第37講空間夾角和距離

1、第三十七講 空間夾角和距離一、復(fù)習(xí)目標(biāo)要求 1能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的夾角和距離；2能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用。二、2010年命題預(yù)測(cè) 空間的夾角和距離問(wèn)題是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對(duì)本講的考察主要有以下情況：（1）空間的夾角；（2）空間的距離；（3）空間向量在求夾角和距離中的應(yīng)用。預(yù)測(cè)2010年高考對(duì)本講內(nèi)容的考察將側(cè)重空間向量的應(yīng)用求夾角、求距離。課本淡化了利用空間關(guān)系找角、求距離這方面內(nèi)容的講解，而是加大了向量在這方面內(nèi)容應(yīng)用的講解，因此作為立體幾何的解答題，用向量方法處理有關(guān)夾角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加大這方

2、面的訓(xùn)練力度。題型上空間的夾角和距離主要以主觀題形式考察。三、知識(shí)精點(diǎn)講解1空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角。 （1）異面直線所成的角的范圍是。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決。具體步驟如下：利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上；證明作出的角即為所求的角；利用三角形來(lái)求角。（2）直線與平面所成的角的范圍是。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。DBAC具體步驟如下：找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角；把

3、該角置于三角形中計(jì)算。注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若為線面角，為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有；（3）確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法：斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上；如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線上；利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置：a.如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那

4、么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范圍在課本中沒(méi)有給出，一般是指，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角；面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即垂足），斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，

5、即為二面角的平面角；空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。斜面面積和射影面積的關(guān)系公式：(為原斜面面積,為射影面積,為斜面與射影所成二面角的平面角)這個(gè)公式對(duì)于斜面為三角形,任意多邊形都成立.是求二面角的好方法.當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí),如果能找得斜面面積的射影面積,可直接應(yīng)用公式,求出二面角的大小。2空間的距離（1）點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)到直線的距離為點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)，常先找或作直線所在平面的垂線，得垂足為，過(guò)作的垂線，垂足為連，則由三垂線定理可得線段即為點(diǎn)到直線的距離。在直角三角形中求出的長(zhǎng)即可。點(diǎn)到平面的距離：點(diǎn)到平面的距

6、離為點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)常用求法作出點(diǎn)到平面的垂線后求出垂線段的長(zhǎng)；轉(zhuǎn)移法，如果平面的斜線上兩點(diǎn)，到斜足的距離，的比為，則點(diǎn)，到平面的距離之比也為特別地，時(shí)，點(diǎn)，到平面的距離相等；體積法（2）異面直線間的距離：異面直線間的距離為間的公垂線段的長(zhǎng)常有求法先證線段為異面直線的公垂線段，然后求出的長(zhǎng)即可找或作出過(guò)且與平行的平面，則直線到平面的距離就是異面直線間的距離找或作出分別過(guò)且與，分別平行的平面，則這兩平面間的距離就是異面直線間的距離根據(jù)異面直線間的距離公式求距離。（3）直線到平面的距離：只存在于直線和平面平行之間為直線上任意一點(diǎn)到平面間的距離。（4）平面與平面間的距離：只存在于兩個(gè)平行平面之間

7、為一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離。以上所說(shuō)的所有距離：點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面距都是對(duì)應(yīng)圖形上兩點(diǎn)間的最短距離。所以均可以用求函數(shù)的最小值法求各距離。abEF3空間向量的應(yīng)用（1）用法向量求異面直線間的距離如右圖所示，a、b是兩異面直線，是a和b 的法向量，點(diǎn)Ea，F(xiàn)b，則異面直線 a與b之間的距離是 ；（2）用法向量求點(diǎn)到平面的距離如右圖所示，已知AB是平面的 一條斜線，為平面的法向量，則 A到平面的距離為ABC；（3）用法向量求直線到平面間的距離首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線上一點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題。（4）用法向量求兩平行平面間的距離首先必

8、須確定兩個(gè)平面是否平行，這時(shí)可以在一個(gè)平面上任取一點(diǎn)，將兩平面間的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題。（5）用法向量求二面角如圖，有兩個(gè)平面與，分別作這兩個(gè)平面的法向量與，則平面與所成的角跟法向量與所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角。（6）法向量求直線與平面所成的角要求直線a與平面所成的角，先求這個(gè)平面的法向量與直線a的夾角的余弦，易知=或者。四典例解析題型1：異面直線所成的角例1（1）直三棱住A1B1C1ABC，BCA=，點(diǎn)D1、F1 分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（ ） （A ） （B） （C） （D）（2）（06四

