2010年全國高考文科數(shù)學(xué)試題及答案-全國1

1、2010 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷）文科數(shù)學(xué)(必修+選修) 本試卷分第 I 卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分。第 I 卷 1 至 2 頁。第卷 3 至 4 頁。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第第 I I 卷卷注意事項(xiàng)：1答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，并貼好條形碼。請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目。2每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，在試題卷上作答無效。 3第 I 卷共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出

2、的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。參考公式：參考公式：如果事件互斥，那么 球的表面積公式A、B ()( )( )P ABP AP B24SR如果事件相互獨(dú)立，那么 其中 R 表示球的半徑A、B 球的體積公式()( )( )P A BP A P B如果事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么 p334VR次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率 其中 R 表示球的半徑nAk( )(1)(0,1,2,)kkn knnP kC ppkn一、選擇題一、選擇題(1)cos300 (A) (B)- (C) (D) 321212321.C【命題意圖】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、特殊三角函數(shù)值等三角函數(shù)知識【解

3、析】1cos300cos 36060cos602 (2)設(shè)全集，集合，則1,2,3,4,5U 1,4M 1,3,5N UNMA. B. C. D. 1,3 1,5 3,54,52.C【命題意圖】本小題主要考查集合的概念、集合運(yùn)算等集合有關(guān)知識【解析】，則=2,3,5UM 1,3,5N UNM1,3,52,3,5 3,5(3)若變量滿足約束條件則的最大值為, x y1,0,20,yxyxy2zxy(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命題意圖】本小題主要考查線性規(guī)劃知識、作圖、識圖能力及計(jì)算能力.【解析】畫出可行域（如右圖） ，由圖可知,當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)11222zxyyxzA(1,-1

4、)時，z 最大，且最大值為.max1 2 ( 1)3z （4）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，=5，=10，則=na123a a a789a a a456a a a(A) (B) 7 (C) 6 (D) 5 24 24.A【命題意圖】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化等知識，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想. 【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，31231322()5a a aa aaa10,所以,37897988()a a aa aaa132850a a 所以13336456465528()()(50 )5 2a a aa aaaa a(5)的展開式的系數(shù)是43(1) (1)x

5、x2x(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)35.A. 【命題意圖】本小題主要考查了考生對二項(xiàng)式定理的掌握情況，尤其是展開式的通項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用，以及能否區(qū)分展開式中項(xiàng)的系數(shù)與其二項(xiàng)式系數(shù)，同時也考查了考生的一些基本運(yùn)算能力.【解析】134323422(1) (1)1 4641 33xxxxxxxxx0 xy1Oyxy20 xyxA0:20lxyL022A的系數(shù)是 -12+6=-62x(6)直三棱柱中，若，則異面直線111ABCA BC90BAC1ABACAA與所成的角等于1BA1AC(A)30 (B)45(C)60 (D)906.C【命題意圖】本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、異面直線所成的角

6、、異111ABCA BC面直線所成的角的求法. 【解析】延長 CA 到 D，使得，則為平行四邊形，就是異面直ADAC11ADAC1DAB線與所成的角，又三角形為等邊三角形，1BA1AC1ADB0160DAB(7)已知函數(shù).若且，則的取值范圍是( ) | lg|f xxab( )( )f af bab(A) (B)(C) (D) (1,)1,)(2,)2,)7.C【命題意圖】本小題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域，考生在做本小題時極易忽視 a 的取值范圍，而利用均值不等式求得 a+b=,從而錯選 D,這也12aa是命題者的用苦良心之處.【解析 1】因?yàn)?f(a)=f(b),所以|

7、lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或，所以 a+b=1ba1aa又 0ab,所以 0a1f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范圍是(2,+).【解析 2】由 0ab,且f(a)=f(b)得：，利用線性規(guī)劃得：，化為求0111abab0111xyxy的取值范圍問題，過點(diǎn)zxyzxyyxz 2111yyxx 時 z 最小為 2,(C) 1,1(2,)（8）已知、為雙曲線 C:的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在 C 上，=，1F2F221xy1FP2F060則12| |PFPF ABCDA1B1C1D1O(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 88.B【命題意圖】本小題主要考查雙曲線定義、幾何性

8、質(zhì)、余弦定理，考查轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過本題可以有效地考查考生的綜合運(yùn)用能力及運(yùn)算能力.【解析 1】.由余弦定理得cosP=1F2F222121212|2|PFPFFFPFPF22221212121201212222 221cos60222PF PFPFPFPF PFFFPF PFPF PF412| |PFPF 【解析 2】由焦點(diǎn)三角形面積公式得：120220121260113cot1 cot3sin6022222F PFSbPF PFPF PF412| |PFPF （9）正方體-中，與平面所成角的余弦值為ABCD1111ABC D1BB1ACD（A） （B） （C） （D）233323639.

