初中數(shù)學(xué)《最短路徑問(wèn)題》（課堂PPT）

1、1八年級(jí)八年級(jí) 上冊(cè)上冊(cè)13.4 課題學(xué)習(xí)課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題最短路徑問(wèn)題2課件說(shuō)明課件說(shuō)明 本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題“將軍飲將軍飲 馬問(wèn)題馬問(wèn)題”為載體開(kāi)展對(duì)為載體開(kāi)展對(duì)“最短路徑問(wèn)題最短路徑問(wèn)題”的課題研的課題研 究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最 小問(wèn)題，再利用軸對(duì)稱(chēng)將線段和最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為小問(wèn)題，再利用軸對(duì)稱(chēng)將線段和最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 “兩點(diǎn)之間，線段最短兩點(diǎn)之間，線段最短”（或（或“三角形兩邊之和大三角形兩邊之和大 于第三邊于第三邊”）問(wèn)題）問(wèn)題 3 學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)習(xí)目標(biāo)： 能利用軸對(duì)稱(chēng)解決簡(jiǎn)單的最短

2、路徑問(wèn)題，體會(huì)圖形能利用軸對(duì)稱(chēng)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題，體會(huì)圖形 的變化在解決最值問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想的變化在解決最值問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：學(xué)習(xí)重點(diǎn)： 利用軸對(duì)稱(chēng)將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用軸對(duì)稱(chēng)將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線兩點(diǎn)之間，線 段最短段最短”問(wèn)題問(wèn)題 課件說(shuō)明課件說(shuō)明4引言：引言： 前面我們研究過(guò)一些關(guān)于前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線兩點(diǎn)的所有連線中，線 段最短段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短中，垂線段最短”等的問(wèn)題，我們稱(chēng)它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn)等的問(wèn)題，我們稱(chēng)它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn) 題現(xiàn)實(shí)生活

3、中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問(wèn)題，本節(jié)題現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問(wèn)題，本節(jié) 將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問(wèn)題將軍飲馬問(wèn)題” 引入新知引入新知5問(wèn)題問(wèn)題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專(zhuān)程拜訪負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專(zhuān)程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：從圖中的從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然飲馬，然后到后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程地到河邊什么地方飲馬可

4、使他所走的路線全程最短？最短？探索新知探索新知BAl6精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱(chēng)的精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱(chēng)的 知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱(chēng)為知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱(chēng)為“將軍飲馬將軍飲馬 問(wèn)題問(wèn)題”你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？ 探索新知探索新知BAl7追問(wèn)追問(wèn)1這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？ 將將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象為一條直抽象為一條直 線線 探索新知探索新知BAl8（1）從）從A 地出發(fā)，到河邊地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到飲馬

5、，然后到B 地；地； （2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與A， B 連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A 地地 到飲馬地點(diǎn)，再回到到飲馬地點(diǎn)，再回到B 地的路程之和；地的路程之和； 探索新知探索新知追問(wèn)追問(wèn)2你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？ 9探索新知探索新知追問(wèn)追問(wèn)2你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？ （3）現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使

6、兩條線段長(zhǎng)度之和為最）現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最 短的直線短的直線l上的點(diǎn)設(shè)上的點(diǎn)設(shè)C 為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上 面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C 在在l 的什么位置時(shí)，的什么位置時(shí)， AC 與與CB 的和最?。ㄈ鐖D）的和最?。ㄈ鐖D） BAlC10追問(wèn)追問(wèn)1對(duì)于問(wèn)題對(duì)于問(wèn)題2，如何，如何將點(diǎn)將點(diǎn)B“移移”到到l 的另一側(cè)的另一側(cè)B處，滿足直線處，滿足直線l 上的任意一點(diǎn)上的任意一點(diǎn)C，都保持，都保持CB 與與CB的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度相等？相等？ 探索新知探索新知問(wèn)題問(wèn)題2 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A，B 在直線在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)的同側(cè)，點(diǎn)C 是直是直 線上的

7、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在在l 的什么位置時(shí)，的什么位置時(shí)，AC 與與CB 的和最??？的和最??？ BlA11追問(wèn)追問(wèn)2你能利用軸對(duì)稱(chēng)的你能利用軸對(duì)稱(chēng)的有關(guān)知識(shí)，找到上問(wèn)中符合條有關(guān)知識(shí)，找到上問(wèn)中符合條件的點(diǎn)件的點(diǎn)B嗎？嗎？ 探索新知探索新知問(wèn)題問(wèn)題2 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A，B 在直線在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)的同側(cè)，點(diǎn)C 是直是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在在l 的什么位置時(shí)，的什么位置時(shí)，AC 與與CB的和最??？的和最??？ BlA12作法：作法：（1）作點(diǎn)）作點(diǎn)B 關(guān)于直線關(guān)于直線l 的對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng) 點(diǎn)點(diǎn)B；（2）連接）連接AB，與直線，與直線l 相交相交 于點(diǎn)于點(diǎn)C

8、 則點(diǎn)則點(diǎn)C 即為所求即為所求 探索新知探索新知問(wèn)題問(wèn)題2 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A，B 在直線在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)的同側(cè)，點(diǎn)C 是直是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在在l 的什么位置時(shí)，的什么位置時(shí)，AC 與與CB 的和最??？的和最??？ BlABC13探索新知探索新知問(wèn)題問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC + +BC最短嗎？最短嗎？ BlABC14證明：證明：如圖，在直線如圖，在直線l 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)（與點(diǎn)C 不不重合），連接重合），連接AC，BC，BC 由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知， BC = =BC，BC=BC AC + +BC = = AC

9、 + +BC = = AB， AC+ +BC = = AC+ +BC探索新知探索新知問(wèn)題問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC + +BC最短嗎？最短嗎？ BlABCC15探索新知探索新知問(wèn)題問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC + +BC最短嗎？最短嗎？ BlABCC證明：證明：在在ABC中中， ABAC+ +BC， AC + +BCAC+ +BC即即AC + +BC 最短最短16若直線若直線l 上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C 不重合）與不重合）與A，B 兩點(diǎn)的距離兩點(diǎn)的距離和都大于和都大于AC + +BC，就說(shuō)明，就說(shuō)明AC + + BC 最小最小 探索新知探

10、索新知BlABCC追問(wèn)追問(wèn)1證明證明AC + +BC 最短時(shí)，為什么要在直線最短時(shí)，為什么要在直線l 上上任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)（與點(diǎn)C 不重合），證明不重合），證明AC + +BC AC+ +BC？這里的？這里的“C”的作用是什么？的作用是什么？ 17探索新知探索新知追問(wèn)追問(wèn)2回顧前面的探究過(guò)程，我們是通過(guò)怎樣的回顧前面的探究過(guò)程，我們是通過(guò)怎樣的 過(guò)程、借助什么解決問(wèn)題的？過(guò)程、借助什么解決問(wèn)題的？ BlABCC18運(yùn)用新知運(yùn)用新知練習(xí)如圖，一個(gè)旅游船從大橋練習(xí)如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB 的的P 處前往山處前往山腳下的腳下的Q 處接游客，然后將游客送往河岸處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返上，再返 回回P 處，請(qǐng)畫(huà)出旅游船的最短路徑處，請(qǐng)畫(huà)出旅游船的最短路徑ABCPQ山山河岸河岸大橋大橋19運(yùn)用新知運(yùn)用新知基本思路：基本思路：由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接PQ，線，線段段PQ 為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路將河岸抽象為為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路將河岸抽象為一條直線一條直線BC，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)點(diǎn)P，Q 在直線在直線BC 的同側(cè)，如何在的