“等時圓”物理專題

1、妙用“等時圓”解物理問題一、什么是“等時圓”圖12004年高考試題：如圖1所示，ad、bd、cd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點為圓周的最高點，d點為最低點。每根桿上都套有一個小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0），用t1、t2、t3依次表示各滑環(huán)到達(dá)d所用的時間，則（）A.t1<t2<t3 B.t1>t2>t3 C.t3>t1>t2 D.t1=t2=t3 解析：選任一桿上的環(huán)為研究對象，受力分析并建立坐標(biāo)如圖所示，設(shè)圓半徑為R，由牛頓第二定律得，圖2 再由幾何關(guān)系，細(xì)桿長度 設(shè)下滑時間為，則 由以上

2、三式得， 可見下4滑時間與細(xì)桿傾角無關(guān)，所以D正確。由此題我們可以得出一個結(jié)論。結(jié)論：物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點的時間相等。推論：若將圖1倒置成圖2的形式，同樣可以證明物體從最高點由靜止開始沿不同的光滑細(xì)桿到圓周上各點所用的時間相等。(1)物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點時間均相等，且為t2(如圖甲所示)(2)物體沿著位于同一豎直圓上的所有過頂點的光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周低端時間相等為t2(如圖乙所示)象這樣的豎直圓我們簡稱為“等時圓”。關(guān)于它在解題中的應(yīng)用，我們看下面的例子：圖a 圖b一、 等時圓模型（如圖所示）二、 等時圓

3、規(guī)律：1、小球從圓的頂端沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到弦軌道與圓的交點的時間相等。（如圖a）2、小球從圓上的各個位置沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到圓的底端的時間相等。（如圖b）3、沿不同的弦軌道運動的時間相等，都等于小球沿豎直直徑（）自由落體的時間，即 （式中R為圓的半徑。）三、等時性的證明設(shè)某一條弦與水平方向的夾角為，圓的直徑為（如右圖）。根據(jù)物體沿光滑弦作初速度為零的勻加速直線運動，加速度為，位移為，所以運動時間為 即沿各條弦運動具有等時性，運動時間與弦的傾角、長短無關(guān)。規(guī)律AB、AC、AD是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，A、B、C、D位于同一圓周上，A點為圓周的最高點，D點為最低點.每根桿上都套著

4、一個光滑的小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)分別從A處由靜止開始釋放，到達(dá)圓周上所用的時間是相等的，與桿的長度和傾角大小都無關(guān). 推導(dǎo)圖3A設(shè)圓環(huán)沿細(xì)桿AB滑下，過B點作水平線構(gòu)造斜面，并設(shè)斜面的傾角為，如圖2所示，連接BD.根據(jù)牛頓第二運動定律有環(huán)的加速度a=gsin，由幾何關(guān)系有AB=x=2Rsin，由運動學(xué)公式有x=12at2，解得：環(huán)的運動時間t=2Rg，與傾角、桿長無關(guān)，所以環(huán)沿不同細(xì)桿下滑的時間是相等的.說明1 如果細(xì)桿是粗糙的，環(huán)與細(xì)桿間的動摩擦因數(shù)都為，由運動學(xué)公式有2Rsin=12（gsingcos）t2，解得t=2Rsingsingcos=2Rggcot，增大，時間t減小，規(guī)律

5、不成立.二、“等時圓”的應(yīng)用,巧用等時圓模型解題對于涉及豎直面上物體運動時間的比較、計算等問題可考慮用等時圓模型求解1、 可直接觀察出的“等時圓”例1：如圖3，通過空間任一點A可作無限多個斜面，若將若干個小物體從點A分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時滑下，那么在同一時刻這些小物體所在位置所構(gòu)成的面是（ ）A.球面 B.拋物面 C.水平面 D.無法確定解析：由“等時圓”可知，同一時刻這些小物體應(yīng)在同一“等時圓”上，所以A正確。圖8【變式訓(xùn)練1】如圖所示，AB和CD是兩條光滑斜槽，它們各自的兩端分別位于半徑為R和r的兩個相切的豎直圓上，并且斜槽都通過切點P.設(shè)有一個重物先后沿斜槽從靜止出發(fā)，從A

