第十章定積分的應(yīng)用

1、第十章 定積分的應(yīng)用§1.平面圖形的面積習(xí)題1. 求由拋物線所圍圖形的面積。解：設(shè)所圍圖形的面積為，如圖10-1解方程組 得兩曲線兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，則積分區(qū)間為，圖形面積為2. 求由與直線和所圍圖形的面積。解：設(shè)所圍圖形總面積為， 3. 拋物線把圓分成兩部分，求這兩部分面積之比。解：設(shè)分別表示被拋物線分割成的兩部分圓面積，則4. 試證擺線所圍圖形的面積（圖107）。解：設(shè)所圍圖形的全部面積為，取積分變量為，當(dāng)由變到時(shí)，就得到曲線在第一象限的部分，5. 求心形線所圍圖形的面積。解：設(shè)所圍圖形面積為，取積分變量為，當(dāng)由變到時(shí)，即得到曲線在軸上方部分，由極坐標(biāo)系下面積的積分表達(dá)式有：6. 求三

2、葉形線所圍圖形的面積。解：7. 求由與坐標(biāo)軸所圍圖形的面積。解：設(shè)所圍圖形面積為，將曲線方程化為顯式為：曲線與軸、軸的坐標(biāo)分別為，取為積分變量，則積分區(qū)間為故有8. 求由曲線所圍圖形的面積。解：設(shè)所圍圖形面積為，由參數(shù)方程下定積分計(jì)算面積公式有9. 求二曲線與所圍公共部分的面積。解：由方程組 得 當(dāng)曲線中從變到，且曲線中從變到時(shí)即得到封閉圖形，其面積為10. 求兩橢圓與所圍公共部分的面積。解：兩橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為陰影部分的面積：故公共部分的面積為：§2 由平行截面面積求體積習(xí)題1. 如圖1013所示，直橢圓柱體被通過底面短軸的斜面所截，試求截得鍥形體的體積。解：設(shè)垂直于軸的截面

3、面積函數(shù)為，立體體積為按圖中的坐標(biāo)系和數(shù)據(jù)可得出橢圓柱面的方程為：由相似三角形邊長(zhǎng)比的關(guān)系知， 又2. 求下列平面曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所圍成的立體體積:(1),繞軸；解：(2)繞軸；解：(3)繞極軸；解：曲線的參量方程為：由圖有：(4)繞軸；解：由，得則3. 已知球半徑為，驗(yàn)證高為的球缺體積。解：設(shè)球缺體積為，半徑為，高為，則由旋轉(zhuǎn)體體積公式有4. 求曲線所圍平面圖形（圖107）繞軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體積。解：由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體積為5.導(dǎo)出曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體積公式為 證明：如圖在區(qū)間上的柱殼體積即為體積元素則 由微元法知旋轉(zhuǎn)體體積：6. 求所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體積。解：

4、67;3 平面曲線的弧長(zhǎng)與曲率習(xí)題1. 求下列曲線的弧長(zhǎng):(1)解：由于 由曲線的弧長(zhǎng)公式有(2)解：令，則由參數(shù)方程下弧長(zhǎng)公式(3)解：(4)解：(5)(6)解：由極坐標(biāo)下弧長(zhǎng)公式2. 求下列各曲線在指定點(diǎn)處的曲率:(1)在點(diǎn)(2,2)解：由曲率公式，曲線在處的曲率為：(2)在點(diǎn)(1,0)解：(3)在的點(diǎn)解：由曲率公式有(4)在的點(diǎn)解：3. 求的值，使橢圓的周長(zhǎng)等于正弦曲線在上一段的長(zhǎng)。解：設(shè)橢圓周長(zhǎng)為，在的周長(zhǎng)為則 依題意故兩邊積分限均為，并令中有當(dāng)時(shí)，時(shí)有 ，4. 設(shè)曲線由極坐標(biāo)方程給出,且二階可導(dǎo),證明它在點(diǎn)處曲率為證明：由 得 對(duì)來(lái)說(shuō)，以代入的公式，得5. 用上題公式，求心形線在處的

5、曲率、曲率半徑和曲率圓.解：已知去曲線極坐標(biāo)方程為 它在 曲率為曲率半徑曲率圓的圓心在軸上，半徑為，方程為6. 證明拋物線在頂點(diǎn)處曲率為最小。證明：拋物線在任意點(diǎn)的曲率 即當(dāng) 時(shí)，達(dá)到最大值，而 故在拋物線的頂點(diǎn)處的曲率半徑最小7. 求曲線上曲率最大的點(diǎn)解：曲線任意點(diǎn)處的曲率 令 得 容易驗(yàn)證為的最大值 故曲線上點(diǎn)處的曲率最大§4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積習(xí)題1. 求下列平面曲線繞指定軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積：（1），繞軸解：由旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積公式，得（2）繞軸解：（3），繞軸解： 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（4），繞軸解：2. 設(shè)平面光滑曲線有極坐標(biāo)方程給出，試求它繞極軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積計(jì)算公式解

