)于測(cè)量結(jié)果，同時(shí)還可以用相對(duì)不確定度表示： (18)這里應(yīng)特別注意兩點(diǎn)：    (1) 不確定度有效數(shù)字的取位 由于不確定度本身只是一個(gè)估計(jì)范圍，所以其有效數(shù)字一般只取一或二位。在本課程中為了教學(xué)規(guī)范，我們約定對(duì)測(cè)量結(jié)果的合成不確定度（或總不確定度）只取一位有效數(shù)字，相對(duì)不確定度可取兩位有效數(shù)字。此外，我們還約定，截取剩余尾數(shù)一律采取進(jìn)位法處理，即剩余尾數(shù)只要不為零，一律進(jìn)位，其目的是保證結(jié)果的置信概率水平不降低。  

51、  (2) 測(cè)量結(jié)果有效數(shù)字的取位 對(duì)測(cè)量結(jié)果本身有效數(shù)字的取位必須使其最后一位與不確定度最后一位取齊。截取時(shí)，剩余尾數(shù)按“小于5舍去，大于5進(jìn)位，等于5湊偶”的規(guī)則修約。所以，cm是正確的表示，而cm或cm均是不正確的表示。    例如，用數(shù)字毫秒計(jì)測(cè)得某單擺周期的算術(shù)平均值為2.18305s，經(jīng)計(jì)算，求出置信概率P=68.3%時(shí)的不確定度為0.0031s，其結(jié)果應(yīng)表示為       s（P=68.3%）該式表示此單擺周期的真值落在2.1830.004,2.1830.004

52、范圍內(nèi)的概率有68.3%。這一測(cè)量列的相對(duì)不確定度為           E(T)0.17    3.直接測(cè)量量不確定度評(píng)定的步驟    假設(shè)某直接測(cè)量量為X，其不確定度評(píng)定的步驟歸納如下：   （1）修正測(cè)量數(shù)據(jù)中的可定系數(shù)誤差；   （2）計(jì)算測(cè)量列的算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果的最佳值；   （3）計(jì)算測(cè)量列任一次測(cè)量值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)

53、準(zhǔn)差；   （4）審查各測(cè)值，如有壞值則予以剔除，剔除后再重復(fù)步驟(2)、(3)         （5)計(jì)算平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差作為不確定度A類分量uA；   （6）計(jì)算不確定度B類分量；   （7）求合成不確定度及擴(kuò)展不確定度，當(dāng)不確定度正態(tài)分布時(shí)，置信概率取68.3%、95%和99.7%時(shí),k可分別取近似值為1、2、3；（8）寫出最終結(jié)果表示式： (P=)     例

54、0;  用一級(jí)千分尺對(duì)一小球直徑測(cè)量8次，測(cè)量結(jié)果見下表第二行數(shù)據(jù)，千分尺的零點(diǎn)讀數(shù)為0.008mm，試處理這組數(shù)據(jù)并給出測(cè)量結(jié)果。次數(shù)12345678D/mm2.1252.1312.1212.1242.1262.1232.1292.127D/mm2.1172.1232.1132.1162.1182.1152.1212.119    解  (1) 修正千分尺的零點(diǎn)誤差：D(D0.008)mm，填入上表第三行；   （2）直徑的算術(shù)平均值 2.118mm；   （3）某次測(cè)值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差