6、滑到B和從C滑到D，所用的時間分別等于t1和t2，則t1和t2之比為()A21            B11 C.31              D12例4：圓O1和圓O2相切于點P，O1、O2的連線為一豎直線，如圖8所示。過點P有兩條光滑的軌道AB、CD，兩個小物體由靜止開始分別沿AB、CD下滑，下滑時間分別為t1、t2，則t1、t2的關(guān)系是（）A.t1&

7、gt;t2 B.t1=t2 C.t1<t2 D.無法判斷解：因AB、CD處在兩個“等時圓”上，所以正確答案為B。例2：如圖4，位于豎直平面內(nèi)的固定光滑圓軌道與水平面相切于M點，與豎直墻相切于點A，豎直墻上另一點B與M的連線和水平面的夾角為600，C是圓環(huán)軌道的圓心，D是圓環(huán)上與M靠得很近的一點（DM遠(yuǎn)小于CM）。已知在同一時刻：a、b兩球分別由A、B兩點從靜止開始沿光滑傾斜直軌道運動到M點；c球由C點自由下落到M點；d球從D點靜止出發(fā)沿圓環(huán)運動到M點。則：（ ） ABCDM圖4A、a球最先到達(dá)M點 B、b球最先到達(dá)M點C、c球最先到達(dá)M點 D、d球最先到達(dá)M點解析：設(shè)圓軌道半徑為R，據(jù)“

8、等時圓”理論，ta=2 ， tb> ta ；c做自由落體運動tc= ；而d球滾下是一個單擺模型，擺長為R，td= ，所以C正確。tbtatdtc.解【析】如圖所示，令圓環(huán)半徑為R，則c球由C點自由下落到M點用時滿足Rgt，所以tc ；對于a球令A(yù)M與水平面成角，則a球下滑到M用時滿足2Rsin gsin t，即ta2；同理b球從B點下滑到M點用時也滿足tb2(r為過B、M且與水平面相切于M點的豎直圓的半徑，rR)綜上所述可得tbtatc.三個相同小球從a點沿ab、ac、ad三條光滑軌道從靜止釋放，哪個小球先運動到最低點？解析：設(shè)斜面?zhèn)冗呴L為，傾角為，則物體沿光滑斜面下滑時加速度為，物體的

9、位移為。物體由斜面頂端由靜止開始運動到底端，由運動學(xué)公式得，圖1得， 、一定，所以越大時，下滑所用時間越短 奇妙的等時圓2004年全國高考理科綜合第15題的解析與應(yīng)用從一道高考題得到的一個重要結(jié)論及其應(yīng)用2004年高考試題：如圖1所示，ad、bd、cd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點為圓周的最高點，d點為最低點。每根桿上都套有一個小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0），用t1、t2、t3依次表示各滑環(huán)到達(dá)d所用的時間，則（）A.t1<t2<t3 B.t1>t2>t3 C.t3>t1>t2 D.t1=t

10、2=t3 解析：選任一桿上的環(huán)為研究對象，受力分析并建立坐標(biāo)如圖2，由牛頓第二定律得， 由幾何關(guān)系，細(xì)桿長度 圖3圖2設(shè)下滑時間為，則 由以上三式得， 可見下滑時間與細(xì)桿傾角無關(guān)，所以D正確。圖4若將圖1倒置成圖3的形式，同樣可以證明物體從最高點由靜止開始沿不同的光滑細(xì)桿到圓周上各點所用的時間相等。結(jié)論：物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點的時間相等。物體沿著位于同一豎直圓上的過頂點的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周低端的時間相等。我們把這兩種圓叫做“等時圓”，下面舉例說明“等時圓”的應(yīng)用。例1：如圖4所示，通過空間任一點A可作無限多個斜面，若將若干個小物體從點A分別沿