9、D 【命題意圖】本小題主要考查正方體的性質(zhì)、直線與平面所成的角、點(diǎn)到平面的距離的求法，利用等體積轉(zhuǎn)化求出 D 到平面 AC的距離是解決本題的關(guān)鍵所在,這也是轉(zhuǎn)化思1D想的具體體現(xiàn).【解析 1】因?yàn)?BB1/DD1,所以B與平面 AC所成角和DD1與1B1D平面 AC所成角相等,設(shè) DO平面AC，由等體積法得1D1D,即.設(shè) DD1=a,11D ACDDACDVV111133ACDACDSDOSDD則,12211133sin60( 2 )2222ACDSAC ADaa.21122ACDSAD CDa所以,記 DD1與平面 AC所成角為,則1312333ACDACDSDDaDOaSa1D,所以.1

10、3sin3DODD6cos3【解析 2】設(shè)上下底面的中心分別為；與平面AC所成角就是B與平面AC1,OO1O O1D1B所成角，1D111136cos1/32OOOODOD（10）設(shè)則123log 2,ln2,5abc（A）（B） (C) (D) abcbcacabcba10.C 【命題意圖】本小題以指數(shù)、對數(shù)為載體，主要考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、實(shí)數(shù)大小的比較、換底公式、不等式中的倒數(shù)法則的應(yīng)用.【解析 1】 a=2=, b=In2=,而,所以 ab,3log21log 321log e22log 3log1ec=,而,所以 ca,綜上 cab.125152252log 4log 3【解

11、析 2】a=2=,b=ln2=, ，； 3log321log21loge3221loglog2e32211112loglogec=，cab121115254（11）已知圓的半徑為 1，PA、PB 為該圓的兩條切線，A、B 為兩切點(diǎn)，那么的OPA PB 最小值為(A) (B) (C) (D)42 32 42 2 32 2 11.D【命題意圖】本小題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算與圓的切線長定理，著重考查最值的求法判別式法,同時也考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解題的能力及運(yùn)算能力.【解析 1】如圖所示：設(shè) PA=PB=,APO=,則x(0)x APB=，PO=，221x21sin1x=| |cos2PA P

12、BPAPB 22(1 2sin)x=，令，則，222(1)1xxx4221xxxPA PBy 4221xxyx即，由是實(shí)數(shù)，所以42(1)0 xy xy2x，解得或.2 (1)4 1 ()0yy 2610yy 32 2y 32 2y PABO故.此時.min()32 2PA PB 21x 【解析 2】設(shè)，,0APB2cos1/tancos2PA PBPAPB 換元：，2222221 sin1 2sincos2221 2sin2sinsin222sin,012xx11 21232 23xxPA PBxxx 【解析 3】建系：園的方程為221xy，設(shè)，11110( ,), ( ,), (,0)A

13、x yB xyP x 2211101110110,001AOPAx yxxyxx xyx x222222221100110110221232 23PA PBxx xxyxxxxx （12）已知在半徑為 2 的球面上有 A、B、C、D 四點(diǎn)，若 AB=CD=2,則四面體 ABCD 的體積的最大值為(A) (B) (C) (D) 2 334 332 38 3312.B【命題意圖】本小題主要考查幾何體的體積的計(jì)算、球的性質(zhì)、異面直線的距離,通過球這個載體考查考生的空間想象能力及推理運(yùn)算能力.【解析】過 CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD,交 AB 與 P,設(shè)點(diǎn) P 到 CD 的距離為,則有h

14、,當(dāng)直徑通過 AB 與 CD 的中點(diǎn)時,故ABCD11222323Vhh 四面體22max2 212 3h.max4 33V第第卷卷注意事項(xiàng)： 1答題前，考生先在答題卡上用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考 證號填寫清楚，然后貼好條形碼。請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目。 22210110111001,2PA PBxxyxxyxx xxy 2第卷共 2 頁，請用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域 內(nèi)作答，在試題卷上作答無效。 3.第卷共 10 小題，共 90 分。二填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分把答案填在題中橫線上 (注意

15、：在試題卷上作答無效) (13)不等式的解集是 .22032xxx13. 【命題意圖】本小題主要考查不等式及其解法21,2xxx 或【解析】: ，數(shù)軸標(biāo)根22032xxx20221021xxxxxx得：21,2xxx 或(14)已知為第二象限的角，,則 .3sin5a tan214.【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)值符號的判斷、同角三角函數(shù)關(guān)系、和角247的正切公式,同時考查了基本運(yùn)算能力及等價變換的解題技能.【解析】因?yàn)闉榈诙笙薜慕?又, 所以，,3sin54cos5 sin3tancos4 所22tan24tan(2 )1tan7 (15)某學(xué)校開設(shè) A 類選修課 3 門，B 類選修課

16、 4 門，一位同學(xué)從中共選 3 門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有 種.(用數(shù)字作答)15. A【命題意圖】本小題主要考查分類計(jì)數(shù)原理、組合知識,以及分類討論的數(shù)學(xué)思想.【解析 1】:可分以下 2 種情況:(1)A 類選修課選 1 門,B 類選修課選 2 門,有種不同的選法;(2)A 類選修課選 2 門,B 類選修課選 1 門,有種不1234C C2134C C同的選法.所以不同的選法共有+種.1234C C213418 1230C C 【解析 2】: 33373430CCC(16)已知是橢圓的一個焦點(diǎn)，是短軸的一個端點(diǎn)，線段的延長線交于點(diǎn)， FCBBFCD且，則的離心率為 .

