理想氣體的壓強與溫度公式

1、玻爾茲曼玻爾茲曼(1844-1906) 從微觀角度研究分子的從微觀角度研究分子的熱運動必須建立理想的微觀熱運動必須建立理想的微觀模型。本章將提出理想氣體模型。本章將提出理想氣體的模型，推導出壓強、溫度的模型，推導出壓強、溫度與微觀量的關系，并介紹麥與微觀量的關系，并介紹麥克斯韋所導出的分子速率分克斯韋所導出的分子速率分布規(guī)律。其中重點是壓強、布規(guī)律。其中重點是壓強、溫度公式，三個速率公式。溫度公式，三個速率公式。 本節(jié)運用統(tǒng)計方法，導出平衡態(tài)下理想氣體的本節(jié)運用統(tǒng)計方法，導出平衡態(tài)下理想氣體的壓強和溫度的統(tǒng)計表述。壓強和溫度的統(tǒng)計表述。分子本身的大小比起它們之間的平均距離可忽略分子本身的大小比

2、起它們之間的平均距離可忽略不計不計。 分子不停地運動，分子間以及與器壁的碰撞是完分子不停地運動，分子間以及與器壁的碰撞是完全彈性的，單個分子運動遵從經(jīng)典力學。全彈性的，單個分子運動遵從經(jīng)典力學。 除碰撞瞬間外除碰撞瞬間外, , 分子之間的作用分子之間的作用, ,重力可忽略不計。重力可忽略不計。分子在容器中的空間分布平均來說是均勻的，分子數(shù)分子在容器中的空間分布平均來說是均勻的，分子數(shù)密度：密度： N 表示容器體積表示容器體積V內(nèi)的分子數(shù)。內(nèi)的分子數(shù)。具有相同速率的分子，向各個方向運動的平均分子數(shù)具有相同速率的分子，向各個方向運動的平均分子數(shù)是相等的：是相等的：VNdVdNn0zyxvvv222

3、xyzvvv統(tǒng)計結果2222zyxvvvv2222iziyixivvvv222231vvvvzyx二、理想氣體的壓強公式二、理想氣體的壓強公式 1l. 正方向oxSzmv11ly 容器中氣體宏觀上施于器壁容器中氣體宏觀上施于器壁的壓強是大量分子對器壁不斷的壓強是大量分子對器壁不斷碰撞的結果。碰撞的結果。 無規(guī)則運動的分子不斷與器壁相碰，對個別分子它與器壁的碰撞是隨機無規(guī)則運動的分子不斷與器壁相碰，對個別分子它與器壁的碰撞是隨機的斷續(xù)的，但對大量分子整體而言，每時刻都有許多分子與器壁相碰，所以的斷續(xù)的，但對大量分子整體而言，每時刻都有許多分子與器壁相碰，所以宏觀上表現(xiàn)為一個恒定的持續(xù)的壓力，就好

4、比雨天打傘，每一滴雨落在何處，宏觀上表現(xiàn)為一個恒定的持續(xù)的壓力，就好比雨天打傘，每一滴雨落在何處，沖量多大都是不同的，但由于雨滴數(shù)眾多，每時刻總有許多雨滴落在傘上，沖量多大都是不同的，但由于雨滴數(shù)眾多，每時刻總有許多雨滴落在傘上，傘面將受到一個持續(xù)的壓力。傘面將受到一個持續(xù)的壓力。tnP 32nkTP VNn 分子數(shù)密度分子數(shù)密度2301038. 1NRk玻爾茲曼常數(shù)玻爾茲曼常數(shù)單個分子的壓單個分子的壓強毫無意義強毫無意義t 如：給自行車打氣增加壓強，如：給自行車打氣增加壓強，從微觀上講是增加了分子數(shù)密從微觀上講是增加了分子數(shù)密度；籃球在太陽底下曬一曬后度；籃球在太陽底下曬一曬后可以鼓起來，從

5、微觀上講是平可以鼓起來，從微觀上講是平動動能增大了。動動能增大了。宏觀量宏觀量p與微觀量與微觀量 之間存在對應關系。之間存在對應關系。 P是宏觀量，平均平動動能是宏觀量，平均平動動能是不可測量的，但據(jù)此得到是不可測量的，但據(jù)此得到的各種結果都與實際相一致。的各種結果都與實際相一致。t 壓強壓強P是統(tǒng)計平均量。是統(tǒng)計平均量。壓強公式不是單純的力學規(guī)壓強公式不是單純的力學規(guī)律，而是統(tǒng)計平均的關系式。律，而是統(tǒng)計平均的關系式。 分子熱運動分子熱運動平均平動動能平均平動動能212tmv揭示了宏觀量揭示了宏觀量 與微觀量與微觀量 之之間的關系。間的關系。tkT23tnkTP kTt23 tnP 321.

