理想氣體的壓強(qiáng)與溫度公式

1、玻爾茲曼玻爾茲曼(1844-1906) 從微觀角度研究分子的從微觀角度研究分子的熱運(yùn)動(dòng)必須建立理想的微觀熱運(yùn)動(dòng)必須建立理想的微觀模型。本章將提出理想氣體模型。本章將提出理想氣體的模型，推導(dǎo)出壓強(qiáng)、溫度的模型，推導(dǎo)出壓強(qiáng)、溫度與微觀量的關(guān)系，并介紹麥與微觀量的關(guān)系，并介紹麥克斯韋所導(dǎo)出的分子速率分克斯韋所導(dǎo)出的分子速率分布規(guī)律。其中重點(diǎn)是壓強(qiáng)、布規(guī)律。其中重點(diǎn)是壓強(qiáng)、溫度公式，三個(gè)速率公式。溫度公式，三個(gè)速率公式。 本節(jié)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法，導(dǎo)出平衡態(tài)下理想氣體的本節(jié)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法，導(dǎo)出平衡態(tài)下理想氣體的壓強(qiáng)和溫度的統(tǒng)計(jì)表述。壓強(qiáng)和溫度的統(tǒng)計(jì)表述。分子本身的大小比起它們之間的平均距離可忽略分子本身的大小比

2、起它們之間的平均距離可忽略不計(jì)不計(jì)。 分子不停地運(yùn)動(dòng)，分子間以及與器壁的碰撞是完分子不停地運(yùn)動(dòng)，分子間以及與器壁的碰撞是完全彈性的，單個(gè)分子運(yùn)動(dòng)遵從經(jīng)典力學(xué)。全彈性的，單個(gè)分子運(yùn)動(dòng)遵從經(jīng)典力學(xué)。 除碰撞瞬間外除碰撞瞬間外, , 分子之間的作用分子之間的作用, ,重力可忽略不計(jì)。重力可忽略不計(jì)。分子在容器中的空間分布平均來說是均勻的，分子數(shù)分子在容器中的空間分布平均來說是均勻的，分子數(shù)密度：密度： N 表示容器體積表示容器體積V內(nèi)的分子數(shù)。內(nèi)的分子數(shù)。具有相同速率的分子，向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的平均分子數(shù)具有相同速率的分子，向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的平均分子數(shù)是相等的：是相等的：VNdVdNn0zyxvvv222

3、xyzvvv統(tǒng)計(jì)結(jié)果2222zyxvvvv2222iziyixivvvv222231vvvvzyx二、理想氣體的壓強(qiáng)公式二、理想氣體的壓強(qiáng)公式 1l. 正方向oxSzmv11ly 容器中氣體宏觀上施于器壁容器中氣體宏觀上施于器壁的壓強(qiáng)是大量分子對(duì)器壁不斷的壓強(qiáng)是大量分子對(duì)器壁不斷碰撞的結(jié)果。碰撞的結(jié)果。 無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的分子不斷與器壁相碰，對(duì)個(gè)別分子它與器壁的碰撞是隨機(jī)無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的分子不斷與器壁相碰，對(duì)個(gè)別分子它與器壁的碰撞是隨機(jī)的斷續(xù)的，但對(duì)大量分子整體而言，每時(shí)刻都有許多分子與器壁相碰，所以的斷續(xù)的，但對(duì)大量分子整體而言，每時(shí)刻都有許多分子與器壁相碰，所以宏觀上表現(xiàn)為一個(gè)恒定的持續(xù)的壓力，就好

4、比雨天打傘，每一滴雨落在何處，宏觀上表現(xiàn)為一個(gè)恒定的持續(xù)的壓力，就好比雨天打傘，每一滴雨落在何處，沖量多大都是不同的，但由于雨滴數(shù)眾多，每時(shí)刻總有許多雨滴落在傘上，沖量多大都是不同的，但由于雨滴數(shù)眾多，每時(shí)刻總有許多雨滴落在傘上，傘面將受到一個(gè)持續(xù)的壓力。傘面將受到一個(gè)持續(xù)的壓力。tnP 32nkTP VNn 分子數(shù)密度分子數(shù)密度2301038. 1NRk玻爾茲曼常數(shù)玻爾茲曼常數(shù)單個(gè)分子的壓?jiǎn)蝹€(gè)分子的壓強(qiáng)毫無意義強(qiáng)毫無意義t 如：給自行車打氣增加壓強(qiáng)，如：給自行車打氣增加壓強(qiáng)，從微觀上講是增加了分子數(shù)密從微觀上講是增加了分子數(shù)密度；籃球在太陽底下曬一曬后度；籃球在太陽底下曬一曬后可以鼓起來，從