11、這些傾角各不相同的光滑斜面同時滑下，那么在同一時刻這些小物體所在位置所構(gòu)成的面是（）A.球面 B.拋物面 C.水平面 D.無法確定解：由“等時圓”可知，同一時刻這些小物體應(yīng)在同一“等時圓”上，所以A正確。圖5圖6例2：兩光滑斜面的高度都為h，甲、乙兩斜面的總長度都為l，只是乙斜面由兩部分組成，如圖5所示，將兩個相同的小球從斜面的頂端同時由靜止釋放，不計拐角處的能量損失，問哪一個球先到達(dá)斜面底端？解：構(gòu)想一輔助圓如圖6所示：在AF上取一點O，使OA=OC，以O(shè)點為圓心，以O(shè)A為半徑畫圓，此圓交AD于E點。由“等時圓”可知，由機械能守恒定律可知：，所以。又因為兩斜面的總長度相等，所以，根據(jù)得，所以

12、有，即乙球先到達(dá)斜面底端。圖11圖122.在離坡底B為10cm的山坡面上豎直地固定一根直桿，桿高OA也是10cm。桿的上端A到坡底B之間有鋼繩，一穿心于鋼繩上的物體（如圖11）從A點由靜止開始沿鋼繩無摩擦地滑下，求它在鋼繩上滑行時間（g=10m/s2 ）AOBC30° 圖1答案：如圖12，把AO延長到C，使OC=OA=10cm，則點O到A、B、C三點的距離相等。以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，則B、C一定在該圓的圓周上，由結(jié)論可知，物體從A到B的時間與從A到C的時間相等，即s?！纠?】傾角為30°的長斜坡上有C、O、B三點，CO = OB = 10m，在C點豎直地固定

13、一長10 m的直桿AO。A端與C點間和坡底B點間各連有一光滑的鋼繩，且各穿有一鋼球（視為質(zhì)點），將兩球從A點由靜止開始、同時分別沿兩鋼繩滑到鋼繩末端，如圖1所示，則小球在鋼繩上滑行的時間tAC和tAB分別為（取g = 10m/s2）圖2AOBC30° 12D A2s和2s B 和 2s C和4s D4s 和解析：由于CO = OB =OA ，故A、B、C三點共圓，O為圓心。又因直桿AO豎直，A點是該圓的最高點，如圖2所示。兩球由靜止釋放，且光滑無摩擦，滿足“等時圓”條件。設(shè)鋼繩AB和AC與豎直方向夾角分別為1、2，該圓半徑為r，則對鋼球均有解得：, 鋼球滑到斜坡時間t跟鋼繩與豎直方向

14、夾角無關(guān)，且都等于由A到D的自由落體運動時間。代入數(shù)值得t=2s，選項A正確。ABPHhO圖52、運用等效、類比自建“等時圓”圖6ABPHhOO1例3：如圖5所示，在同一豎直線上有A、B兩點，相距為h，B點離地高度為H，現(xiàn)在要在地面上尋找一點P，使得從A、B兩點分別向點P安放的光滑木板，滿足物體從靜止開始分別由A和B沿木板下滑到P點的時間相等，求O、P兩點之間的距離。解析：由“等時圓”特征可知，當(dāng)A、B處于等時圓周上，且P點處于等時圓的最低點時，即能滿足題設(shè)要求。如圖6所示，此時等時圓的半徑為： 所以 OABLLD圖2例2：如圖2，在斜坡上有一根旗桿長為L，現(xiàn)有一個小環(huán)從旗桿頂部沿一根光滑鋼絲

15、AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小環(huán)從A滑到B的時間。【解析】：可以以O(shè)為圓心，以 L為半徑畫一個圓。根據(jù)“等時圓”的規(guī)律可知，從A滑到B的時間等于從A點沿直徑到底端D的時間，所以有例2、在一豎直墻面上固定一光滑的桿AB，如圖所示，BD為水平地面，ABD三點在同一豎直平面內(nèi)，且連線AC=BC=0.1m 一小球套在桿上自A端滑到B端的時間為：（ B ）A 0.1s B 0.2s C D s解析：以C為圓心作一個參考園。由結(jié)論知，小球自A到B運動的時間與自A到B自由落體運動的時間相等。即AE=2R=0.2mAE=gt t=0.2s4、如圖4所示，在離坡底15m的山坡上豎直固定一長15m的直桿AO