9、川）已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為（ ）（A） （B） （C） （D）解析：（1）連結(jié)D1F1，則D1F1，BC D1F1設(shè)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，D1F1BE，BD1EF1，EF1A或其補(bǔ)角即為BD1與AF1所成的角。由余弦定理可求得。故選A。（2）二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為兩條直線所成的角， =，選B。點(diǎn)評(píng)：通過(guò)平移將異面直線的夾角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的兩條相交直線的夾角。例2已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)。求：D1E與平面BC1D所成角的大?。ㄓ糜嘞抑当硎荆〢1B1C1D1ABCDExyz解析：建立坐標(biāo)系如圖，則、，。不難證明為平面B

10、C1D的法向量， 。 D1E與平面BC1D所成的角的余弦值為。點(diǎn)評(píng)：將異面直線間的夾角轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角。題型2：直線與平面所成的角例3PA、PB、PC是從P點(diǎn)出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. D解：構(gòu)造正方體如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CO平面PAB，垂足為O，則O為正ABP的中心，于是CPO為PC與平面PAB所成的角。設(shè)PC=a，則PO=，故，即選C。思維點(diǎn)撥：第（2）題也可利用公式直接求得。例2（03年高考試題）如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90°，側(cè)棱AA12，D、E分別是CC

11、1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是ABD的重心G。求A1B與平面ABD所成角的大?。ńY(jié)果用余弦值表示）；GDDA1C1B1CBKxyzAE解析：如圖所示，建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為C，設(shè)CA2a，則A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)， G() ， ， a1， 為平面ABD的法向量，且。 A1B與平面ABD所成角的余弦值是。點(diǎn)評(píng)：先處理平面的法向量，再求直線的方向向量與法向量夾角間的夾角轉(zhuǎn)化為線面角。題型3：二面角EFO例5在四棱錐PABCD中，ABCD為正方形，PA平面ABCD，PAABa，E為BC中點(diǎn)。（1）求平面PDE與平

12、面PAB所成二面角的大小（用正切值表示）；（2）求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。解析：（1）延長(zhǎng)AB、DE交于點(diǎn)F，則PF為平面PDE與平面PAD所成二面角的棱，PA平面ABCD，ADPA、AB, PAAB=ADA平面BPA于A，過(guò)A作AOPF于O，連結(jié)OD，則AOD即為平面PDE與平面PAD所成二面角的平面角。易得，故平面PDE與平PAD所成二面角的正切值為；（2）解法1（面積法）如圖ADPA、AB, PAAB=A，DA平面BPA于A, 同時(shí)，BC平面BPA于B，PBA是PCD在平面PBA上的射影, 設(shè)平面PBA與平面PDC所成二面角大小為,cos=SPAB/SPCD=/2 =45

13、0。即平面BAP與平面PDC所成的二面角的大小為45°。解法2（補(bǔ)形化為定義法）如圖：將四棱錐P-ABCD補(bǔ)形得正方體ABCDPQMN，則PQPA、PD，于是APD是兩面所成二面角的平面角。在RtPAD中，PA=AD，則APD=45°。即平面BAP與平面PDC所成二面角的大小為45°。例6（1）（2003年，北京卷高考題）如圖6，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱，D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且。求二面角的大小。（略去了該題的，問(wèn)）（2）（06四川卷）已知球的半徑是1，、三點(diǎn)都在球面上，、兩點(diǎn)和、兩點(diǎn)的球面距離都是，、兩點(diǎn)的球面距離是，則二面角的大小是（ ）（A） （B） （

14、C） （D）解析：（1）取BC的中點(diǎn)O，連AO。由題意：平面平面，平面，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖6所示空間直角坐標(biāo)系，則 ， ， ， ，由題意 平面ABD， 為平面ABD的法向量。設(shè) 平面的法向量為 ，則， ， ，即 。 不妨設(shè) ，由，得。 故所求二面角的大小為。評(píng)析：（1）用法向量的方法處理二面角的問(wèn)題時(shí)，將傳統(tǒng)求二面角問(wèn)題時(shí)的三步曲：“找證求”直接簡(jiǎn)化成了一步曲：“計(jì)算”，這表面似乎談化了學(xué)生的空間想象能力，但實(shí)質(zhì)不然，向量法對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求更高，也更加注重對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教育改革的精神；（2）此法在處理二面角問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)遇到二面角的具體大小問(wèn)題，如本題中若取時(shí)，會(huì)算得，