5、微觀上講是平可以鼓起來，從微觀上講是平動(dòng)動(dòng)能增大了。動(dòng)動(dòng)能增大了。宏觀量宏觀量p與微觀量與微觀量 之間存在對(duì)應(yīng)關(guān)系。之間存在對(duì)應(yīng)關(guān)系。 P是宏觀量，平均平動(dòng)動(dòng)能是宏觀量，平均平動(dòng)動(dòng)能是不可測(cè)量的，但據(jù)此得到是不可測(cè)量的，但據(jù)此得到的各種結(jié)果都與實(shí)際相一致。的各種結(jié)果都與實(shí)際相一致。t 壓強(qiáng)壓強(qiáng)P是統(tǒng)計(jì)平均量。是統(tǒng)計(jì)平均量。壓強(qiáng)公式不是單純的力學(xué)規(guī)壓強(qiáng)公式不是單純的力學(xué)規(guī)律，而是統(tǒng)計(jì)平均的關(guān)系式。律，而是統(tǒng)計(jì)平均的關(guān)系式。 分子熱運(yùn)動(dòng)分子熱運(yùn)動(dòng)平均平動(dòng)動(dòng)能平均平動(dòng)動(dòng)能212tmv揭示了宏觀量揭示了宏觀量 與微觀量與微觀量 之之間的關(guān)系。間的關(guān)系。tkT23tnkTP kTt23 tnP 321.

6、 溫度的微觀本質(zhì)：溫度的微觀本質(zhì)： 溫度是氣體分子平均平動(dòng)動(dòng)能溫度是氣體分子平均平動(dòng)動(dòng)能大小的量度；它反映著分子做無規(guī)大小的量度；它反映著分子做無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的情況。則運(yùn)動(dòng)的情況。溫度溫度T是一是一個(gè)統(tǒng)計(jì)平均量個(gè)統(tǒng)計(jì)平均量。2. 絕對(duì)零度不可能實(shí)現(xiàn)絕對(duì)零度不可能實(shí)現(xiàn)!0?t 對(duì)任何氣體對(duì)任何氣體只要只要T相等，其相等，其平均平動(dòng)動(dòng)能就平均平動(dòng)動(dòng)能就一定相等。一定相等。例例1：氣體分子間的平均距離與壓強(qiáng)氣體分子間的平均距離與壓強(qiáng) p、溫度、溫度T的關(guān)系為的關(guān)系為 ，在壓強(qiáng)為，在壓強(qiáng)為1atm、溫度為、溫度為00C的情況下，氣體分子間的平均距離？的情況下，氣體分子間的平均距離？ m。（。（ k=1.3

7、810-23 J/K ） 解：解：31)(PkTnkTP 331NNVNn91034. 3 在熱動(dòng)平衡條件下，氣體分子的運(yùn)動(dòng)是雜亂無章的，若在熱動(dòng)平衡條件下，氣體分子的運(yùn)動(dòng)是雜亂無章的，若考慮某一分子在某一時(shí)刻的速度大小和方向是隨機(jī)偶然的，考慮某一分子在某一時(shí)刻的速度大小和方向是隨機(jī)偶然的，是不容易也沒有必要去掌握的。但就大量分子的整體，在熱是不容易也沒有必要去掌握的。但就大量分子的整體，在熱平衡時(shí)，分子的速率（速度）分布有其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。平衡時(shí)，分子的速率（速度）分布有其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 理想氣體在熱動(dòng)平衡狀態(tài)下，各個(gè)速率區(qū)間理想氣體在熱動(dòng)平衡狀態(tài)下，各個(gè)速率區(qū)間內(nèi)的分子占總分子數(shù)的百分比的規(guī)律內(nèi)

8、的分子占總分子數(shù)的百分比的規(guī)律速率分速率分布律布律。一、一、Maxwell Maxwell 速率分布函數(shù)速率分布函數(shù)1. 1. 條件：條件：理想氣體在熱動(dòng)平衡狀態(tài)下，不考慮重力。理想氣體在熱動(dòng)平衡狀態(tài)下，不考慮重力。6-2 麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律 1859年，年，M Maxwell首先推導(dǎo)出理想首先推導(dǎo)出理想氣體的速率分布函數(shù)氣體的速率分布函數(shù)。 2. 2. 定義定義: : 如果分子速率在如果分子速率在 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比為占總分子數(shù)的百分比為 ，設(shè)速率分布函數(shù)為，設(shè)速率分布函數(shù)為NN/0( )limvNdNf vNvN dv ,vvv23222( )

9、4 ()2mvKTdNmf vevNdvKT3. 3. 麥克斯韋速率分布函數(shù)：麥克斯韋速率分布函數(shù)：dv寬寬o)(vf)(vf高v( )dNf v dvN即即為概率。為概率。概率對(duì)應(yīng)圖概率對(duì)應(yīng)圖中小矩形的中小矩形的面積面積速率分布函數(shù)快減快增兩者相乘曲線若m、T 給定， 玻耳茲曼常數(shù)，函數(shù)的形式可概括為曲線曲線有單峰，不對(duì)稱速率分布曲線速率 恒取正 討論討論 0)( ,0)( ,0vfvvfv滿足歸一化條件滿足歸一化條件： 0( )1f v dv 表示分布在表示分布在 區(qū)間內(nèi)的分子區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)數(shù) 占總分子數(shù)的百分比。占總分子數(shù)的百分比。NNvvf)(vvvvvNfN)(速率在速率在 之間的分