16、，A端與坡底B間連有一鋼繩，一穿于鋼繩上的小球從A點由靜止開始沿鋼繩無摩擦地滑下，求其在鋼繩上滑行的時間t。例5、圖甲是某景點的山坡滑道圖片，為了探究滑行者在滑道直線部分AE滑行的時間技術(shù)人員通過測量繪制出如圖乙所示的示意圖AC是滑道的豎直高度，D點是AC豎直線上的一點，且有ADDE10 m，滑道AE可視為光滑，滑行者從坡頂A點由靜止開始沿滑道AE向下做直線滑動，g取10 m/s2，則滑行者在滑道AE上滑行的時間為()A. sB2 sC. s D2 s【解析】AE兩點在以D為圓心、半徑為R10 m的圓上，在AE上的滑行時間與沿AD所在的直徑自由下落的時間相同，t 2 s，選B.例4、如圖所示，

17、圓弧AB是半徑為R的圓弧，在AB上放置一光滑木板BD，一質(zhì)量為m的小物體在BD板的D端由靜止下滑，然后沖向水平面BC，在BC上滑行L后停下不計小物體在B點的能量損失，已知小物體與水平面BC間的動摩擦因數(shù)為.求：小物體在BD上下滑過程中重力做功的平均功率【解析】由動能定理可知小物體從D到C有WGmgL0，所以WGmgL圖7由等時圓知識可知小物體從D到B的時間等于物體從圓周的最高點下落到B點的時間，即為t ，所以小物體在木板BD上下滑過程中，重力做功的平均功率為P.例3：如圖7，一質(zhì)點自傾角為的斜面上方的定點O沿光滑斜槽OP從靜止開始下滑，為使質(zhì)點從O點滑到斜面的時間最短，則斜槽與豎直方向的夾角應(yīng)

18、為多大？解：如圖7，作以O(shè)P為弦的輔助圓，使圓心O/與O的連線在豎直線上，且與斜面相切于P點。由“等時圓”可知，唯有在O點與切點P點架設(shè)的斜槽滿足題設(shè)條件，質(zhì)點沿其它斜槽滑至斜面的時間都大于此時間。由圖可知，又為等腰三角形，所以。PAB圖8CO 例4：如圖7， AB是一傾角為的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚，在P與AB輸送帶間建立一管道（假使光滑），使原料從P處以最短的時間到達(dá)輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？AB圖7P解析：借助“等時圓”，可以過P點的豎直線為半徑作圓，要求該圓與輸送帶AB相切，如圖所示，C為切點，O為圓心。顯然，沿著PC弦建立管道，原MP圖7料從P處到達(dá)C

19、點處的時間與沿其他弦到達(dá)“等時圓”的圓周上所用時間相等。因而，要使原料從P處到達(dá)輸送帶上所用時間最短，需沿著PC建立管道。由幾何關(guān)系可得：PC與豎直方向間的夾角等于/ 2?！纠?】如圖7所示，在同一豎直平面內(nèi)，從定點P到固定斜面(傾角為)搭建一條光滑軌道PM，使物體從P點釋放后，沿軌道下滑到斜面的時間最短，則此軌道與豎直線的夾角為多少？MP圖8Dh解析：先用解析法求解。從定點P向斜面作垂線，垂足為D，如圖8所示，設(shè)P到斜面距離為h，則軌道長度為物體沿軌道下滑的加速度由于聯(lián)立解得：令根式中分母，利用積化和差得：，一定，當(dāng)時，分母y取得最大值，物體沿軌道下滑的時間t最小。再用“等時圓”作圖求解。以

20、 定點P為“等時圓”最高點，作出系列半徑r不同（動態(tài)的）“等時圓”，所有軌道的末端均落在對應(yīng)的“等時圓”圓周上，如圖9中甲所示，則軌道長度均可表示為圖9P 1M1M22PM2甲乙物體沿軌道下滑的加速度由于，故得：，欲t最小，則須“等時圓”的半徑r最小。顯然，半徑最小的“等時圓”在圖中與斜面相切于M2點，如圖9中乙所示。再根據(jù)幾何關(guān)系可知：。在這里，用了轉(zhuǎn)化的思想，把求最短時間轉(zhuǎn)化為求作半徑最小的“等時圓”，避免了用解析法求解的復(fù)雜計算。圖5 例4：如圖5所示，在傾角為的傳送帶的正上方，有一發(fā)貨口A。為了使貨物從靜止開始，由A點沿光滑斜槽以最短的時間到達(dá)傳送帶，則斜槽與豎直方向的夾角應(yīng)為多少？【

