【高考數(shù)學(xué)秘籍】等差數(shù)列的概念及基本運算

1、設(shè)自上至下各節(jié)的容積依次為a1, a2,，an.a1+ a2+ a3+ a4= 3,依題意有叫、a7+ a8+ ag= 4,3故由得 a2+ a3= 2，由得 a8=故 a2+ a3+ a8= 2+ 443.9+8 =場升)6+66(升)4. (2015 北京卷)設(shè)an是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是(C)A .若 a1+ a20，貝 U a2+ a30B .若 a1+ a30，貝 y a1+ a20C.若 0a1 . a1a3D .若 a10因為an是等差數(shù)列，所以 2a2= a1+ a3,當(dāng) a2a10 時，得公差 d0，所以 a30, 所以 a1+ a32 , a1a3, 所以 2a22

2、. a1a3.5.(2018 華大新高考聯(lián)盟教學(xué)質(zhì)量測評)設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項和 Si 滿足 S2016 S1= 1,貝VS2017=20172015第 36 講等差數(shù)列的概念及基本運算丼圾1.(2016 福州市畢業(yè)班質(zhì)量檢查)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且 a7 2a4= 6,出=2,則 公差d= (B)A . 2 2 B . 4C. 8 D. 16因為 a7 2a4= a7 (ai+ a7)= ai= 6，所以 ai= 6.a3一 ai2 f 6 又 a3= 2，所以公差 d= 4.3 122.已知正項數(shù)列 an中，a1= 1, a2= 2,2a= a*+1+ a：*n2)，則 a6等于

3、(D)A. 16 B. 8C. 2 2 D. 433 由 2ai；= a：+1+ a21可知數(shù)列a是等差數(shù)列，且首項為 ai= 1,公差 d= a； af= 41 = 3.所以a：的通項 an= 1 + 3(n 1) = 3n 2,所以 an= ”3n 2.所以 a6=寸 3X6 2 = 4.3. (2017 湖南長沙高三模擬一)九章算術(shù)是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，全書收集了 246 個問題及其解法，其中一個問題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差 數(shù)列，上面四節(jié)容積之和為3 升，下面少？”該問題中的第 2 節(jié)、第 3 節(jié)和第A.”升 B.7 升6 2。罟升333 節(jié)的容積之和為 4

4、 升，求中間兩節(jié)的容積各為多8 節(jié)竹子的容積之和為(A)C.12015，a1+a2017_2017從而 S2017= 2017(2) = 2017a1009=亦石6.(2015 新課標(biāo)卷n)設(shè) Sn是數(shù)列a*的前 n 項和，且 a1= 1 a*+1= SnSn+1,則 Sh=1n顯由已知得 an+1=Sn+1Sn= 5+1Sn,1 1兩邊同除以 Sri+1Sn,得 W = 1 , Sn+1Sn11所以 1 = 1 (n 1) = n,所以 Sn= -.Sin7. (2013 新課標(biāo)卷n)已知等差數(shù)列an的公差不為零, 數(shù)列.(1) 求an的通項公式；(2) 求 a1+ a4+ a7+ a3n2

5、.S3 (1)設(shè)an的公差為 d,由題意得 a?1= a1a13,2即(a1+ 10d) = a1(a1+ 12d)，于是 d(2a1+ 25d) = 0,又 a1= 25,所以 d = 0（舍去）或 d= 2.a2+ a2oi6因為S2016 Si= a2+ a3+ + a2oi6= 2015()=2O15a1oo9= 1,所以a1009=1 為首項，一 1 為公差的等差數(shù)列,a1= 25,且 a1, an, 成等比故數(shù)列故 an= 2n+ 27.(2)令 Sn= a1+ a4+ a7+ + a3n2, 由(1)知 a3n2= 6n+ 31,故a3n2是首項為 25,公差為6 的等差數(shù)列.n

6、n從而 Sn= 2(a1+ a3n2) = 2( 6n + 56)2=3n + 28n.客級8. (2016 鄭州市二模)設(shè)數(shù)列an滿足：a1=1,a2= 3,且2nan=(n1)an-1+(n+1)an+1, 則 a20的值是(D)12A.45 B.4534C.45 D.45由 2nan= (n 1)an1+ (n+ 1)an+1,得 nan (n 1)an1= (n+ 1)an+1 nan,又因為 1xa1= 1,2xa2 1xa1= 5,所以數(shù)列nan為首項為 1,公差為 5 的等差數(shù)列，24則 20a20= 1 + 19x5= 96,解得 a2o=.59.數(shù)列an是等差數(shù)列，且 a1+

7、 a2+ aw= 10, an + a12+ + a2o= 20,貝 V a41+ a42+ + a5o=50因為 Ai= S10,A= S20 Sio, A3= S30 S20,，數(shù)列An構(gòu)成等差數(shù)列，其中Al=S10= 10,公差 d= 10,所以 a4i+ a42+ a50= A5= Ai+ (5 1)xd=10+4X10=50.10.已知數(shù)列an中，a1= 5 且 an= 2環(huán)-1+ 2n 1(n2 且 n N). an 11(1)求證數(shù)列一廠 為等差數(shù)列；求數(shù)列an的通項公式.區(qū)3(1)(方法一：構(gòu)造法)因為 a1= 5 且 an= 2an1+2 1,所以當(dāng) n2 時，an 1 = 2(an1 1) + 2 ,an 1 an1 1所以= 7T + 1,所以 v22- 2（方法二：代入法）因為 a1= 5, n 2 時,an 1 |a1 1所以 r 是以 =2 為首項，以 1 為公差的等差數(shù)列. I. 2 .2an1(2)由(1)知一 = 2 + (n 1)