10、子數(shù)之間的分子數(shù) 目目 vv1221)(vvdvvfNNo)(vfvS1 S20vdv0vo)(vfvS1 S20v(v)fvovv12線，小面積，線，小面積，大面積的物大面積的物理意義？理意義？S1=S2時(shí)時(shí),大于大于v0的的分子數(shù)分子數(shù)?dv0v三、三種重要的速率三、三種重要的速率 最概然速率最概然速率: :（最可幾速率）（最可幾速率）molPMRTv22.2.平均速率：平均速率：molMRTv 8 3.3.方均根速率：方均根速率：molMRTv3 2o)(vfpv v2vv 附附2 2 三種速率三種速率大小的比較大小的比較2:1.41 :1.60 :1.73pvvvRTMMPVmolmo

11、lmolMRTMRTVMP PMRTmkTmol 附附1 1 變換式變換式231038. 1k最概然速率與此函數(shù)的極大值對(duì)應(yīng)的速率與此函數(shù)的極大值對(duì)應(yīng)的速率 稱為最可幾速率稱為最可幾速率或令即易得因則不同條件比較（或 ）相同相同用進(jìn)行比較平均速率平均速率平均速率（算術(shù)平均速率）（算術(shù)平均速率） 根據(jù)某連續(xù)變量 x 的平均值等于該量與概率密度函數(shù)乘積的積分的定義。 在討論氣體分子平均自由程問題時(shí)涉及到分子的算術(shù)平均速率概念；在討論平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)涉及到方均根速率概念。麥克斯韋速率分布函數(shù)就是計(jì)算此類速率的概率密度函數(shù)?；蛞灿蓄愃谱⒁獾椒骄俾史骄俾史骄俾剩?的統(tǒng)計(jì)平均值的開平方）即 作為

12、參與統(tǒng)計(jì)平均的連續(xù)變量或也有類似則得回憶 聯(lián)系注意到速率小結(jié)大氣的組成大氣的組成 地球形成之初，大氣中應(yīng)有大量的氫、氦，但很多地球形成之初，大氣中應(yīng)有大量的氫、氦，但很多 H2 分子和分子和 He 原子的方均根速率超過了地球表面的逃逸速原子的方均根速率超過了地球表面的逃逸速率率 ( 11.2km/s )，故現(xiàn)今地球大氣中已沒有，故現(xiàn)今地球大氣中已沒有大量的大量的氫和氦了。氫和氦了。 但但 N2 和和 O2 分子的方均根速率只有逃逸速率的分子的方均根速率只有逃逸速率的 1/25 ，故地球大氣中有大量的氮?dú)夤实厍虼髿庵杏写罅康牡獨(dú)? 大氣質(zhì)量的大氣質(zhì)量的 76% )和氧氣和氧氣( 大氣質(zhì)量的大氣質(zhì)

13、量的 23% )。 應(yīng)應(yīng) 用用氧氣摩爾質(zhì)量3.20 10mol溫度27 C處于平衡態(tài)氣體分子的和27 273 300 （ k ）483 ( m s )394 ( m s )447 ( m s )例例2:在容積為在容積為10-2m3的容器中，裝有質(zhì)量的容器中，裝有質(zhì)量100g的氣體，若氣體分子的方均根速率為的氣體，若氣體分子的方均根速率為200m/s，求氣體的壓強(qiáng)求氣體的壓強(qiáng)?解：解： )(1033. 15PamkTv32222)200(1031 . 03vVMPMPVMRTvmol3322002v例例3：某氣體在溫度為：某氣體在溫度為T=273K時(shí)，壓強(qiáng)為時(shí)，壓強(qiáng)為p=1.010-2atm，密

14、度，密度 ，求該氣體分子的方均根速率。求該氣體分子的方均根速率。解：解：21024. 13/mkgsm/495PMVPMRTRTMMPVmolmol,PMRTvmol332p=1.0103 Pa例例4：現(xiàn)有兩條氣體分子速率分布曲線（現(xiàn)有兩條氣體分子速率分布曲線（1）和（）和（2），），如圖所示。若兩條曲線分別表示同一種氣體處于不同如圖所示。若兩條曲線分別表示同一種氣體處于不同的溫度下的速率分布，則曲線的溫度下的速率分布，則曲線 （2）表示的溫度較高。表示的溫度較高。若兩條曲線分別表示同一溫度下的氫氣和氧氣的速率若兩條曲線分別表示同一溫度下的氫氣和氧氣的速率分布，則曲線分布，則曲線 （1） 表示的是氧氣的速率分布。表示的是氧氣的速率分布。molPMRTv21Pv2Pv1. 同一氣體同一氣體 一定一定2. 同一溫度同一溫度 不同不同