21、解析】：如圖6所示，首先以發(fā)貨口A點為最高點作一個圓O與傳送帶相切，切點為B，然后過圓心O畫一條豎直線，而連接A、B的直線，就是既過發(fā)貨口A，又過切點B的惟一的弦。PHL圖10 根據(jù)“等時圓”的規(guī)律，貨物沿AB弦到達(dá)傳送帶的時間最短。因此，斜槽應(yīng)沿AB方向安裝。AB所對的圓周角為圓心角的一半，而圓心角又等于，所以。如圖3所示，在一個坡面與水平面成=40°角的山坡AB的腳下A處有一個高塔，為防止意外，需要在塔頂O與山坡之間搭一個滑道，以便塔上的人能盡快沿滑道滑到山坡上.假設(shè)滑道光滑，試求滑道與山坡坡面AB的夾角多大？解析 如圖4所示，過O點作一條水平線與山坡交于B點，過B點作ABO的角

22、平分線，交過O點作的豎直線于點C，以點C為圓心、OC為半徑作圓與山坡相切于點D，連接OD、CD.圖6根據(jù)上述結(jié)論可知：人從O點出發(fā)沿滑道到達(dá)圓上的時間是相等的，沿滑道O已到達(dá)山坡，沿其他滑道還要再走一段距離才能到達(dá)山坡，所以人沿滑道OD到達(dá)山坡所用時間最短，此時夾角=90°=70°.另解 如圖5所示，過點O作山坡的垂線OD，設(shè)其長度為x.過點O畫直線OE，作為滑道，設(shè)其與豎直方向的夾角為.由幾何知識可知滑道的長度OE=xcos（），由牛頓第二運動定律得人運動的加速度為a=gsin（90°），由運動學(xué)公式有xcos（）=12gcost2，解得t=2xgcoscos（

23、），其中coscos（）=12cos+cos（2），所以當(dāng)2=40°時，時間取得最小值，此時夾角=90°=70.3、 “形似質(zhì)異”問題的區(qū)分如圖1所示，ad、bd、cd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點為圓周的最高點，d點為最低點。每根桿上都套有一個小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0），用t1、t2、t3依次表示各滑環(huán)到達(dá)d所用的時間，則（ ）圖1xymgA.t1<t2<t3 B.t1>t2>t3 C.t3>t1>t2 D.t1=t2=t3 解析：選任一桿上的環(huán)為研究對象，受力分析

24、并建立坐標(biāo)如圖所示，設(shè)圓半徑為R，由牛頓第二定律得， 再由幾何關(guān)系，細(xì)桿長度 設(shè)下滑時間為，則 圖2由以上三式得， 可見下4滑時間與細(xì)桿傾角無關(guān)，所以D正確。由此題我們可以得出一個結(jié)論。結(jié)論：物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點的時間相等。推論：若將圖1倒置成圖2的形式，同樣可以證明物體從最高點由靜止開始沿不同的光滑細(xì)桿到圓周上各點所用的時間相等。象這樣的豎直圓我們簡稱為“等時圓”。關(guān)于它在解題中的應(yīng)用，我們看下面的例子：【例1】還是如圖1的圓周，如果各條軌道不光滑，它們的摩擦因數(shù)均為，小滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0）到達(dá)圓環(huán)底部的時間還等不等？aObcd圖3

25、解析：bd的長為2Rcos，bd面上物體下滑的加速度為a=gcos-gsin，tbd=2?？梢妕與有關(guān)?！纠?】如圖3所示，Oa、Ob、Oc是豎直平面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，O、a、b、c四點位于同一圓周上，d點為圓周的最高點，c為最低點，每根桿上套著一個小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)都從圖中O點無初速釋放，用t1、t2 、t3、依次表示滑到a、b、c所用的時間，則A BcbadOefg圖4C D. 解析：如果不假思索，套用結(jié)論，就會落入“陷阱”，錯選A。必須注意，“等時圓”的適用條件是：光滑斜面上初速為零的勻加速直線運動，且運動起點（或終點）應(yīng)在“等時圓”的最高（或最低）點。題圖中O不是最高點