6、 溫度的微觀本質(zhì)：溫度的微觀本質(zhì)： 溫度是氣體分子平均平動動能溫度是氣體分子平均平動動能大小的量度；它反映著分子做無規(guī)大小的量度；它反映著分子做無規(guī)則運動的情況。則運動的情況。溫度溫度T是一是一個統(tǒng)計平均量個統(tǒng)計平均量。2. 絕對零度不可能實現(xiàn)絕對零度不可能實現(xiàn)!0?t 對任何氣體對任何氣體只要只要T相等，其相等，其平均平動動能就平均平動動能就一定相等。一定相等。例例1：氣體分子間的平均距離與壓強氣體分子間的平均距離與壓強 p、溫度、溫度T的關系為的關系為 ，在壓強為，在壓強為1atm、溫度為、溫度為00C的情況下，氣體分子間的平均距離？的情況下，氣體分子間的平均距離？ m。（。（ k=1.3

7、810-23 J/K ） 解：解：31)(PkTnkTP 331NNVNn91034. 3 在熱動平衡條件下，氣體分子的運動是雜亂無章的，若在熱動平衡條件下，氣體分子的運動是雜亂無章的，若考慮某一分子在某一時刻的速度大小和方向是隨機偶然的，考慮某一分子在某一時刻的速度大小和方向是隨機偶然的，是不容易也沒有必要去掌握的。但就大量分子的整體，在熱是不容易也沒有必要去掌握的。但就大量分子的整體，在熱平衡時，分子的速率（速度）分布有其統(tǒng)計規(guī)律性。平衡時，分子的速率（速度）分布有其統(tǒng)計規(guī)律性。 理想氣體在熱動平衡狀態(tài)下，各個速率區(qū)間理想氣體在熱動平衡狀態(tài)下，各個速率區(qū)間內(nèi)的分子占總分子數(shù)的百分比的規(guī)律內(nèi)

8、的分子占總分子數(shù)的百分比的規(guī)律速率分速率分布律布律。一、一、Maxwell Maxwell 速率分布函數(shù)速率分布函數(shù)1. 1. 條件：條件：理想氣體在熱動平衡狀態(tài)下，不考慮重力。理想氣體在熱動平衡狀態(tài)下，不考慮重力。6-2 麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律 1859年，年，M Maxwell首先推導出理想首先推導出理想氣體的速率分布函數(shù)氣體的速率分布函數(shù)。 2. 2. 定義定義: : 如果分子速率在如果分子速率在 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比為占總分子數(shù)的百分比為 ，設速率分布函數(shù)為，設速率分布函數(shù)為NN/0( )limvNdNf vNvN dv ,vvv23222( )

9、4 ()2mvKTdNmf vevNdvKT3. 3. 麥克斯韋速率分布函數(shù)：麥克斯韋速率分布函數(shù)：dv寬寬o)(vf)(vf高v( )dNf v dvN即即為概率。為概率。概率對應圖概率對應圖中小矩形的中小矩形的面積面積速率分布函數(shù)快減快增兩者相乘曲線若m、T 給定， 玻耳茲曼常數(shù)，函數(shù)的形式可概括為曲線曲線有單峰，不對稱速率分布曲線速率 恒取正 討論討論 0)( ,0)( ,0vfvvfv滿足歸一化條件滿足歸一化條件： 0( )1f v dv 表示分布在表示分布在 區(qū)間內(nèi)的分子區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)數(shù) 占總分子數(shù)的百分比。占總分子數(shù)的百分比。NNvvf)(vvvvvNfN)(速率在速率在 之間的分