15、從而所求二面角為，但依題意只為。因?yàn)槎娼堑拇笮∮袝r(shí)為銳角、直角，有時(shí)也為鈍角。所以在計(jì)算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計(jì)算取“相等角”或取“補(bǔ)角”。（2）解析：球的半徑是R=，三點(diǎn)都在球面上，兩點(diǎn)和兩點(diǎn)的球面距離都是，則AOB，AOC都等于，AB=AC，兩點(diǎn)的球面距離是，BOC=，BC=1，過(guò)B做BDAO，垂足為D，連接CD，則CDAD，則BDC是二面角的平面角，BD=CD=，BDC=，二面角的大小是，選C。題型4：異面直線間的距離例7如圖，已知正方體棱長(zhǎng)為，求異面直線與的距離解法一：連結(jié)交的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連結(jié)交于，連，則，過(guò)作交于，則。又斜線的射影為，。同理，為與的公

16、垂線，由于為的中點(diǎn)，。，故，解法二（轉(zhuǎn)化為線面距）因?yàn)槠矫?，平面，故與的距離就是到平面的距離。由，即，得解法三（轉(zhuǎn)化為面面距）易證平面平面，用等體積法易得到平面的距離為。O同理可知：到平面的距離為，而，故兩平面間距離為MNE解法四（垂面法）如圖，平面，平面，平面平面，故O到平面的距離為斜邊上的高。解法五。（函數(shù)最小值法）如圖，在上取一點(diǎn)M，作MEBC于E，過(guò)E作ENBD交BD于N，易知MN為BD與的公垂線時(shí)，MN最小。設(shè)BE=，CE=ME=，EN=，MN=。當(dāng)時(shí)，時(shí)，。例8如圖2，正四棱錐的高，底邊長(zhǎng)。求異面直線和之間的距離？分析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則， ，ABCDOS圖2，。，。令向

17、量，且，則，。異面直線和之間的距離為：。題型5：點(diǎn)面距離例9如圖，已知為邊長(zhǎng)是的正方形，分別是，的中點(diǎn)，垂直于所在的平面，且，求點(diǎn)到平面的距離。解法一：連結(jié)，又，分別是，的中點(diǎn)， 。，解法二，分別是，的中點(diǎn)，到平面的距離為上任一點(diǎn)到平面的距離，于，又平面，平面，平面，平面平面，過(guò)點(diǎn)作，則平面，為到平面的距離，即到平面的距離。由解法一知：，由得 。思維點(diǎn)拔：注意點(diǎn)距，線面距，面面距的轉(zhuǎn)化，利用平面互相垂直作距離也是一種常用的方法。例10（1）（06安徽）多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1，

18、2和4，P是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平面的距離可能是：_（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)） 3； 4； 5； 6； 7（2）平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，已知其中有兩個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1和2 ，那么剩下的一個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離可能是：1； 2； 3； 4； 以上結(jié)論正確的為_(kāi)。（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）ABCDA1解析：（1）如圖，B、D、A1到平面的距離分別為1、2、4，則D、A1的中點(diǎn)到平面的距離為3，所以D1到平面的距離為6；B、A1的中點(diǎn)到平面的距離為，所以B1到平面的距離為5；則D、B的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；C、A1的中點(diǎn)到平面的距離為，

19、所以C1到平面的距離為7；而P為C、C1、B1、D1中的一點(diǎn)，所以選。（2）如圖，B、D到平面的距離為1、2，則D、B的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；B、C到平面的距離為1、2，D到平面的距離為，則，即，所以D到平面的距離為1；C、D到平面的距離為1、2，同理可得B到平面的距離為1；所以選。題型6：線面距離BACD例11已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為8，對(duì)角線，D是AC的中點(diǎn)。（1）求點(diǎn)到直線AC的距離。（2）求直線到平面的距離。解析：（1）連結(jié)BD，由三垂線定理可得：，所以就是點(diǎn)到直線AC的距離。在中。（2）因?yàn)锳C與平面BD交于的中點(diǎn)，設(shè)，則/DE，所以/平面，所以到平面BD的距離等于點(diǎn)到平面BD的距離，等于點(diǎn)到平面BD的距離，也就等于三棱錐的高。，所以，直線到平面BD的距離是。ACBPEF圖7思維點(diǎn)拔：求空間距離多用轉(zhuǎn)化的思想。例12如圖7，已知邊長(zhǎng)為的正三角形中，、分別為和的中點(diǎn)，面，且，設(shè)平面過(guò)且與平行。 求與平面間的距離？分析：設(shè)、的單位向量分別為、，選取，作為空間向量的一組基底。易知，=，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，直線與平面間的距離=五思維總結(jié)1這些角是對(duì)點(diǎn)、直線、平面所組成空間圖形的位置進(jìn)行定性分析和定量計(jì)算的重要組成部分，學(xué)習(xí)時(shí)要深刻理解它們的含義，并能綜合應(yīng)用空間各種角的概念和平面幾