第1章 《有理數(shù)》專題培優(yōu)

1、第一章 有理數(shù)專題培優(yōu)一、有關(guān)概念和性質(zhì)（一）有理數(shù)概念和分類1.有理數(shù)按定義分為_和_兩類；2.有理數(shù)按性質(zhì)分為_、_、_三類.3._小數(shù)和_小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)，它們是有理數(shù)；_小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù)，不是有理數(shù). （二）數(shù)軸（數(shù)形結(jié)合思想）1.數(shù)軸的三要素：_、_、_.2.一切有理數(shù)都可用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示有理數(shù).3.在數(shù)軸上表示數(shù)，它們從左向右的順序，就是從_到_的順序.練習(xí)與思考：（1）數(shù)軸上表示整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn). 某數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是1 cm，若在這條數(shù)軸上隨意畫出一條長(zhǎng)為2015 cm的線段，則這條線段能蓋住的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_個(gè). （2）在數(shù)軸上任取一條長(zhǎng)度為的線段，則

2、此線段在這條數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_個(gè).（三）相反數(shù)，倒數(shù)例1. 填空：（1）的相反數(shù)是_，的相反數(shù)是_，的相反數(shù)是_.（2）相反數(shù)等于本身的數(shù)是_，倒數(shù)等于本身的數(shù)是_.（3）若，則_.例2. 已知，互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，的絕對(duì)值是2，求代數(shù)式的值.（四）絕對(duì)值，非負(fù)數(shù)1.絕對(duì)值的概念和性質(zhì)：（1）絕對(duì)值的幾何意義：從數(shù)軸上看， 就是_到_的距離.（2）絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值等于_，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于_，0的絕對(duì)值等于_. 用符號(hào)表示即：【化去絕對(duì)值符號(hào)的依據(jù)】（3）絕對(duì)值的性質(zhì)：（非負(fù)性）；（）；.（4）非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和仍為非負(fù)數(shù)；非負(fù)數(shù)的最小值為0；若幾個(gè)非負(fù)

3、數(shù)的和為0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.2.典型應(yīng)用例題（1）絕對(duì)值概念的運(yùn)用例1. 已知，且，求的值.例2. 已知，且，求的值.例3. 已知，且，求的值.（2）絕對(duì)值的非負(fù)性（非負(fù)數(shù)性質(zhì)）例1.已知，求代數(shù)式的值. 例2.已知與互為相反數(shù)，求代數(shù)式的值：.例3*. 已知，為整數(shù)，且，求代數(shù)式的值：.思考：已知為正整數(shù)，且，則_，_.（3）絕對(duì)值的化簡(jiǎn)例1. 填空：（1）如果，那么_0；如果，那么_0.（2）已知，化簡(jiǎn)_.（3）已知，則的取值范圍是_.（4）如果，化簡(jiǎn)_.例2.已知，在數(shù)軸上的位置如圖，化簡(jiǎn)：.例3.（1）已知，求代數(shù)式的值.（2）已知，且，求代數(shù)式的值.例4.化簡(jiǎn)：.【零點(diǎn)分段法+

4、分類討論思想】例5.已知有理數(shù)，滿足，求代數(shù)式的值.變式練習(xí)：1.有理數(shù)，滿足，則_.2.如果，是非零有理數(shù)，且，那么的所有可能的值為_.3.已知有理數(shù)，均不為0，且,設(shè)，則代數(shù)式的值為_.例6. 如果，求的取值范圍.（4）絕對(duì)值與數(shù)軸上兩點(diǎn)距離的表示例1.填空：（1）在數(shù)軸上，表示和的兩個(gè)點(diǎn)的距離是_，表示與的兩個(gè)點(diǎn)的距離是_.（2）一般地，在數(shù)軸上表示數(shù)，的兩點(diǎn)之間的距離是_.（3）若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為，則A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為_.（4）要求等式中的的值，也可以理解為已知數(shù)軸上表示數(shù)和的兩點(diǎn)的距離是5，求這個(gè)數(shù). 因?yàn)閿?shù)軸上到的距離是5的點(diǎn)有_和_兩個(gè)，所以_.（