26、，題設(shè)圓不是“等時圓”。現(xiàn)以O(shè)點為最高點，取合適的豎直直徑Oe，作“等時圓”交Ob于b，如圖4所示，顯然，O到f、b、g、e才是等時的，比較圖示位移OaOf，OcOg，故可推知，正確的選項是B。C圖5D【例3】如圖5所示，在豎直面內(nèi)有一圓，圓內(nèi)OD為水平線，圓周上有三根互成的光滑桿、，每根桿上套著一個小球（圖中未畫出）?，F(xiàn)讓一個小球分別沿三根桿頂端無初速下滑到O,所用的時間分別為、，則（ ）BCB/C/圖6DA B C D 無法確定解析：題設(shè)圖中O點不在圓的最低點，故不是“等時圓”。延長OA，過B作B/BBO，則O、B、B/在同一圓周上，B/處自由下落到O的時間和小球沿光滑桿由B無初速滑到O的

27、時間相同。同理，過C作C/CCO，則O、C、C/在同一圓周上，C/處自由下落到O的時間和小球沿光滑桿由C無初速滑到O的時間相同。C/、B/、A自由下落到O的時間依次遞減，故選項B正確。3 延伸如圖6所示，AB、AC、AD是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，A、B、C、D位于同一圓周上，O點為圓周的圓心，A點不是圓的最高點.每根桿上都套著一個光滑小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)分別從A處從靜止開始釋放，用t1、t2、t3依次表示滑環(huán)到達(dá)B、C、D所用的時間，則三個時間的關(guān)系是什么？解析 A不在圓的最高點，前面的結(jié)論直接用是不行的.可以采用如下的方法解決.如圖7所示，過點A作豎直線交AB的垂直平分線于點O

28、1，以O(shè)1為圓心、O1A為半徑畫圓交AB于B、分別交AC、AD的延長線于C1、D1.在圓ABC1D1中用前面的結(jié)論可知 ，所以t1>t2.不可以根據(jù)CC1另解 假設(shè)圓的半徑為R，建立如圖8所示的直角坐標(biāo)系.連接AO并假設(shè)其與x軸的夾角為，則A點的坐標(biāo)為（Rcos，Rsin）.設(shè)直線AB與x軸的夾角為，則直線AB的斜率為k=tan，直線AB的方程為ysin=tan（xcos），整理變形有xtany+sintancos=0，由數(shù)學(xué)知識可知，坐標(biāo)原點到直線AB的距離為OE=|sintancos|1+tan2，由幾何知識解得BE2=R2（1sin2+tan2cos22sincostan1+tan

29、2），整理得BE=（coscos+sinsin）R，由牛頓第二運動定律有環(huán)的加速度a=gsin，由運動學(xué)公式有2BE=12gsint2，解得小環(huán)運動時間為t=4R（coscos+sinsin）gsin=4Rg（coscot+sin），所以增大，時間減小，t1>t2>t3.當(dāng)式中=90°時，t=2Rg，與傾角、桿長無關(guān)，就是前面推導(dǎo)的等時圓規(guī)律.說明2 如果細(xì)桿是粗糙的，環(huán)與細(xì)桿間的動摩擦因數(shù)都為.環(huán)處于加速下滑的條件是2BE=12（gsingcos）t2，解得環(huán)運動時間t=4R（coscos+sinsin）gsingcos，變形為t=4Rg（costan+sin1tan）