17、BF2FDuu ruurC16. 【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識，33考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想,本題凸顯解析幾何的特點(diǎn)：“數(shù)研究形，形助數(shù)” ，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡化問題的捷徑.【解析 1】如圖，,22|BFbca作軸于點(diǎn) D1,則由，得1DDyBF2FDuu ruur,所以,1|2|3OFBFDDBD133|22DDOFc即,由橢圓的第二定義得32Dcx 2233|()22accFDeaca又由,得| 2|BFFD232,caaa33e【解析 2】設(shè)橢圓方程為第一標(biāo)準(zhǔn)形式，設(shè)，F(xiàn) 分 BD 所成的比為22221xyab22,D xy2，代入222

18、23022333 0;122212222ccccybxbybbxxxc yy ，222291144cbab33e三解答題：本大題共 6 小題，共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟（17） （本小題滿分 10 分）(注意：在試題卷上作答無效)記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，且成等比數(shù)列，求. nannS312S 1232 ,1a a a nS(18)(本小題滿分 12 分)(注意：在試題卷上作答無效) 已知的內(nèi)角，及其對邊，滿足，求內(nèi)ABCVABabcotcotabaAbB角C(19)(本小題滿分 12 分)（注意：在試題卷上作答無效注意：在試題卷上作答無效) 投到某雜志的稿件，先由兩位

19、初審專家進(jìn)行評審若能通過兩位初審專家的評審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評審，則再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過復(fù)審專家的評審，則予以錄用，否則不予錄xOyBF1DD用設(shè)稿件能通過各初審專家評審的概率均為 0.5，復(fù)審的稿件能通過評審的概率為 0.3各專家獨(dú)立評審 (I)求投到該雜志的 1 篇稿件被錄用的概率； (II)求投到該雜志的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被錄用的概率 （20） （本小題滿分 12 分） （注意：在試題卷上作答無效）（注意：在試題卷上作答無效）如圖，四棱錐 S-ABCD 中，SD底面 ABCD，AB/DC，ADDC，AB=A

20、D=1，DC=SD=2，E為棱 SB 上的一點(diǎn)，平面 EDC平面 SBC .（）證明：SE=2EB；（）求二面角 A-DE-C 的大小 .（21）(本小題滿分 12 分)（注意：在試題卷上作答無效）（注意：在試題卷上作答無效）已知函數(shù)42( )32(31)4f xaxaxx（I）當(dāng)時，求的極值;16a ( )f x（II）若在上是增函數(shù)，求的取值范圍( )f x1,1a(22)(本小題滿分 12 分)（注意：在試題卷上作答無效）（注意：在試題卷上作答無效）已知拋物線的焦點(diǎn)為 F，過點(diǎn)的直線 與相交于、兩點(diǎn)，2:4C yx( 1,0)K lCAB點(diǎn) A 關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為 D .x（）證明：點(diǎn)在直

21、線上；FBD（）設(shè)，求的內(nèi)切圓的方程 .89FA FB BDKM三，解答題：接答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。(17) 解：（1）由am=a1+（n-1）d 及 a1=5，aw=9 得a1+2d=5a1+9d=-9解得a1=9d=-2數(shù)列am的通項(xiàng)公式為 an=11-2n。因?yàn)?Sm=(n-5)2+25.所以 n=5 時, Sm 取得最大值。（18）解：（1）因?yàn)?PH 是四棱錐 P-ABCD 的高。所以 ACPH 又 ACBD,PH,BD 都在平面 PHD 內(nèi),且 PHBD=H.所以 AC平面 PBD故平面 PAC 平面 PBD(2)由（1）知 Sm=na1+d=10n-n2n(n -

22、 1)2 (2)因?yàn)?ABCD 為等腰梯形，AB CD,ACBD,AB=.6 所以 HA=HB=. 因?yàn)锳PB=ADR=600 3所以 PA=PB=,HD=HC=1.6 可得 PH=.3 等腰梯形 ABCD 的面積為 S=AC x BD = 2+. .9 分123 所以四棱錐的體積為 V=x（2+）x= .12 分133332 33（19）解：（1）調(diào)查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供幫助,因此該地區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估計(jì)值為. 4 分7014%500(2) 22500 (40 27030 160)9.967200 300 70 430k由于所以有 99%的把握認(rèn)

23、為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與9.9676.635性別有關(guān). 8 分（3）由于（2）的結(jié)論知，該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異,因此在調(diào)查時,先確定該地區(qū)老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡單反隨即抽樣方法更好. 12 分（20）解：（1）由橢圓定義知22F+F A A 又2 AB = AFFAB得L 的方程式為 y=x+c,其中 c= (2)1 - b2設(shè) A,(x1,y1),B(x1,y1)則 A,B 兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組y=x+cx2+=1y2b2化簡得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0則 x1+x2=.x1x2=- 2c1 + b21 - 2b21 + b2 （2） 即 .21423xx則解得 .224212122 22284(1)4(1 2)8()49(1)11bbbxxx xbbb22b （21）解：（）時，。12a 21( )(1)2xf xx