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1、數(shù)學(xué)選修2-2綜合測試題(答案)一、選擇題1在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于 (B) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2定積分的值等于( A )ABCD3類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式,對于給定的兩個函數(shù),其中,且,下面正確的運(yùn)算公式是();4.已知為常數(shù))在上有最大值,那么此函數(shù)在上的最小值為( A )A. -37 B-29 C-5 D-115.已知函數(shù)有極大值和極小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(C ) A B C 或 D或6設(shè)P為曲線C:上的點(diǎn),且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為,則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為( )ABCD7設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直,則( )A2BCD8 已
2、知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足,則當(dāng)時,和(是自然對數(shù)的底數(shù))大小關(guān)系為 ( A)A BC D9.給出以下命題:若,則f(x)>0; ;已知,且F(x)是以T為周期的函數(shù),則;其中正確命題的個數(shù)為( B )A.1 B.2 C.3 D.010.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為3,數(shù)列的前項(xiàng)和為,則的值為(D )二、填空題11、一同學(xué)在電腦中打出如下若干個圈:若將此若干個圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個圈中的的個數(shù)是 14。12若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是 答案:13已知,用數(shù)學(xué)歸納法證明時,等于答案:14. 15.三、解答題16、已知復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位)
3、求解由已知得,設(shè)代人上式得 所以,解得故17. (1)求證:(1); 證明:(1) , ;將此三式相加得2,.(2)已知均為實(shí)數(shù),且,求證:中至少有一個大于0. 證明:(反證法)假設(shè)都不大于0,即,則,因?yàn)榧?,與矛盾,故假設(shè)錯誤,原命題成立.18、設(shè)函數(shù)(12分)(1)如果,點(diǎn)P為曲線上一個動點(diǎn),求以P為切點(diǎn)的切線斜率取得最小值時的切線方程;(2)若時,恒成立,求的取值范圍。解:(1)設(shè)切線斜率為k,則。又。(6分)(1),(2)無解,由(3)解得,綜上所述。 19設(shè)函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù))()判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù),并說明理由;()設(shè)數(shù)列滿足:,且 求證:;比較與的大小解:() 令 當(dāng)時,在上是
4、增函數(shù) 當(dāng)時,在上是減函數(shù) 2分 從而4分 注意到函數(shù)在上是增函數(shù), 從而 從而 綜上可知:有兩個零點(diǎn) 6分()因?yàn)榧?所以 7分 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)時,不等式成立 假設(shè)時, 那么 即 這表明時,不等式成立 所以對, 因?yàn)榭紤]函數(shù) 從而在上是增函數(shù)所以即 20 已知函數(shù)()當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;()若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線的傾斜角為,問:m在什么范圍取值時,對于任意的,函數(shù)在區(qū)間上總存在極值?()當(dāng)時,設(shè)函數(shù),若在區(qū)間上至少存在一個,使得成立,試求實(shí)數(shù)p的取值范圍解()由知: 當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是;()由得到,故, 因?yàn)樵趨^(qū)間上總存在極值,且,所以,解得:,故當(dāng)時,對于任意的,函數(shù)在區(qū)間上總存在極值。 (),令當(dāng)時,由得到所以在上不存在,使得成立; 當(dāng)時,因?yàn)?,所以,在上恒成立,故在上單調(diào)遞增。,由題意可知,解得,所以的取植范圍是。21.已知,設(shè)函數(shù),(I)求函數(shù)的最大值;(II)若是自然對數(shù)的底數(shù),當(dāng)時,是否存在常數(shù)、,使得不等式對于任意的正實(shí)數(shù)都成立?若存在,求出、的值,若不存在,請說明理由解:(I) , (2分)+0-極大值當(dāng)時,函數(shù)取最大值; (4分)(II)當(dāng)時,的最大值是0,即,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號, (6分)函數(shù)和的圖象在處有且僅有一個公共點(diǎn),函數(shù)的圖象在處切線斜率是,函數(shù)
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