30、，圖9由此式可知：增大，時間t減小，即t1>t2>t3.當(dāng)式中=90°或=90°、=0時，時間t=2Rg.可見等時圓規(guī)律適用的條件是：細(xì)桿光滑、A點為圓周的最高點或最低點. 四、比較應(yīng)用等時圓模型解典型例題圖10如圖9，底邊為定長b的直角斜面中，球從光滑直角斜面頂端由靜止滑到底端，至少需要多少時間？答案：用作圖求解。如圖10，以b為半徑、O為圓心作一個圓，作出圓的一條豎直切線MN，于圓切于D點。A點為所作圓的最低點。由圖可看出：從MN上不同的點由靜止滑到A點，以DA時間為最短。（由“等時圓”可知，圖中E/、D、C/各點到達(dá)A的時間相等。）所以小球從底邊b為定長的

31、光滑直角斜面上滑下時以45°的時間為最少，而且此時間與球從P點自由下落到圓最低點的時間相等。所以。2. 有三個光滑斜軌道1、2、3，它們的傾角依次是600，450和300，這些軌道交于O點現(xiàn)有位于同一豎直線上的3個小物體甲、乙、丙，分別沿這3個軌道同時從靜止自由下滑，如圖，物體滑到O點的先后順序是 BA.甲最先，乙稍后，丙最后 B.乙最先，然后甲和丙同時到達(dá)C.甲、乙、丙同時到達(dá) D.乙最先，甲稍后，丙最后解析：設(shè)斜面底邊長為，傾角為，則物體沿光滑斜面下滑時加速度為，物體的位移為。物體由斜面頂端由靜止開始運動到底端，由運動學(xué)公式得，得， 、一定，所以當(dāng)時， 2、如圖9，圓柱體的倉庫內(nèi)

32、有三塊長度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圓心O，而上端則擱在倉庫側(cè)壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為300、450、600。若有三個小孩同時從a、b、c處開始下滑（忽略阻力），則 （ ） aObcA、a處小孩最先到O點 B、b處小孩最先到O點C、c處小孩最先到O點 D、a、c處小孩同時到O點解析：三塊滑塊雖然都從同一圓柱面上下滑，但a、b、c三點不可能在同一豎直圓周上，所以下滑時間不一定相等。設(shè)圓柱底面半徑為R，則=gsint2，t2=，當(dāng)=450時，t最小，當(dāng)=300和600時，sin2的值相等。 例3：如圖3，在設(shè)計三角形的屋頂時，為了使雨水能盡快地從屋頂流下，并認(rèn)為雨水是從

33、靜止開始由屋頂無摩擦地流動。試分析和解：在屋頂寬度（2l）一定的條件下，屋頂?shù)膬A角應(yīng)該多大？雨水流下的最短時間是多少？圖3【解析】：方法一：如圖所示，設(shè)斜面底邊長為，傾角為，則雨滴沿光滑斜面下淌時加速度為，雨滴的位移為。雨滴由斜面頂端由靜止開始運動到底端，由運動學(xué)公式得，得， 、一定，所以當(dāng)時， 圖4方法二（等時圓）：如圖4所示，通過屋頂作垂線AC與水平線BD相垂直；并以L為半徑、O為圓心畫一個圓與AC、BC相切。然后，畫傾角不同的屋頂、從圖4可以看出：在不同傾角的屋頂中，只有是圓的弦，而其余均為圓的割線。根據(jù)“等時圓”規(guī)律，雨水沿運動的時間最短，且最短時間為而屋頂?shù)膬A角則為【例6】在豎直平面內(nèi)，固定一個半徑為R的大圓環(huán)，其圓心為O，在圓內(nèi)與圓心O同一水平面上的P點搭一光滑斜軌道PM到大環(huán)上，如圖13所示，=dR。欲使物體從P點釋放后，沿軌道滑到大環(huán)的時間最短，求M點位置（用OM與水平面的夾角的三角函數(shù)表達(dá)）。OPMd圖13解析：若用解析法求解，軌道長度由余弦定理求得設(shè)軌道PM與水平面夾角為，則物體沿軌道下滑的加速度由正弦定理得：OPMd·O/r圖14又 聯(lián)立以上四個方程，有、a和t五個變量，可以建立起下滑時間t與OM傾角之間的函數(shù)關(guān)系，再利用數(shù)學(xué)工具求極值，但計算相當(dāng)復(fù)雜。如果改用“等時圓”作圖求解，以定點P為最高點，可作出系列半徑r不同（動態(tài)的）“等時圓