6、：在直角坐標(biāo)下的旋轉(zhuǎn)曲面面積微元 有坐標(biāo)變換公式 及極坐標(biāo)下弧長(zhǎng)微分公式 將其代入式，得，由到積分即可得到 式即是極坐標(biāo)系下旋轉(zhuǎn)曲面面積公式3. 試求下列極坐標(biāo)曲線繞極軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積：（1）心形線；解：由圖形的對(duì)稱性和參數(shù)方程下的旋轉(zhuǎn)曲面面積公式有（2）雙紐線。解：§5定積分在物理中的某些應(yīng)用習(xí)題1. 有一等腰梯形閘門，它的上、下兩條底邊長(zhǎng)為10米和6米，高為20米。計(jì)算當(dāng)水面與上底邊相齊時(shí)閘門一側(cè)所受的靜壓力。解：如圖10-8，由、點(diǎn)的坐標(biāo)及，求出過的直線方程為：，即由于在相同深度處水的靜壓強(qiáng)相同，其值等于，故當(dāng)很小時(shí)，閘門從深度到這一狹條上受的靜壓力為 2. 邊長(zhǎng)為和的

7、矩形薄板與液面成角斜沉于液體中。設(shè)，長(zhǎng)邊平行于液面，上沿位于深處，液體的比重為。試求薄板每側(cè)所受的靜壓力。解：如圖10-9所示在液體內(nèi)部m深處，作用在薄板上壓力的微分為則積分區(qū)間從到 ，故薄板每側(cè)所受的靜壓力為3. 直徑為6米的一球浸入水中,其球心在水平面下10米,求球面上所受壓力.解：球面在水深m處所受壓力的微元為球面所受總壓力 4. 在坐標(biāo)軸的原點(diǎn)有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，在區(qū)間上有一質(zhì)量為的均勻細(xì)桿。試求質(zhì)點(diǎn)有細(xì)桿之間的萬(wàn)有引力。解：如圖10-11任取，當(dāng)很小時(shí)可將這一小段細(xì)桿看作一質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量有萬(wàn)有引力公式有 則 5. 兩條各長(zhǎng)為的均勻細(xì)桿在同一直線上，中間離開距離每根細(xì)桿的質(zhì)量為試求它們之間

8、的萬(wàn)有引力。（提示：在第四題的基礎(chǔ)上再作一次積分）解：建立如圖10-12坐標(biāo)系，軸通過兩細(xì)棒，向右為正向，第二根棒上午左端點(diǎn)為原點(diǎn)，在第二根棒中處取一小段，它的質(zhì)量為，它與第一根棒中心距離為由上題結(jié)果知故兩細(xì)棒間引力為6. 設(shè)有半徑為的半圓形導(dǎo)線，均勻帶電，電荷密度為，在圓心處有一單位正電荷，試求它們之間作用力的大小。解：上述電荷其電量為由庫(kù)侖定律，它對(duì)點(diǎn)電荷的作用力為 7. 一個(gè)半球形（直徑為20米）的容器內(nèi)盛滿了水，試問把水抽盡需作多少功？解：功的微元 8. 長(zhǎng)10米的鐵索下垂于礦井中,已知鐵索每米重8千克,問將此鐵索由礦井全部提出地面,需作功多少?解：鐵索的線密度公斤/米 功的微元 9.

9、 一物體在某介質(zhì)中按作直線運(yùn)動(dòng)，介質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，計(jì)算物體由移至?xí)r克服介質(zhì)阻力所作的功。解： 依題意 10. 半徑為的球體沉入水中，其比重與水相同，試問將球體從水中撈出需作多少功？解：用微元法，圖10-15中考慮在處厚度為的一薄片，當(dāng)其從上提到時(shí)在水中行程為，在水上行程為，又球體密度與水相同，故薄片上所受的浮力與重力合力為0，所以薄片在水中由升到水面時(shí)提升力為0，不做功，而由水面上提到點(diǎn)時(shí)，克服重力做功 即 §6定積分的近似計(jì)算習(xí)題1. 分別用梯形法和拋物線法計(jì)算（將積分區(qū)間十等分）解：梯形法（?。┯脪佄锞€法2. 用拋物線法求 (分別將積分區(qū)間二等分、四等分、六等分)解：用拋物線法公式 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 3. 圖10-27所示為河道某一截面圖，試由測(cè)得數(shù)據(jù)用拋物線法求截面面積。解：設(shè)該河截面積為，有定積分近似計(jì)算拋物線法公式4下表所列為夏季某一天每隔兩小時(shí)測(cè)得的氣溫：時(shí)間024681012141618202224溫度25.823.024.125.627.330.233.435.033.831.128.227.025.0（1） 按積分平均求這一天的平均氣溫，其中定積分值有三種近似法分別計(jì)算。（2） 若按算術(shù)平均或求得平均氣溫，那么它們與