10、子數(shù)之間的分子數(shù) 目目 vv1221)(vvdvvfNNo)(vfvS1 S20vdv0vo)(vfvS1 S20v(v)fvovv12線，小面積，線，小面積，大面積的物大面積的物理意義？理意義？S1=S2時時,大于大于v0的的分子數(shù)分子數(shù)?dv0v三、三種重要的速率三、三種重要的速率 最概然速率最概然速率: :（最可幾速率）（最可幾速率）molPMRTv22.2.平均速率：平均速率：molMRTv 8 3.3.方均根速率：方均根速率：molMRTv3 2o)(vfpv v2vv 附附2 2 三種速率三種速率大小的比較大小的比較2:1.41 :1.60 :1.73pvvvRTMMPVmolmo

11、lmolMRTMRTVMP PMRTmkTmol 附附1 1 變換式變換式231038. 1k最概然速率與此函數(shù)的極大值對應的速率與此函數(shù)的極大值對應的速率 稱為最可幾速率稱為最可幾速率或令即易得因則不同條件比較（或 ）相同相同用進行比較平均速率平均速率平均速率（算術平均速率）（算術平均速率） 根據(jù)某連續(xù)變量 x 的平均值等于該量與概率密度函數(shù)乘積的積分的定義。 在討論氣體分子平均自由程問題時涉及到分子的算術平均速率概念；在討論平均平動動能時涉及到方均根速率概念。麥克斯韋速率分布函數(shù)就是計算此類速率的概率密度函數(shù)?；蛞灿蓄愃谱⒁獾椒骄俾史骄俾史骄俾剩?的統(tǒng)計平均值的開平方）即 作為

12、參與統(tǒng)計平均的連續(xù)變量或也有類似則得回憶 聯(lián)系注意到速率小結大氣的組成大氣的組成 地球形成之初，大氣中應有大量的氫、氦，但很多地球形成之初，大氣中應有大量的氫、氦，但很多 H2 分子和分子和 He 原子的方均根速率超過了地球表面的逃逸速原子的方均根速率超過了地球表面的逃逸速率率 ( 11.2km/s )，故現(xiàn)今地球大氣中已沒有，故現(xiàn)今地球大氣中已沒有大量的大量的氫和氦了。氫和氦了。 但但 N2 和和 O2 分子的方均根速率只有逃逸速率的分子的方均根速率只有逃逸速率的 1/25 ，故地球大氣中有大量的氮氣故地球大氣中有大量的氮氣( 大氣質(zhì)量的大氣質(zhì)量的 76% )和氧氣和氧氣( 大氣質(zhì)量的大氣質(zhì)

13、量的 23% )。 應應 用用氧氣摩爾質(zhì)量3.20 10mol溫度27 C處于平衡態(tài)氣體分子的和27 273 300 （ k ）483 ( m s )394 ( m s )447 ( m s )例例2:在容積為在容積為10-2m3的容器中，裝有質(zhì)量的容器中，裝有質(zhì)量100g的氣體，若氣體分子的方均根速率為的氣體，若氣體分子的方均根速率為200m/s，求氣體的壓強求氣體的壓強?解：解： )(1033. 15PamkTv32222)200(1031 . 03vVMPMPVMRTvmol3322002v例例3：某氣體在溫度為：某氣體在溫度為T=273K時，壓強為時，壓強為p=1.010-2atm，密

14、度，密度 ，求該氣體分子的方均根速率。求該氣體分子的方均根速率。解：解：21024. 13/mkgsm/495PMVPMRTRTMMPVmolmol,PMRTvmol332p=1.0103 Pa例例4：現(xiàn)有兩條氣體分子速率分布曲線（現(xiàn)有兩條氣體分子速率分布曲線（1）和（）和（2），），如圖所示。若兩條曲線分別表示同一種氣體處于不同如圖所示。若兩條曲線分別表示同一種氣體處于不同的溫度下的速率分布，則曲線的溫度下的速率分布，則曲線 （2）表示的溫度較高。表示的溫度較高。若兩條曲線分別表示同一溫度下的氫氣和氧氣的速率若兩條曲線分別表示同一溫度下的氫氣和氧氣的速率分布，則曲線分布，則曲線 （1） 表示的是氧氣的速率分布。表示的是氧氣的速率分布。molPMRTv21Pv2Pv1. 同一氣體同一氣體 一定一定2. 同一溫度同一溫度 不同不同