5、5）結(jié)合數(shù)軸可以求得的最小值為_，這時(shí)的取值范圍是_.（6）滿足的的取值范圍是_.（5）絕對(duì)值的最值問(wèn)題例1.填空：（1）當(dāng)_時(shí)，有最_值是_.（2）當(dāng)_時(shí)，有最_值是_.（3）當(dāng)_時(shí)，有最_值是_.（4）當(dāng)_時(shí)，有最_值是_.（5）當(dāng)_時(shí)，有最_值是_.（6）當(dāng)_時(shí)，有最_值是_.例2.填空：（1）當(dāng)_時(shí)，有最小值是_.（2）當(dāng)_時(shí)，有最小值是_.（3）當(dāng)_時(shí)，有最小值是_.（4）當(dāng)_時(shí)，代數(shù)式有最大值是_；而當(dāng)_時(shí)，有最小值是_.例3.已知，求的最大值和最小值.（五）科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)練習(xí)：1.近似數(shù)1.70所表示的準(zhǔn)確數(shù)x的取值范圍是_.2.用四舍五入法把4.036精確到001的近似值是

6、_，把3085000精確到萬(wàn)位的近似值是_.二、有理數(shù)的運(yùn)算（一）有理數(shù)的加、減、乘、除和乘方運(yùn)算法則及易錯(cuò)點(diǎn)警示例.計(jì)算：（1）_；（2）_；（3）_；（4）_；（5）_；（6）_；（7）_；（8）_；（9）_.（二）有理數(shù)的混合運(yùn)算及簡(jiǎn)便運(yùn)算1.常規(guī)混合運(yùn)算需熟練掌握【易錯(cuò)警示：符號(hào)、順序、乘方意義】例.計(jì)算：（1）（2）2.加法、乘法運(yùn)算律的靈活運(yùn)用（簡(jiǎn)便運(yùn)算）（1）加法：相反數(shù)結(jié)合；同分母結(jié)合；湊整結(jié)合；同號(hào)結(jié)合等.（2）乘法：重點(diǎn)是分配律及其逆用例.計(jì)算：（1）（2）3.乘方概念的深刻理解和靈活運(yùn)用例.計(jì)算：（1）（2）（三）有理數(shù)運(yùn)算中的特殊技巧1.高斯算法【用公式：（首項(xiàng)+末項(xiàng)）

7、項(xiàng)數(shù)2； 或用倒序相加法】例.計(jì)算：（1）（2）（3）2.正負(fù)相消例.計(jì)算：（1）（2）3.倍比相消例.計(jì)算：（1）（2）4.裂項(xiàng)相消例.計(jì)算：（1）（2）（3）5.整體換元例.計(jì)算：（1）（）（1）（）練習(xí)與思考：計(jì)算：（1）（）（）（） （）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.（10）（11）三、找規(guī)律（一）數(shù)式規(guī)律例1.將正奇數(shù)按下表排成5列:第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行 1 3 5 7第二行 15 13 11 9第三行 17 19 21 23第四行 31 29 27 25 根據(jù)上面規(guī)律，2007應(yīng)在第_行_列.例2.將正偶數(shù)按下表排成5列第

8、1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行182022242826根據(jù)上面的規(guī)律，則2006應(yīng)在 行 列.例3.給出下列算式： 觀察上面算式的規(guī)律，第個(gè)（為正整數(shù)）等式為：_.例4.觀察下面數(shù)列，用含的代數(shù)式表示出第個(gè)數(shù)：（1），；第個(gè)數(shù)可表示為_；（2），；第個(gè)數(shù)可表示為_；（3），；第個(gè)數(shù)可表示為_.歸納：奇負(fù)偶正，用_絕對(duì)值；奇正偶負(fù)，用_絕對(duì)值.例5. 計(jì)算所得結(jié)果的末位數(shù)字是_.（二）圖形規(guī)律例1.用棋子擺成如圖所示的“T”字圖案（1）擺成第一個(gè)“T”字需要 個(gè)棋子，第二個(gè)圖案需要 個(gè)棋子；（2）按這樣的規(guī)律擺下去，擺成第10個(gè)“T”字需要 個(gè)棋子，一般地，第個(gè)圖案需要_個(gè)棋子例2.如圖是用圍棋棋子按照某種規(guī)律擺成的一行“廣”字，按照這種規(guī)律，第5個(gè)“廣”字中棋子個(gè)數(shù)是 ，第個(gè)“廣”字中棋子個(gè)數(shù)為 _ .例3.將一些半徑相同的小圓按如圖所示規(guī)律擺放：第1個(gè)圖形有6個(gè)小圓，第2個(gè)圖形有10個(gè)小圓，第3個(gè)圖形有16個(gè)小圓，第4個(gè)圖形有24個(gè)小圓，依此規(guī)律，第6個(gè)圖形有_個(gè)小圓； 第個(gè)圖